借助“主題-單元”理念教學新教材
——以“立體幾何初步”為例

丁左軍 董裕華

“學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的達成不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點。教師應理解不同數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的具體要求，不僅關注每一節(jié)課的教學目標，更要關注主題、單元的教學目標，明晰這些目標對實現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻?！保?］高中數(shù)學教學要有整體觀、大局觀和系統(tǒng)化觀念，幫助學生發(fā)展數(shù)學能力，提升數(shù)學素養(yǎng)。

“主題-單元”教學是在整體思維指導下，在整體把握教材的基礎上，用全局的眼光、系統(tǒng)的方法，將教材中具有內(nèi)在聯(lián)系的知識進行整合、重組并形成相對完整、動態(tài)的教學?！爸黝}-單元”教學幫助學生從更大的視角認識數(shù)學對象，學習數(shù)學思維方法，通過變換知識載體，從橫向和縱向打通知識間的聯(lián)系，實現(xiàn)對知識的內(nèi)涵式理解和建構。對“立體幾何初步”一章而言，我們可以從四個維度進行“主題-單元”設計和教學。

一、在操作實驗中發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

空間想象素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個不斷改進和完善的動態(tài)發(fā)展過程，需要有規(guī)劃、有步驟、有策略，循序漸進，可持續(xù)進行。

1.對“基本立體圖形”主題單元的教學。

在本單元中，學生初步接觸空間幾何圖形，因而可以通過從形到思來發(fā)展學生的空間想象能力?？梢宰寣W生經(jīng)歷如下實驗操作體驗。

（1）從生活情景中認識空間圖形，獲得整體立體圖形的感知，形成初步印象；

（2）對照實物圖，利用工具“再現(xiàn)”空間圖形的生成過程，幫助學生完成對空間圖形的“再認識”；

（3）通過觀察3D動畫到平面圖形的變化，理解立體圖與直觀圖的區(qū)別，初步認識和了解空間圖形的直觀圖，能臨摹直觀圖；

（4）脫離教具和樣例，作出較復雜的空間圖形的直觀圖。

2.對“空間圖形中的點、線、面關系”主題單元的教學。

該主題單元中，新人教A版以平行、垂直為單元構建主線，新蘇教版則以直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直為單元構建主線。這一主題單元關涉空間想象能力發(fā)展的第二個階段，認識點、線、面關系可以從兩個方面入手。

（1）立足整體觀，理解判定定理和性質(zhì)定理，拓寬空間想象的范疇。比如利用直線與平面平行的判定定理判定直線與平面平行，需要尋找直線與直線平行，其實就是假定已經(jīng)獲得平行結論的情形下，利用性質(zhì)定理尋求過已知直線的平面和已知平面的交線同已知直線平行，平面與平面垂直的判定定理的處理也與此相類似。

（2）立足大局觀，變換圖形觀察的角度，不就事論事，就題論題，就圖論圖。對圖形放置的位置做進一步變換，如旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、顛倒，讓學生觀察和分析空間圖形中位置關系的變與不變，加深對點、線、面關系的理解。同時，鼓勵學生自己作圖分析，圖形的擺放位置也讓他們自主選擇。

精準確定空間圖形中的直線，平面間的角度、距離關系，是空間想象能力發(fā)展的重要目標。準確定量分析角度、距離關系，在很多時候需要運用間接策略，從宏觀上把握圖形的特征，多角度分析，尋找突破口。

二、在概念理解中發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)

立體幾何初步中的數(shù)學知識概念包括基本事實、推論、定義、判定定理和性質(zhì)等形式。從不同的維度認識理解這些知識概念，有助于學生建立知識間的有意義聯(lián)系，認清概念本質(zhì)。

1.邏輯關系維度。

（1）充分必要條件角度。在學習數(shù)學知識概念時，借助邏輯命題，向?qū)W生闡明定義是充要條件，基本事實、推論及判定定理是充分條件，性質(zhì)定理是必要條件。

（2）全稱命題和存在性命題角度。對于直線與平面的平行、垂直的位置關系，定義、性質(zhì)定理都是大前提下的全稱命題，由定義到判定定理本質(zhì)上是全稱命題到存在性命題的演化。

2.空間與平面轉(zhuǎn)換維度。

空間與平面轉(zhuǎn)換的跳躍度大，有用線線垂直判定線面垂直的升維推理（由直線到平面）；有將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角的降維定義（由空間到平面）；也有由“垂直于同一平面的兩直線平行”聯(lián)想到“平行于同一平面的兩直線關系如何”的同維轉(zhuǎn)化。立體幾何中，判定定理一般是由線線關系到線面關系，再到面面關系的升維推導，而性質(zhì)定理一般是逆向降維結論。

3.語言、圖形、符號轉(zhuǎn)換維度。

立體幾何概念的表述一般有圖形表示、文字語言表述和數(shù)學符號演示推理三種形式。概念學習中的“再認識”經(jīng)歷由圖形感觀，到文字描述，再到符號推理的過程，學生在系統(tǒng)學習轉(zhuǎn)換中感受“概念”由具體到形象，再到數(shù)學抽象，思維不斷遞升。

三、在分析解決問題中發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

1.發(fā)展學生邏輯推理的層次性、多維性。

立體幾何的推理論證問題，不僅有利于立體圖形認識和理解的螺旋式上升，讓學生不斷明晰、辨清空間圖形的位置關系，也有利于邏輯思維素養(yǎng)的不斷發(fā)展。

例1：如圖1，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD//MA，E，G，F(xiàn)分別為MB，PB，PC的中點，且AD＝PD＝2MA。求證：平面EFG⊥平面PDC。

（圖1）

剛接觸問題時，學生感覺很難尋找到轉(zhuǎn)化途徑，如果跳出平面EFG和平面PDC的束縛，那么借助于BC⊥平面PDC，再由平行關系轉(zhuǎn)換即可得到FG⊥平面PDC。一旦視角放大到整個空間圖形，還可以選擇由CD⊥平面PMAD過渡到CD⊥平面EFG，其本質(zhì)在于將平面EFG延展以后，就是平行于平面PMAD的截面，上面兩種思路均基于此。

2.提升學生邏輯推理的嚴密性。

例1的幾種思路，既涉及課本的定義、基本事實和定理，也涉及課本以外的、“顯然”的結論，在論證過程中合理運用這些結論就需要思維的嚴密性，不能想當然。平行線、平行平面轉(zhuǎn)化證明垂直只能作為解決問題的思路，而不能作為理論依據(jù)。直棱柱如何運用，也是如此。與新蘇教版相比，新人教A版中“空間等角定理”沒有出現(xiàn)“異面直線的判定定理”，只定義了“空間兩條直線所成角”，在論證過程中就要特別注意。

四、在實際生活中感悟生活中的數(shù)學

1.生活中的數(shù)學無處不在。

我們周圍蘊藏了太多的立體圖形，可以隨時從生活中汲取場景發(fā)展空間想象素養(yǎng)。例如：為創(chuàng)建全國文明城市，考慮到環(huán)保和美觀的要求，某地為城區(qū)街道統(tǒng)一換置了新型垃圾桶（如圖2）。

（圖2）

由此“逆向”還原為數(shù)學問題：已知該垃圾桶由上、下兩部分組成（上部為多面體，下部為長方體，高度比為1∶2），垃圾桶最上面是正方形，與之相鄰的四個面都是全等三角形。垃圾投入口是邊長為a的正六邊形，該垃圾桶下部長方體的容積為______，該垃圾桶的頂部面積（最上面正方形及與之相鄰的四個三角形的面積之和）為_____。

2.學而有用，學而有值。

生活中的立體圖形無處不在，要讓學生運用數(shù)學解決生活中的情境問題，感受到學而有用，學而有為，學而有成，保持可持續(xù)學習動力。筆者曾在課上討論過這樣一個問題：某工廠有一批邊長為6m的正方形薄鋁板角料，為節(jié)約成本，準備將其做成無蓋的容器。請你幫忙設計：怎樣裁剪，才能使容器容積最大？

學生各顯其能，通過操作試驗，設計了圓柱、圓錐、長方體、三棱錐等多種方案（見圖3）。

（圖3）

通過親身體驗，讓學生從多個層面進行思考，充分發(fā)揮了自己的想象力，設計了多種空間圖形，既開闊了視野，又發(fā)散了思維。

“主題-單元”教學倡導從全局入手，細處著眼，由面踩點，又由點到面，用全局觀念，系統(tǒng)思維解決局部知識，整體考慮，形成知識鏈、問題串，在知識的關聯(lián)處傾注更多的注意力，有助于學生更快、更好地發(fā)現(xiàn)知識點的內(nèi)涵與本質(zhì)。