混合區(qū)間刪失下指數(shù)分布的可靠性分析

萬 宇，李云飛

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

0 引言

定時(shí)截尾試驗(yàn)是可靠性統(tǒng)計(jì)分析中一種重要的壽命試驗(yàn)方案，許多學(xué)者研究了此樣本下壽命分布的可靠性問題[1-8].定時(shí)截尾試驗(yàn)是對一批被測產(chǎn)品從時(shí)間0到預(yù)定時(shí)間t0進(jìn)行跟蹤觀察，并將其余未失效的產(chǎn)品全部退出試驗(yàn)，從而得到t0前失效產(chǎn)品的具體失效時(shí)間和區(qū)間(t0,+∞)內(nèi)失效產(chǎn)品的數(shù)量.為了避免失效數(shù)太少或太多，恰當(dāng)確定停止測試的時(shí)間是至關(guān)重要的.如果有很大一部分產(chǎn)品在t0時(shí)刻退出試驗(yàn)，將對統(tǒng)計(jì)推斷的準(zhǔn)確性產(chǎn)生很大影響[9].針對定時(shí)截尾試驗(yàn)的弊端，可以先進(jìn)行連續(xù)觀測，再進(jìn)行定期觀測，即從時(shí)間0到時(shí)間t0進(jìn)行連續(xù)跟蹤觀測，時(shí)間t0后進(jìn)行定期觀測，這樣就可以知道每個(gè)區(qū)間內(nèi)失效產(chǎn)品的數(shù)量，這種試驗(yàn)稱為定時(shí)區(qū)間刪失試驗(yàn).文獻(xiàn)[10-13]為此試驗(yàn)下的研究成果.龍兵等[9]結(jié)合這兩種試驗(yàn)方案的特點(diǎn)，提出了一種新的壽命試驗(yàn)方案，即將定時(shí)截尾試驗(yàn)和定時(shí)區(qū)間刪失試驗(yàn)相混合的試驗(yàn)方案，稱其為混合區(qū)間刪失試驗(yàn)，并對Rayleigh分布在此壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性分析，通過隨機(jī)模擬比較了定時(shí)截尾樣本和定時(shí)區(qū)間刪失樣本所得到的相關(guān)估計(jì)量的精度.

指數(shù)分布在可靠性研究中有著廣泛的應(yīng)用.目前，許多學(xué)者對傳統(tǒng)試驗(yàn)樣本下的指數(shù)分布進(jìn)行了可靠性分析，并取得了一些成果[14-22].然而，目前基于混合區(qū)間刪失試驗(yàn)方案下，沒有探討指數(shù)分布的可靠性的文獻(xiàn).與文獻(xiàn)[9]不同的是，本文基于混合區(qū)間刪失試驗(yàn)，討論了指數(shù)分布的可靠性，并通過算例對基于混合區(qū)間刪失樣本的估計(jì)值和基于定時(shí)截尾樣本的估計(jì)值進(jìn)行了比較，分析了兩種試驗(yàn)樣本的優(yōu)劣性.結(jié)果表明，混合區(qū)間刪失試驗(yàn)下的平均相對偏差(average relative error，ARE)更小，平均區(qū)間長度(average interval length，AIL)更短，均方誤差(mean square error，MSE)更小，因此混合區(qū)間刪失試驗(yàn)更優(yōu)越.

1 參數(shù)的極大似然估計(jì)

指數(shù)分布的分布函數(shù)為：

概率密度函數(shù)為：

可靠度函數(shù)為：

(1)

混合區(qū)間刪失試驗(yàn)如下：現(xiàn)有一批服從指數(shù)分布的產(chǎn)品，從中隨機(jī)選取n個(gè)產(chǎn)品從時(shí)間0開始進(jìn)行壽命試驗(yàn).確定觀測時(shí)刻0

情形1：如果r≥[np],試驗(yàn)停止，并從試驗(yàn)中撤離所有沒有失效的產(chǎn)品，此時(shí)為定時(shí)截尾試驗(yàn)，這樣，在t0之前獲得具體觀測數(shù)據(jù)，在t0之后獲得一個(gè)區(qū)間刪失數(shù)據(jù).

在情形1下，似然函數(shù)為：

對數(shù)似然函數(shù)為：

對θ求導(dǎo)，對數(shù)似然方程可得：

(2)

在情形2下，似然函數(shù)為：

對數(shù)似然函數(shù)為：

對θ求導(dǎo)，對數(shù)似然方程可得：

記Y=(Y1,Y2,…,Yk),Yj=(Yj1,Yj2,…,Yjdj),且Yj(j=1,2,…,k)為產(chǎn)品在[tj-1,tj)內(nèi)失效時(shí)刻構(gòu)成的向量.Yjl(l=1,2,…,dj)的條件概率密度函數(shù)如下：

令θ=θ(s),則

令U=(x1,x2,…,xr),將U和Y結(jié)合得到W=(U,Y),其中W稱為偽完全數(shù)據(jù)，基于W的似然函數(shù)為：

對數(shù)似然函數(shù)為：

E步：對Yjl求條件期望，則偽對數(shù)函數(shù)為：

M步：極大化Q(θ),Q(θ)對θ的一階導(dǎo)數(shù)為：

可得迭代公式如下：

(3)

2 參數(shù)的漸近置信區(qū)間

在本節(jié)中，通過建立Fisher信息矩陣來構(gòu)造參數(shù)的ACI.

設(shè)W=完全數(shù)據(jù)，X=觀測數(shù)據(jù)，IW(θ)=完全信息矩陣，IX(θ)=觀測信息矩陣，IW|X(θ)=遺失信息矩陣，基于Louis[23]提出的遺失信息原則，即：

IX(θ)=IW(θ)-IW|X(θ).

在完全數(shù)據(jù)情形下，則有：

對于情形1，令Z=(Z1,Z2,…,Zn-r)表示截尾數(shù)據(jù)，可得Zj(j=1,2,…,n-r)的概率密度函數(shù)為：

則

因此

因此

則

區(qū)間長度為：

(4)

3 算例分析

下面基于混合區(qū)間刪失試驗(yàn)，首先利用Monte Carlo模擬生成隨機(jī)數(shù)，然后利用MLE方法得到參數(shù)的估計(jì)，同時(shí)計(jì)算了相應(yīng)的ARE、MSE和AIL.此外，還得到了可靠度的均值和ARE.具體步驟如下：

(1)在均勻分布U(0,1)中，產(chǎn)生n個(gè)獨(dú)立同分布樣品，記為U1,U2,…,Un；

(2)給定參數(shù)θ=2,令xi=-θln(1-Ui),i=1,2,…,n,則x1,x2,…,xn就是一個(gè)服從指數(shù)分布的獨(dú)立同分布樣本；

(3)取t0=2,t1=2.6,t2=3.3,t3=4.9,t4=+∞,得到t0前的觀測值x1,x2,…,xr及區(qū)間(t0,t1],(t1,t2],(t2,t3],(t3,t4]內(nèi)的失效數(shù)分別為d1,d2,d3,d4.

根據(jù)上述樣本，利用(2)-(4)式計(jì)算出參數(shù)θ的極大似然估計(jì)值和置信區(qū)間的長度，模擬上述步驟1000次.在不同的n下，計(jì)算出參數(shù)θ的ARE、MSE和AIL，見表1.其中

當(dāng)θ=2時(shí)，取t=2.6,利用式(1)計(jì)算出R(2.6)=0.2725.根據(jù)上述樣本計(jì)算了可靠度估計(jì)值的平均值和ARE(見表1).其中

表1 指數(shù)分布的統(tǒng)計(jì)分析

由表1可知：

1)當(dāng)n一定時(shí)，從參數(shù)θ的ARE、MSE和AIL來看，基于混合區(qū)間刪失樣本所得到的參數(shù)θ的估計(jì)值都要小于定時(shí)截尾樣本所得到的參數(shù)θ的估計(jì)值，說明混合區(qū)間刪失試驗(yàn)方案可以提高參數(shù)估計(jì)的精度.

2)在混合區(qū)間刪失方案下得到的可靠度估計(jì)值的均值比較接近其真實(shí)值.

3)隨著n的增加，參數(shù)θ的ARE和MSE逐漸減小，AIL逐漸變短，可靠度估計(jì)值的ARE逐漸減小.

4 結(jié)論

當(dāng)產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布時(shí)，討論了基于混合區(qū)間刪失試驗(yàn)數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)和可靠度函數(shù)的估計(jì).結(jié)果表明，與定時(shí)截尾試驗(yàn)方案相比，在混合區(qū)間刪失試驗(yàn)方案下對指數(shù)分布進(jìn)行可靠性估計(jì)，可以提高估計(jì)的精度.