例談核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)運(yùn)算

李金亮

【摘要】在新一輪課程改革中，特別提到了要重視學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是核心之一.對(duì)一道習(xí)題的解答，是簡(jiǎn)單呈現(xiàn)最后的結(jié)果，還是讓學(xué)生思考碰壁后再講解？筆者選擇了后者.在核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)中如何提高學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)值得我們深思.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);運(yùn)算;反思

題目1 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O和A（5，2）為頂點(diǎn)作等腰直角三角形ABO，使∠B=90°，求點(diǎn)B和AB的坐標(biāo).

解 設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則OB=（x，y），AB=（x-5，y-2）.

∵OB⊥AB，

∴x（x-5）+y（y-2）=0，即x2+y2-5x-2y=0. ①

又∵|OB|=|AB|，

∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2，即10x+4y-29=0. ②

由①②解得……

此時(shí)下課鈴聲響起來(lái)了，我說(shuō)答案明天上課時(shí)公布.

第二天上課，居然沒(méi)有一個(gè)同學(xué)能解出來(lái)，這可是尖子班，很出乎我的意料.后來(lái)想想也在情理之中，他們?cè)诔踔锌蓻](méi)解過(guò)這么復(fù)雜的方程組.為什么算不出來(lái)呢？后來(lái)有學(xué)生說(shuō)，他消元之后，數(shù)字較大，不好計(jì)算.

我在黑板上邊寫(xiě)邊講解如下過(guò)程，用時(shí)不過(guò)3分鐘.

x2+y2-5x-2y=0， ①10x+4y=29. ②

①×2，得2x2+2y2=10x+4y=29， ③

由②，得4y=29-10x，

兩邊平方，得16y2=292-2×29×10x+100x2， ④

③×8，得16x2+16y2=29×8， ⑤

把④代入⑤，得116x2-2×29×10x+292=29×8. ⑥

由⑥約去29并整理，得4x2-20x+21=0.

當(dāng)我寫(xiě)到這，全班響起了雷鳴般的掌聲，接下來(lái)用十字相乘法就迎刃而解了.整個(gè)過(guò)程沒(méi)有分?jǐn)?shù)計(jì)算，幾乎每一步都可以口算.所以，在計(jì)算過(guò)程中我們要充分觀察、對(duì)照和分析，留意數(shù)、式之間隱含的特殊關(guān)系，盡量不要帶分母運(yùn)算，并預(yù)計(jì)可能重復(fù)的運(yùn)算對(duì)象，不糾纏復(fù)雜的數(shù)值運(yùn)算.

教后反思 很多學(xué)生一遇計(jì)算就不經(jīng)思考，不細(xì)心觀察，直接計(jì)算，如上題就想著代入消元，而由②式解出y要用除法，就出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)計(jì)算，接下來(lái)就復(fù)雜得讓人崩潰.

有數(shù)學(xué)就有計(jì)算，不管你學(xué)了什么高明的方法，如果你計(jì)算能力很差，那些方法就像是沒(méi)裝子彈的高級(jí)手槍?zhuān)翢o(wú)“殺傷力”.武行里流行一句話：“練武不練功，到老一場(chǎng)空.” 這里解題方法就是“武”，計(jì)算能力就是“功”，合起來(lái)才叫“武功”，才有威力.所以教師要重視對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng).

計(jì)算不僅僅是四則運(yùn)算，還包括代數(shù)變形能力.什么是代數(shù)變形能力？它其實(shí)就是你的基礎(chǔ)計(jì)算達(dá)到熟練程度以后，所產(chǎn)生的一種敏銳判斷力和實(shí)用技巧.計(jì)算是要?jiǎng)幽X的，有時(shí)硬算、蠻算是很難算出來(lái)的.

再如，在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，由（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a往下推導(dǎo)可有如下三種思路.

思路一：對(duì)等式兩邊直接平方，但計(jì)算量過(guò)大，不可取.

思路二：移項(xiàng)，得到（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，再兩邊同時(shí)平方，以使得數(shù)據(jù)更加優(yōu)化，整理后再兩邊同時(shí)平方，這是教材提供的推導(dǎo)方法.

思路三：令（x-c）2+y2=a-d，（x+c）2+y2=a+d，因等式是等差中項(xiàng)結(jié)構(gòu)，故具體推導(dǎo)如下：

兩邊平方，得（x-c）2+y2=（a-d）2 ①，（x+c）2+y2=（a+d）2 ②，

①+②整理，得x2+y2=a2-c2+d2 ③，

②-①整理，得ad=cx ④.

到此時(shí)不要直接解出d=cxa，因?yàn)榇擘塾殖霈F(xiàn)分?jǐn)?shù)式的計(jì)算，而應(yīng)把④式兩邊平方，得a2d2=c2x2 ⑤，觀察對(duì)比③式，可由③式兩邊同時(shí)乘以a2，得a2x2+a2y2=a4-a2c2+a2d2 ⑥，此時(shí)再把⑤式代入⑥式整理，得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），令b2=a2-c2，再兩邊同時(shí)除以a2b2，得x2a2+y2b2=1，即為所求的標(biāo)準(zhǔn)方程.

利用等差數(shù)列處理這一問(wèn)題恰好符合了必修5在前選修在后的安排，其承前啟后的作用得以體現(xiàn).而這種想法在解決高考的一道壓軸題和填空題中也發(fā)揮了很大的作用.

題目2 若AB=2，AC=2BC，則△ABC面積的最大值為.

【解法一】因?yàn)锳B=2（定長(zhǎng)），可以以AB所在的直線為x軸、其中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），由AC=2BC，可得（x+1）2+y2=2×（x-1）2+y2，化簡(jiǎn)，得（x-3）2+y2=8，即C在以（3，0）為圓心、22為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).所以S△ABC=12·AB·yc=yc≤22.

【解法二】（恒等關(guān)系）由題目條件，知c=2，b=2a，

由余弦定理，得cos A=b2+c2-a22bc=a2+442a，

而面積S=12bcsin A=2asin A，所以sin A=S2a，

所以sin2A+cos2A=S2a2+a2+442a2=1，

整理，得16S2=-a4+24a2-16=-（a2-12）2+128≤128，

所以當(dāng)a2=12，即a=23時(shí)，（S2）max=8，故△ABC面積的最大值為22.

題目3 已知橢圓C過(guò)點(diǎn)A1，32，兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0）和（1，0）.

（1）求橢圓C的方程.

（2）設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

① 如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明直線EF恒過(guò)定點(diǎn);