新課標下蘇教版高中數(shù)學教材的變化
——以“不等式”一章為例

王子揚

一、課程結構內容優(yōu)化，突出主線

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）將必修課程分成預備知識、函數(shù)、幾何和代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模與數(shù)學探究活動五個主題。預備知識包括：集合、常用邏輯用語、相等關系和不等關系、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內容。其中相等關系和不等關系及從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式都是不等式章節(jié)中的重要內容。在蘇教版舊教材（2004年版，下同）中，不等式與解三角形和數(shù)列放在必修5中。解三角形屬于必修部分的函數(shù)主題，數(shù)列屬于選擇性必修部分的函數(shù)主題，三塊不同的主題放在同一本書中，顯得有些零散。新教材（2020年版，下同）對課程結構進行了些優(yōu)化，將預備知識放在了必修一中的前三章，分別是集合、常用邏輯用語和不等式，突出了其作為預備知識的主線地位，彰顯了數(shù)學知識的內在邏輯和思想方法，同時為學生的數(shù)學學習提供了良好的基礎。

從內容上來看，新教材刪除了不等關系、二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題，新增了不等式的性質、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式。幾乎只有基本不等式這一節(jié)是完整保留的，這一變化不可謂不大。

表1 蘇教版新舊教材“不等式”章節(jié)內容比較表

固然對不等式的學習是建立在不等關系之上的，但是學生在初中階段已經(jīng)接觸過了不等關系，因此也就無須再單獨成章。相比之下，對不等式性質的學習顯得更加重要，當我們用不等式去刻畫生活中的一些不等關系后，需要依靠不等式的性質來解決問題，它同時也是不等式證明的基礎。

新教材中刪去了有關線性規(guī)劃的內容，筆者的理解如下：簡單的線性規(guī)劃問題其本質是求多元函數(shù)的條件最（極）值問題，這是數(shù)學中非常重要的一類問題。競賽中我們通常通過函數(shù)的性質，例如二次函數(shù)、三次函數(shù)的性質，函數(shù)的凹凸性；幾個重要的不等式，例如均值不等式，柯西不等式，琴生不等式；以及一些數(shù)學解題中的常用技巧，例如調整法、凍結變量法來解決此類問題。在大學課程里，我們通常采用求偏導的方式來解決多元函數(shù)的極值問題。無論是競賽中的方法還是高數(shù)中的方法，都不是普通高中生能很好地理解的，再加上舊教材中通過降維的思想來解決簡單的線性規(guī)劃問題有著局限性。因此筆者認為，刪去這塊內容是合理的。

二、聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)，促進學生發(fā)展

不等式是解決許多實際問題的重要工具，同時也是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)的載體。通過兩個版本教材的比對，我們發(fā)現(xiàn)，新版教材更加重視培養(yǎng)學生的邏輯推理及數(shù)學建模素養(yǎng)。

1.邏輯推理。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017版2020年修訂）》指出：邏輯推理是得到數(shù)學結論、構建數(shù)學體系的重要方式，是數(shù)學嚴謹性的基本性質，是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質。邏輯推理不僅僅是一種能力，更是一種素養(yǎng)。邏輯推理的三個要素是邏輯起點、形式推理以及結論表達。不等式的證明方法靈活多樣，技巧性強，但其離不開不等式的基本性質。

新增加的“不等式性質”這一節(jié)，一開始先復習回顧了初中等式的性質，希望學生通過類比去歸納不等式的性質。接著基于一些基本事實，引導學生去嚴格證明不等式的6條性質。在證明的過程中，讓學生感受數(shù)學邏輯推理的因果關聯(lián)，從而提升學生邏輯推理的核心素養(yǎng)。此外在不等式的使用或者是證明過程中，我們要提醒學生注意邏輯的縝密性。例如，在使用基本不等式時，一定要注意要首先說明a，b均為正數(shù)，其次是需要去交代等號成立的條件，從而解決問題。

2.數(shù)學建模。

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。

新教材對數(shù)學建模核心素養(yǎng)的要求更高。編者以一道確定雜志價格的實際問題為背景，來讓學生從中抽象出數(shù)學模型，在了解其現(xiàn)實意義的同時，了解其與一元二次函數(shù)之間的內在聯(lián)系。數(shù)學模型的構建離不開多種數(shù)學素養(yǎng)的密切配合，學生需要認真解讀實際情景，并從中抽象出數(shù)學的模型，將實際問題數(shù)學化，從而找到解決方案。數(shù)學建模問題不等于應用題，學生在建立數(shù)學模型的過程中，需要體會由實際問題出發(fā)建立數(shù)學模型的方法。

三、重視學習過程，提倡自主學習

1.批注。

經(jīng)過統(tǒng)計，舊版教材“不等式”章節(jié)共9條批注，其中注意事項3條，注釋6條；舊版教材“不等式”章節(jié)共7條批注，其中注意事項1條，注釋3條，思考3條。從中可以看出，新教材注重于學生的過程性發(fā)展，一改以往一味說教的方式，給學生一些提示和思考的空間，讓他們在原有的知識框架上去搭建屬于自己的不等式學習體系。例如，在“基本不等式應用”這一節(jié)中，舊版教材的注釋“也可以轉化為求二次函數(shù)S＝x（2a－x）的最大值”和新教材的思考“你能用基本不等式來求x（50－x）的最大值嗎”，其本質是想讓學生建立函數(shù)與不等式之間的關系，但是用問題的形式可以讓學生自己去思考，歸納總結，更能體現(xiàn)教材引導學生進行數(shù)學探究這一重要作用，同時可以使學生加固不等式與函數(shù)知識之間的聯(lián)系。注重數(shù)學思考的高中數(shù)學教學，有助于提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，對學生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展有著重要的意義。

2.探索性問題。

新課標將數(shù)學探究列入高中數(shù)學學習的主要內容，數(shù)學探究是運用綜合知識解決數(shù)學問題的一種數(shù)學活動，是中學生提升數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑。

在基本不等式章節(jié)，新版教材加入了問題探究，將基本不等式拓展到三元和四元的形式，讓學生通過自主探究，小組合作等方式判斷命題是否成立，給出證明，并作出進一步猜想。對比舊版教材，新教材開始注重數(shù)學探究，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

在舊教材的背景下，很多教師和學生更注重結果，而忽略了數(shù)學學習的過程。教師喜歡講知識點、講題型的分類，學生喜歡聽不同的解題技巧，但當問到學生方法是如何來的，為什么可以這么去想，他們往往不知所措。在舊模式下，填鴨式教學很少會給學生獨立思考、合作交流的時間；學生學習過于被動，主觀能動性逐漸喪失；學生也很少回去歸納總結、反思。新教材關注到了這些問題所帶來的弊端，重視學生自主學習、合作探究的能力，引領學生從“被動學”到“主動探究”的轉變。

3.課外閱讀材料。

學習數(shù)學要知其然知其所以然，這里的“知其然”筆者認為不僅僅是知道一些定理公式的推導，更重要的是明了概念和定理的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的過程。之前，教師的關注點主要集中在學生對數(shù)學知識的掌握及解題能力的培養(yǎng)方面，數(shù)學課外閱讀往往被忽視。常規(guī)課強調的是概念和定理的了解，方法的應用等等，其主要目的是讓學生了解足夠的數(shù)學知識，具有一定的應用能力來面對高考。而課外閱讀材料可以讓學生對數(shù)學史有著一定的了解，尤其是課本中數(shù)學定義、定理的由來，從而對數(shù)學產(chǎn)生濃厚的興趣和探索的渴望，增強主觀能動性。課外閱讀材料拓展了學生的數(shù)學視野，有助于學生對知識的認識，提高對數(shù)學的理解，對日常學習起到強化作用，有助于學生提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，利于學生的可持續(xù)發(fā)展。

從蘇教版新教材“不等式”這一部分內容的分析中，我們看出新教材有著不少的變化。因此作為高中教師，我們需認真研讀新課標，了解新版教材的編寫意圖，以培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)為主要目標設計教學內容與過程。讓學生在數(shù)學學習的過程中發(fā)揮主觀能動性，自主探究一些生活中的實際問題，在將知識熟練運用的同時，將數(shù)學與其他學科之間建立一定的聯(lián)系，拓展認知結構。