讓學(xué)生經(jīng)歷公式的發(fā)現(xiàn)、證明與應(yīng)用
——“祖暅原理與幾何體的體積”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

陳春芳

一、教材分析

本節(jié)課位于新人教A版必修第二冊(cè)第八章“立體幾何初步”，本章采用“總—分”的結(jié)構(gòu)。先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，研究其結(jié)構(gòu)特征、表示方法和表面積體積的計(jì)算方法；再?gòu)臉?gòu)成立體幾何圖形的基本元素——點(diǎn)、線、面入手，研究它們的性質(zhì)及其相互間的位置關(guān)系。本章的第三節(jié)“簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積”包括簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積兩部分內(nèi)容。計(jì)算簡(jiǎn)單幾何體的表面積主要方法是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，學(xué)生易于學(xué)習(xí)。而對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的體積，學(xué)生雖已學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體、圓柱和圓錐的體積計(jì)算公式。但是公式的學(xué)習(xí)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、觀察猜想所得，并沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證。因此，根據(jù)我校學(xué)生的認(rèn)知水平，結(jié)合教材探究與發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課采用探究式教學(xué)，通過(guò)合作交流，讓學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)單幾何體的體積公式的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用的過(guò)程。

二、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)。

（1）通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生了解祖暅原理，并能利用祖暅原理推導(dǎo)柱體和球的體積公式；

（2）學(xué)生會(huì)用割補(bǔ)的方法推導(dǎo)錐體和臺(tái)體的體積公式，感受柱體、錐體和臺(tái)體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的聯(lián)系以及體積公式之間的相互聯(lián)系，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在解決問(wèn)題中的作用；

（3）學(xué)生會(huì)用體積公式求解相關(guān)問(wèn)題，能運(yùn)用類比的方法研究問(wèn)題。

2.教學(xué)重點(diǎn)。

柱、錐、臺(tái)和球的體積公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

3.教學(xué)難點(diǎn)。

錐體和球體體積公式的推導(dǎo)。

三、教學(xué)過(guò)程

1.問(wèn)題情境。

嘗試與發(fā)現(xiàn)：同一摞書，當(dāng)改變擺放書的形狀時(shí)（如下頁(yè)圖1所示），這摞書的總體積是否會(huì)改變？由此你能得到有關(guān)體積的什么結(jié)論？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生能從同一摞書的三個(gè)不同形狀抽象出三個(gè)不同的幾何體：長(zhǎng)方體、斜棱柱和不規(guī)則的幾何體。由于所占空間的大小沒(méi)有發(fā)生變化，因此三個(gè)幾何的體積相等。由此學(xué)生從知識(shí)層面能夠歸納出祖暅原理——冪（截面面積）勢(shì)（高）既同，則積不容異；從數(shù)學(xué)方法層面能將不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化在解決問(wèn)題中的重要作用；從數(shù)學(xué)思想層面，滲透極限思想。這些將為本節(jié)課推導(dǎo)簡(jiǎn)單幾何體體積作鋪墊。

（圖1）

2.公式推導(dǎo)。

在以前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道了正方體的體積公V=a3式（其中a為棱長(zhǎng)），長(zhǎng)方體的體積公式V=abc=Sh（a、b、c分別為長(zhǎng)、寬、高）。以長(zhǎng)方體為基礎(chǔ)，可以得到什么幾何體的體積？

探究1：如圖2，底面積都等于S，高都等于h的任意棱柱，圓柱和長(zhǎng)方體，你能用祖暅原理推導(dǎo)柱體的體積公式嗎？

（圖2）

探究2：如圖3，底面積相等、高也相等的錐體體積之間有怎樣的關(guān)系呢？

（圖3）

探究3：我們學(xué)過(guò)柱體和錐體的體積公式，那么臺(tái)體的體積可以通過(guò)我們已知的知識(shí)得到嗎？

思考：柱體、錐體、臺(tái)體之間有什么關(guān)系？你能從形的角度，揭示公式之間的聯(lián)系嗎？待學(xué)生推導(dǎo)后出示圖4進(jìn)行講解。

（圖4）

探究4：（1）你能想辦法測(cè)出一個(gè)乒乓球的體積嗎？（歷史上阿基米德發(fā)現(xiàn)了球的體積公式）

（2）你能利用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式嗎？

為了方便，取出半球，請(qǐng)大家構(gòu)造一個(gè)與之等底同高，且等高處截面面積相等的簡(jiǎn)單幾何體。

如圖5所示是底面積和高都相等的兩個(gè)幾何體，左邊是半球，右邊是圓柱被挖去一個(gè)倒立的圓錐剩余的部分，用平行于半球與圓柱底面的平面去截這兩個(gè)幾何體，分別指出截面的形狀，并討論兩個(gè)截面面積的大小關(guān)系，并由此推導(dǎo)球的體積公式。

（圖5）

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)4個(gè)探究完成了柱、錐、臺(tái)和球的體積公式的發(fā)現(xiàn)及推導(dǎo)。學(xué)生經(jīng)歷了對(duì)公式的發(fā)現(xiàn)與證明的過(guò)程，從直觀感知到推理論證，符合人們認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，它也是研究立體幾何的重要方法。公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，將不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，例如柱體（斜棱柱轉(zhuǎn)化為直棱柱）、球（球轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單組合體）；將未知轉(zhuǎn)化為已知，例如錐體轉(zhuǎn)化為柱體、臺(tái)體轉(zhuǎn)化為錐體。在推導(dǎo)的過(guò)程中，學(xué)生不僅提升了數(shù)學(xué)探究能力，同時(shí)也發(fā)展了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。最后從簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)聯(lián)系揭示公式之間的聯(lián)系，將公式進(jìn)行統(tǒng)一，從中學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”，從數(shù)學(xué)本質(zhì)來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

3.公式運(yùn)用。

例題：如圖6，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比。

（圖6）

4.課堂小結(jié)。

（1）公式的學(xué)習(xí)：發(fā)現(xiàn)—證明—應(yīng)用。

（2）公式的推導(dǎo)：化不規(guī)則為規(guī)則、化未知為已知。

（3）公式的特征：內(nèi)在的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了公式的聯(lián)系。

5.課后探究。

一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的母線是拋物線y=x2（0≤y≤H）的一部分，以y軸為旋轉(zhuǎn)軸，求該旋轉(zhuǎn)體的體積。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)課堂小結(jié)，回顧本節(jié)課的研究過(guò)程，了解研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。類比球的體積推導(dǎo)過(guò)程，學(xué)生課后合作完成探究作業(yè)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

四、教學(xué)思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用。本節(jié)課緊扣“利用祖暅原理探究簡(jiǎn)單幾何體體積”這條主線設(shè)計(jì)教學(xué)，通過(guò)4個(gè)探究活動(dòng)逐步展開(kāi)，學(xué)生在學(xué)習(xí)基本知識(shí)的過(guò)程中，掌握研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想，同時(shí)提升了思維水平。

1.立足學(xué)生的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生思維的主動(dòng)參與。

以學(xué)生發(fā)展為本是新課程的基本理念，課堂教學(xué)應(yīng)以“學(xué)生的學(xué)”為中心。教師在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，依據(jù)教材，設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)搭建平臺(tái)。本節(jié)課對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了整合。教材是分多面體、旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積展開(kāi)，公式也是直接告知，沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明。在習(xí)題后面的“探究與發(fā)現(xiàn)”給出了證明，供學(xué)有余力的學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)。對(duì)于高中生，根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他們已經(jīng)知道了柱體和錐體的體積公式，但是這僅僅停留在直觀感知，沒(méi)有較強(qiáng)的說(shuō)服力。對(duì)于這個(gè)階段的學(xué)生，他們不僅僅想知道“是什么”，更想知道“為什么”。證明和推理是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，建立思維體系的一項(xiàng)重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和邏輯推理等能力的有效載體。顯然告知式的教學(xué)方式已經(jīng)滿足不了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，也不利于學(xué)生的思維發(fā)展。本節(jié)課的重點(diǎn)是在學(xué)生的合作交流中完成公式的推導(dǎo)，在直觀感知的基礎(chǔ)上，進(jìn)行推理論證，學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，激發(fā)學(xué)習(xí)主動(dòng)性，增強(qiáng)求知欲，思維積極主動(dòng)參與。

2.設(shè)置合適的問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生思維的深度參與。

基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)組織課堂教學(xué)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。本節(jié)課緊緊抓住學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，設(shè)置合適的“問(wèn)題串”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，啟迪學(xué)生思維。本節(jié)課的核心問(wèn)題為：能否將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題？能否完成證明？幾個(gè)問(wèn)題難易適度，重點(diǎn)突出，提高了學(xué)生思維的積極性和有效性。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生獲得深度學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，從而能夠?qū)⒔滩闹R(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)探究，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一，新教材中增加了很多探究，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可以圍繞這些探究活動(dòng)，設(shè)計(jì)好具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生開(kāi)展自主探究、合作研究并最終解決問(wèn)題。這樣的探究學(xué)習(xí)不僅可以轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等過(guò)程，還能激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。本節(jié)課圍繞柱、錐、臺(tái)、球的體積這一知識(shí)主線，立體幾何中的降維、圖形“割補(bǔ)”、數(shù)形結(jié)合這一方法主線以及轉(zhuǎn)化、類比的思想方法主線，結(jié)合“探究與發(fā)現(xiàn)”，精心設(shè)計(jì)了4個(gè)探究活動(dòng)，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，難度不斷增加，學(xué)生探究欲望逐漸增強(qiáng)，在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，又揭示了數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而達(dá)到突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，提升的學(xué)習(xí)的有效性。在探究活動(dòng)中，學(xué)生通過(guò)解決具體問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。