中學(xué)數(shù)學(xué)教師怎樣理解數(shù)學(xué)

蔣 雙，趙思林，李紅霞

(內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100)

正確地理解數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．《教育大詞典》認為，數(shù)學(xué)教師專業(yè)素質(zhì)是由“良好的個人品德，職業(yè)道德，有比較廣博的知識，精通數(shù)學(xué)學(xué)科知識，教育理論素養(yǎng)，語言素養(yǎng)，能力和身體健康[1]”組成的．數(shù)學(xué)教師的專業(yè)知識主要包含數(shù)學(xué)本體性知識；數(shù)學(xué)教育知識；數(shù)學(xué)教學(xué)知識以及對數(shù)學(xué)課程標準的準確理解[2]．理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，對中學(xué)數(shù)學(xué)教師而言容易片面地局限于對數(shù)學(xué)知識的理解.而在研究者看來更應(yīng)重視對整個數(shù)學(xué)的宏觀認識和理解，如對“數(shù)學(xué)的定義”“數(shù)學(xué)的特點”“數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)的價值”“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造機制”等內(nèi)容的理解．前者偏重于理解數(shù)學(xué)的“樹木”，后者偏重于理解數(shù)學(xué)的“森林”．本文側(cè)重于對整個數(shù)學(xué)的宏觀認識和理解．

1 問題的提出

1.1 研究背景

王宏等[3]認為，中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識是教師個體專業(yè)發(fā)展過程中的核心，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)地位的來源和依據(jù)．中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識素養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，更是中學(xué)數(shù)學(xué)教師必備的素養(yǎng)之一．鄭晨等[4]對文獻統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，中國數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識的研究在選題和研究方法方面存在一些問題．數(shù)學(xué)學(xué)科知識在教師專業(yè)發(fā)展中占有核心地位[4]，但涉及數(shù)學(xué)學(xué)科知識的論文數(shù)量并不多．從十多年“國培計劃”實施中數(shù)百節(jié)教學(xué)觀摩課(研究課)及說課、評課的情況來看，許多中小學(xué)數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)的認識和理解存在不少問題甚至有較大偏差．因此，研究中學(xué)數(shù)學(xué)教師理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng)是有意義的．

1.2 已有研究

畢力格圖等[5]認為數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展是指以入職前所理解或掌握的數(shù)學(xué)專業(yè)知識為基礎(chǔ)，傳承與發(fā)展數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化的心理活動．畢力格圖等[5]還提出數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識可分為三個發(fā)展水平：直觀水平、概念水平和理論水平．黃佳寧[6]認為數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識水平是數(shù)學(xué)知識的正確性、解釋性、聯(lián)系性和數(shù)學(xué)思想方法這四個維度的提升和自我研修展開．舒爾曼[7]認為，學(xué)科知識是指在特殊學(xué)科中的概念、原則與技能以及這些知識在教師頭腦中的結(jié)構(gòu)和數(shù)量．SII/LMT認為學(xué)科知識包含3類：一般的學(xué)科知識、專門的學(xué)科知識和橫向的數(shù)學(xué)知識[8]．KAT把數(shù)學(xué)學(xué)科知識分成兩類：中學(xué)代數(shù)知識，高于中學(xué)數(shù)學(xué)課程的高等數(shù)學(xué)知識[8]．黃毅英等[9]把數(shù)學(xué)教師開展常規(guī)教學(xué)應(yīng)具備的知識分為3類，即數(shù)學(xué)學(xué)科知識(MK)，一般教學(xué)法知識(PK)，有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(CK)．“MK”“PK”“CK”三者共同構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(MPCK)[9]．MPCK是指教師能夠把數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)(即學(xué)術(shù)數(shù)學(xué))用通俗易懂甚至是大白話的語言予以講授和闡釋，使“學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)”變?yōu)閷W(xué)生易于理解和接受的“大眾數(shù)學(xué)”[10]．由此易見，MPCK素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教師的核心素養(yǎng)，并且強依賴于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．數(shù)學(xué)教師的角色有點像從“數(shù)學(xué)家”到“中學(xué)學(xué)生”的“二傳手”．從數(shù)學(xué)學(xué)科知識的視角看，數(shù)學(xué)教師要當好“二傳手”，最重要的素養(yǎng)是具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[10]．

2 中學(xué)數(shù)學(xué)教師理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成是在個體數(shù)學(xué)經(jīng)驗基礎(chǔ)之上對數(shù)學(xué)“感悟”“反思”與“體驗”的結(jié)果[11]．教師養(yǎng)成了數(shù)學(xué)素養(yǎng)即是說教師已在數(shù)學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上形成了“數(shù)學(xué)頭腦”，能用基本的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)手段和數(shù)學(xué)方法去分析和解決數(shù)學(xué)具體問題以及其他一些現(xiàn)實問題[11]．理解數(shù)學(xué)的素養(yǎng)在教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)中占有重要地位．理解數(shù)學(xué)包括對“數(shù)學(xué)的定義”“數(shù)學(xué)的特點”“數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)的價值”“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造機制”等內(nèi)容的理解．

2.1 對“數(shù)學(xué)的定義”的理解

關(guān)于“數(shù)學(xué)的定義”，有各具特色的一些觀點，如“科學(xué)說”“邏輯說”“結(jié)構(gòu)說”“文化說”等．

(1)科學(xué)說．“純數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”[12]．數(shù)學(xué)被看作是關(guān)于量的科學(xué)，或者是關(guān)于空間與數(shù)的科學(xué)[13]．“演算”概括了數(shù)學(xué)研究的特點，反映了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性與演繹性及其辯證關(guān)系，有理由把它作為對數(shù)學(xué)本質(zhì)的概括，因此可以說“數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)”[14]．吳文俊在《中國大百科全書·數(shù)學(xué)卷》中幾乎沿用了恩格斯的定義．數(shù)學(xué)界公認的“數(shù)學(xué)的定義”是“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”．數(shù)學(xué)的“科學(xué)說”定義主要強調(diào)了“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)嚴謹?shù)目茖W(xué)”，并指出了數(shù)學(xué)研究對象是“數(shù)”與“形”，“演繹”與“計算”．“演繹”與“計算”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

(2)邏輯說．什么是數(shù)學(xué)？羅懋康[15]說，數(shù)學(xué)就是針對結(jié)構(gòu)、關(guān)系及其變化細化后的邏輯．以羅素和弗雷格為代表的邏輯主義認為：數(shù)學(xué)就是邏輯[16]．羅素[16]指出：“所有純粹數(shù)學(xué)，既然它能從自然數(shù)的理論演繹出來，就不過是邏輯的延伸．并且即使是不能從自然數(shù)的理論演繹出來的數(shù)學(xué)的現(xiàn)代分支，將以上的結(jié)論推廣到它們，也沒有原則上的困難．”“邏輯是數(shù)學(xué)的少年時代，數(shù)學(xué)是邏輯的成人時代．”[16]由此可認為，邏輯是數(shù)學(xué)之母．事實上，數(shù)學(xué)的概念按邏輯來劃分，數(shù)學(xué)命題由概念或公理(公設(shè))來推演(演繹)，數(shù)學(xué)證明必須嚴格遵循邏輯規(guī)則，數(shù)學(xué)中的算法依邏輯而生成．

(3)結(jié)構(gòu)說．布爾巴基學(xué)派認為，數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)部演化，使其各個不同的組成部分聚集在一起形成更為密集的統(tǒng)一體，好像創(chuàng)造出某種類似于中心核的東西，它比以往任何時候都更加緊密[17]．任何一門數(shù)學(xué)學(xué)科(分支或方向)的知識都可以統(tǒng)一在某一公理體系之下，公理體系就是該門數(shù)學(xué)學(xué)科(分支或方向)的根基．這就是說，數(shù)學(xué)是一門統(tǒng)一的科學(xué)，可以按照“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的原理將數(shù)學(xué)的各個分支加以分類，這就是所謂的“結(jié)構(gòu)主義”[18]．布爾巴基學(xué)派曾把整個數(shù)學(xué)知識分別歸結(jié)為代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)．布爾巴基學(xué)派用“結(jié)構(gòu)主義”思想把整個數(shù)學(xué)用嚴謹?shù)倪壿嫿M織起來，取得了不少成果．

(4)文化說．克萊因說數(shù)學(xué)是一種文化[19]．數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙；數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言；數(shù)學(xué)是思維的工具；數(shù)學(xué)是一種思想方法；數(shù)學(xué)是理性的藝術(shù)；數(shù)學(xué)充滿理性精神[14]．數(shù)學(xué)是看不見的文化．數(shù)學(xué)代表人類心靈最高成就之一，是心(邏輯)對物(科學(xué))的勝利[18]．數(shù)學(xué)對象終究不是物質(zhì)世界中的真實存在，而是抽象思維的產(chǎn)物，它是一種人為約定的規(guī)則系統(tǒng)[14]．數(shù)學(xué)作為人為約定的規(guī)則系統(tǒng)包括兩個內(nèi)容：一是數(shù)學(xué)中“人為約定”的東西就是數(shù)學(xué)中的概念、符號和特殊的規(guī)定(約定)，這有利于使數(shù)學(xué)的語言系統(tǒng)成為人類通用的科學(xué)語言；二是“規(guī)則系統(tǒng)”，主要是指數(shù)學(xué)在人類的發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)、發(fā)展與完善過程中必需要符合人類思維的基本規(guī)律，即數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)、發(fā)展與完善必需建構(gòu)“規(guī)則系統(tǒng)”(如公理系統(tǒng))并充分運用“規(guī)則系統(tǒng)”．數(shù)學(xué)除了在科學(xué)技術(shù)方面的應(yīng)用外，還具有精神領(lǐng)域的功效[14]．數(shù)學(xué)文化具有人文性的特點．數(shù)學(xué)的人文性在培養(yǎng)學(xué)生的理性精神、理性思維、人文精神等方面具有重大的教育價值與作用．

2.2 對“數(shù)學(xué)的特點”的理解

(2)邏輯性．數(shù)學(xué)具有嚴密的邏輯性．邏輯是人類數(shù)千年歷史中已無數(shù)次驗證過的對客觀世界進行思考的正確方法和理論，它反映了客觀世界最基本的關(guān)系、最本質(zhì)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)[15]．從前面談到的“數(shù)學(xué)的定義”的“邏輯說”可以清晰地看到，邏輯對于數(shù)學(xué)是極端重要的．離開邏輯的數(shù)學(xué)是不存在的．數(shù)學(xué)的邏輯性決定了數(shù)學(xué)的嚴謹性，數(shù)學(xué)的嚴謹性體現(xiàn)在對概念下定義、證明數(shù)學(xué)命題、推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式、設(shè)計計算方法(算法)等方方面面．數(shù)學(xué)的邏輯性對培養(yǎng)人的求真品格、理性精神具有重大教育價值．

(3)應(yīng)用性．數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性．如，數(shù)學(xué)在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、醫(yī)學(xué)、航天科學(xué)、人工智能、大數(shù)據(jù)分析、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、5G通訊、人臉識別、天氣預(yù)報等各學(xué)科、國民生產(chǎn)各部門、社會經(jīng)濟各個領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用．例如，中國華為公司開發(fā)的5G通訊技術(shù)主要依賴于土耳其一位數(shù)學(xué)家的一篇論文.又如，數(shù)學(xué)模型是研究宏觀經(jīng)濟與微觀經(jīng)濟的重要工具，在經(jīng)濟與金融的理論研究上，數(shù)學(xué)的地位更加特殊[21]．

(4)系統(tǒng)性．數(shù)學(xué)是一個組織結(jié)構(gòu)良好的系統(tǒng)[22]．數(shù)學(xué)本身就是一個巨系統(tǒng)，此系統(tǒng)是概念(符號)、命題、推理、算法四個子系統(tǒng)的集成．數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)本身是結(jié)構(gòu)化的、整合的，而不是零碎的[23]．因此，個體從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)到認知數(shù)學(xué)，再到數(shù)學(xué)經(jīng)驗系統(tǒng)的形成，都應(yīng)是系統(tǒng)化的、全息化的．

(5)概括性．概括是思維的最顯著的特征，數(shù)學(xué)概括能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要條件[24]．數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)包括對知識點的分類，而分類則是將具有同一特征的知識歸在一起，這個過程需要將事物的相同屬性進行分析，歸納和總結(jié)，形成系統(tǒng)的表述語言，即是需要一定的概括能力．因此，數(shù)學(xué)具有概括性．如，加法的交換律即a+b=b+a可以看成是在2+3=3+2、13+5=5+13、23+61=61+23、(-7)+(-2)=(-2)+(-7)、x+2=2+x等特殊事例的基礎(chǔ)上概括出來的.又如，復(fù)數(shù)數(shù)系是在正整數(shù)數(shù)系基礎(chǔ)上不斷抽象和概括出來的．數(shù)學(xué)的概括性與抽象性密切相關(guān)．

2.3 對“數(shù)學(xué)化”的理解

“數(shù)學(xué)化”是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的核心．數(shù)學(xué)化是指人們運用數(shù)學(xué)的思想方法來分析和表征客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程[25]．后來許多研究者將數(shù)學(xué)化劃分為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化，橫向數(shù)學(xué)化是指把生活世界引向概念系統(tǒng)和符號世界[26]，縱向數(shù)學(xué)化是指在橫向數(shù)學(xué)化基礎(chǔ)上作進一步抽象化、系統(tǒng)化處理的過程并獲得整體數(shù)學(xué)知識體系(系統(tǒng))．研究者認為，橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化的分類過于粗略，可以更為詳細地將“數(shù)學(xué)化”分解為概念化、符號化、邏輯化、結(jié)構(gòu)化和模型化等．

(1)概念化．“概念是邏輯思維的細胞”．由數(shù)學(xué)概念(定義)可以演繹出數(shù)學(xué)命題(公式，定理，性質(zhì)等)．由此可以說，數(shù)學(xué)概念(定義)是數(shù)學(xué)知識的源泉．數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基于事實(事例)，始于概念(定義)．數(shù)學(xué)概念(定義)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)的難點內(nèi)容．數(shù)學(xué)概念(定義)的產(chǎn)生和發(fā)展，往往是從一個問題開始，由實際問題到數(shù)學(xué)問題，由具體問題到抽象概念，由解決問題到更進一步應(yīng)用的一個教育全過程[27]．有的概念可從客觀事物或?qū)嶋H問題中抽象出概念，如“圓”的概念可以看成是從太陽、鐵環(huán)、圓柱的水杯的軸截面等“圓形”“球形”實物抽象而得；有的概念可從問題解決之需要來建構(gòu)，如“導(dǎo)數(shù)”這個概念是為求解“運動物體的瞬時速度”而產(chǎn)生的，又如虛數(shù)單位i是為了使方程x2+1=0有解之需要而產(chǎn)生，并直接定義(規(guī)定)虛數(shù)單位i滿足i2=-1；有的概念是為了建立公理體系而設(shè)立，如歐幾里得中“點”“直線”“兩條直線平行”等原始概念就是為建立歐氏公理體系而設(shè)立．

(2)符號化．數(shù)學(xué)概念的創(chuàng)設(shè)往往伴隨數(shù)學(xué)符號的創(chuàng)設(shè)，“對數(shù)”概念伴隨“l(fā)ogaN”“l(fā)gN”“l(fā)nN”等符號的誕生．符號化要求我們將復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)概念用簡潔的符號來表示，并理解符號是怎么來的，從而對符號進行再創(chuàng)造，形成新的符號．2001年中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》提出“符號感”，將發(fā)展學(xué)生的符號意識作為中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的目標，符號意識是中國義務(wù)教育階段的一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性與學(xué)生的認知水平[28]．雖然數(shù)學(xué)符號的使用比數(shù)字晚，但數(shù)學(xué)符號的數(shù)量卻遠遠超過了數(shù)字．目前數(shù)學(xué)符號已經(jīng)超過了兩百個，并且每個符號都有其自身的意義和故事．符號的出現(xiàn)將復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)概念、冗長的文字變得簡潔美觀．符號是數(shù)學(xué)思想傳達的媒介，是數(shù)學(xué)知識表達的核心工具，能夠清晰而簡明地表達數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律以及數(shù)學(xué)思想．數(shù)學(xué)符號作為數(shù)學(xué)抽象物的一種表現(xiàn)形式，既是對現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)的抽象，也是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部規(guī)律的集中體現(xiàn)[28]．符號具有統(tǒng)一性原則，并不是隨意編造而來的．

(3)邏輯化．數(shù)學(xué)與邏輯密不可分．數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)是邏輯思維的活動．給數(shù)學(xué)概念下定義必須遵守四條邏輯規(guī)則，數(shù)學(xué)命題的“猜想”依賴于合情推理，研究數(shù)學(xué)命題之間邏輯關(guān)系需要借助于“充分條件”“必要條件”“充要條件”等重要概念，數(shù)學(xué)命題的“證明”依賴于已有真命題和邏輯規(guī)則，三段論推理，解決問題的算法一般是由具有先后順序的機械步驟構(gòu)成，等．這些數(shù)學(xué)活動都充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯化．

(4)結(jié)構(gòu)化．結(jié)構(gòu)化強調(diào)由數(shù)學(xué)知識、方法和思想可以構(gòu)成一個完整、嚴謹、系統(tǒng)的體系．如歐幾里得公理體系就是一個結(jié)構(gòu)化的東西，布爾巴基學(xué)派把數(shù)學(xué)看成是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，并認為整個數(shù)學(xué)是由代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)構(gòu)成．

(5)模型化．數(shù)學(xué)模型不能局限于數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模包括“真實情境、實際問題、抽象與假設(shè)、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)問題的分析與解決、解決實際問題、檢驗?zāi)Ｐ?、?yōu)化模型”等環(huán)節(jié)．數(shù)學(xué)模型包括數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)定義(符號)、數(shù)學(xué)公式、函數(shù)模型、方程模型、空間圖形、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、公理體系等具體形態(tài)．“真實情境、實際問題化”、“實際問題、數(shù)學(xué)問題化”、“數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識化”是建立數(shù)學(xué)模型、獲得數(shù)學(xué)知識的過程，而“數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用化”則是運用數(shù)學(xué)模型(知識)解決問題的過程．

2.4 對“數(shù)學(xué)的價值”的理解

數(shù)學(xué)的生命力在于數(shù)學(xué)的高價值．包括科學(xué)價值、思維價值、文化價值、育人價值、審美價值等．

(1)科學(xué)價值．數(shù)學(xué)是追求邏輯真的科學(xué)．“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)．”數(shù)學(xué)科學(xué)對人類正確、精準地認識世界提供了強大的思想武器和普適的科學(xué)方法．認知科學(xué)的研究表明，心智是涉身的、思維是無意識的、抽象概念是隱喻的．而科學(xué)發(fā)現(xiàn)的心理邏輯模型從心理直覺和邏輯推理兩種加工方式來說明科學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，揭示了創(chuàng)造性思維在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用[29]．數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，而且也是一切重大技術(shù)革命的基礎(chǔ)[21]．

(2)思維價值．數(shù)學(xué)的重要價值一方面在于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是一個創(chuàng)造性思維過程，同時也是一個心理邏輯過程[29]．數(shù)學(xué)思維活動的一個直接結(jié)果是可以產(chǎn)生數(shù)學(xué)思想．數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學(xué)事實與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認識[30]．數(shù)學(xué)思維作為數(shù)學(xué)思想的方法和手段，其價值不容低估．人們通常所說的等量替換、圖形結(jié)合、遞歸法等都是數(shù)學(xué)思想的方法，即數(shù)學(xué)思維[31]．數(shù)學(xué)思維主要包括創(chuàng)造性思維、邏輯思維、轉(zhuǎn)化思維、逆向思維、對應(yīng)思維等．創(chuàng)造性思維是具有新穎性、流暢性、原創(chuàng)性、靈活性的思維．溯因、類比和歸納這三種擴展前提的推理是具有創(chuàng)新性的推理，這三種擴展前提的推理與創(chuàng)造性思維高度契合[29]．

(3)文化價值．數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言及其形成和發(fā)展過程[32]．高中數(shù)學(xué)新課標把“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”置于課程設(shè)計基本理念的重要位置上，并提出：“通過在高中階段數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，學(xué)生將初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會發(fā)展之間的相互作用，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、人文價值，開闊視野，尋求數(shù)學(xué)進步的歷史軌跡，激發(fā)對于數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動力的認識，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識”[32]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)文化的途徑有很多，如在各章引言中、新課引入時、講述概念時、定理(公式)證明時、數(shù)學(xué)思想方法中、例題教學(xué)、實際應(yīng)用中滲透數(shù)學(xué)文化[32]．

(4)育人價值．數(shù)學(xué)的抽象、推理和模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中，具有其他學(xué)科不可替代的育人價值[33]．對具體事例(事物)的抽象概括，不僅可以得到數(shù)學(xué)的研究對象如“數(shù)”“形”、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)定律，更具教育意義的是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程、掌握數(shù)學(xué)抽象的方法、感悟數(shù)學(xué)抽象的思想，能讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何從量或形的角度去觀察、認識、把握現(xiàn)實事物，基于“客觀世界-數(shù)學(xué)世界”的數(shù)學(xué)認知方式是每個公民無論從事何種職業(yè)都不可缺少的基本素養(yǎng)．因此，抽象思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育最核心的育人價值[34]．數(shù)學(xué)推理包括合情推理、邏輯推理、統(tǒng)計推理、模糊推理等，對形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的理性思維、科學(xué)精神、嚴謹求實態(tài)度；實踐創(chuàng)新能力；學(xué)習(xí)能力等方面都有育人的價值[35]．數(shù)學(xué)的模型思想是學(xué)生在建模、解模、用模、評模(即評價模型)等活動中形成的．數(shù)學(xué)的模型思想地形成有利于學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式去認識、分析和表征“個體的生活世界”與“客觀世界”．

(5)審美價值．在古希臘時期數(shù)學(xué)被珍視為一門藝術(shù)，當時的數(shù)學(xué)家把算術(shù)與幾何視之為心智的藝術(shù)與靈魂的音樂，他們已經(jīng)在數(shù)學(xué)中認識到和諧、簡單、明確等美學(xué)特征．古希臘的數(shù)學(xué)家正是基于對數(shù)學(xué)美的認識和欣賞，才使得當時對某些數(shù)學(xué)理論的研究，已遠遠超越理解自然界所必需的深度[36]．“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美．正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美”[37]．如果美的組成和藝術(shù)作品的特征包括洞察力和想象力，對稱性和比例、簡潔，以及精確地適應(yīng)達到目的手段，那么數(shù)學(xué)就是一門具有其特有完美性的藝術(shù)[37]．

2.5 對“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造機制”的理解

“許多數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造成果可以看成為通過直覺俘獲的‘戰(zhàn)利品’，而邏輯好比是‘關(guān)卡’，在這里起了驗收的作用，沒有直覺就不可能達到目的地．”數(shù)學(xué)直覺又分辨識直覺、關(guān)聯(lián)直覺和審美直覺．審美直覺是解決新思想、新方法是否符合數(shù)學(xué)美的原則問題[38]．任何數(shù)學(xué)科學(xué)的創(chuàng)造發(fā)明都產(chǎn)生于觀念的選擇，而最佳選擇的出現(xiàn)歸因于無意識里的“審美直覺”[39]．“人腦(最高物質(zhì)組織形式或機制)”內(nèi)蘊心智本能[21]，心智本能內(nèi)蘊數(shù)學(xué)創(chuàng)新機制，數(shù)學(xué)的發(fā)明創(chuàng)造源于數(shù)學(xué)審美直覺，數(shù)學(xué)審美直覺基于研究對象的和諧性與簡單性．由此得到數(shù)學(xué)創(chuàng)新機制的線路：研究對象、和諧性與簡單性、數(shù)學(xué)審美直覺、數(shù)學(xué)創(chuàng)新．因此，數(shù)學(xué)審美直覺可激活數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的心理機制．但數(shù)學(xué)創(chuàng)新的“心智本能”在人的心智機制中往往潛藏得很深，對中學(xué)生來說，需要教師通過數(shù)學(xué)審美去喚醒、激發(fā)、強大起來[39]，才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新．因此，把數(shù)學(xué)講得很美，讓學(xué)生認知數(shù)學(xué)的美、欣賞數(shù)學(xué)的美、感悟數(shù)學(xué)的美、創(chuàng)立數(shù)學(xué)的美，是數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造能力的核心素養(yǎng)．當然，這需要教師具有深厚的數(shù)學(xué)專業(yè)功底、教育理論功底以及優(yōu)良的教學(xué)功夫．數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(創(chuàng)造)源于對數(shù)學(xué)美的感受與追求．美是靈感的源泉．美感是感覺的極致．教師數(shù)學(xué)語言的優(yōu)美、圖形的美觀和板書的工整是學(xué)生感受數(shù)學(xué)美最直接的路徑．

3 中學(xué)數(shù)學(xué)教師理解數(shù)學(xué)的路徑

素養(yǎng)源于學(xué)習(xí)、練習(xí)及反思．中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)習(xí)分為工作前系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)和工作后的在職學(xué)習(xí)，在職學(xué)習(xí)包括研讀中學(xué)數(shù)學(xué)著作特別是中學(xué)數(shù)學(xué)期刊、做中學(xué)數(shù)學(xué)知識和問題的專題研究性學(xué)習(xí)以及積極參加與中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的討論交流活動．因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教師“理解數(shù)學(xué)”的素養(yǎng)的生成路徑有：運用“高觀點”深度理解中學(xué)數(shù)學(xué)知識；研讀中學(xué)數(shù)學(xué)著作特別是中學(xué)數(shù)學(xué)期刊；做中學(xué)數(shù)學(xué)知識和問題的專題研究；積極參加與中學(xué)數(shù)學(xué)知識和問題相關(guān)的討論交流活動．

3.1 運用“高觀點”深度理解中學(xué)數(shù)學(xué)知識

系統(tǒng)學(xué)習(xí)并掌握大學(xué)本科(或研究生)階段的數(shù)學(xué)知識體系是本科學(xué)生(或研究生)獲得中學(xué)數(shù)學(xué)教師資格的必備條件，也是獲得“理解數(shù)學(xué)”素養(yǎng)的主要渠道，還是認識、形成“高觀點”的關(guān)鍵．“高觀點”是用高等數(shù)學(xué)的知識、方法、思想和觀點去看待并處理初等數(shù)學(xué)問題的簡稱．系統(tǒng)學(xué)習(xí)小學(xué)的算術(shù)、中學(xué)數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師生成“理解數(shù)學(xué)”素養(yǎng)的主要途徑．只有系統(tǒng)學(xué)習(xí)并全面掌握高等數(shù)學(xué)、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，才能形成中學(xué)數(shù)學(xué)的“高觀點”，才能用“高觀點”認識和處理中學(xué)數(shù)學(xué)的疑難問題，才能更加深刻地理解中學(xué)數(shù)學(xué)的知識、方法和思想．

3.2 通過數(shù)學(xué)活動來理解數(shù)學(xué)

(1)研讀中學(xué)數(shù)學(xué)著作特別是中學(xué)數(shù)學(xué)期刊．許多中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師(名師、專家)的成長經(jīng)驗表明，研讀大量中學(xué)數(shù)學(xué)著作特別是中學(xué)數(shù)學(xué)期刊是這些教師成長為中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師(名師、專家)的必經(jīng)之路．幾乎所有中學(xué)數(shù)學(xué)期刊都刊登了大量涉及數(shù)學(xué)疑難概念的理解與教學(xué)，數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用、推廣與教學(xué)，教材中典型例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題的深度研究與教學(xué)等方面的文章，這些文章凝聚了許多中學(xué)一線教師(專家)、教研員、高校學(xué)科專家的心血與智慧，這些文章對中學(xué)數(shù)學(xué)知識和問題在認識上有深度、在思維上有廣度、在思想上有厚度．也可以說，這些文章是深刻理解中學(xué)數(shù)學(xué)的“范文”，是教師快速獲得“理解數(shù)學(xué)”素養(yǎng)的“階梯”．教師在讀這些“范文”、登這些“階梯”之后，還應(yīng)寫出心得體會，寫出所想、所感、所悟、所獲，最后把寫出來的文章去投稿并爭取發(fā)表．這是中學(xué)數(shù)學(xué)教師生成“理解數(shù)學(xué)”的快速路徑．

(2)做中學(xué)數(shù)學(xué)知識和問題的專題研究．教研與創(chuàng)新素養(yǎng)是教師專業(yè)發(fā)展的核心素養(yǎng)．數(shù)學(xué)教師的教研與創(chuàng)新素養(yǎng)是指在數(shù)學(xué)科學(xué)和教育科學(xué)指導(dǎo)下開展教育課題研究、探索數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律、優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方案和解決數(shù)學(xué)教學(xué)疑難的素養(yǎng)[10]．做中學(xué)數(shù)學(xué)知識和問題的專題研究是教師獲得“理解數(shù)學(xué)”素養(yǎng)的重要路徑．教師對中學(xué)數(shù)學(xué)知識和問題做一些專題研究，必然對這些數(shù)學(xué)知識和問題要有全面的了解，圍繞這些數(shù)學(xué)知識和問題的探究與深刻認識一般需要讀相關(guān)的大量文獻，更需要深度地思考．這些工作的有效實施，一般會對這些專題研究的內(nèi)容(數(shù)學(xué)知識和問題)形成深刻的理解．因此，無論是探究還是研究中學(xué)數(shù)學(xué)的知識和問題，都會對這些知識和問題得到良好的理解．

(3)積極參加與中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的討論交流活動．教師在參加各種教研活動(含教師培訓(xùn))中，積極與其他教師討論數(shù)學(xué)疑難問題，主動交流學(xué)習(xí)、探究一些中學(xué)數(shù)學(xué)知識和問題的認知狀況、心得體會、經(jīng)驗教訓(xùn)，這些都會獲得新的認識和經(jīng)驗．教師在與學(xué)生的對話、討論、交流等過程中，特別是學(xué)生向老師突然提問并且教師對這個問題的思考不多或不太深入，這時教師的思維處于應(yīng)急狀態(tài)，教師急需頓悟，往往可能突發(fā)靈感，對一些數(shù)學(xué)知識和問題會突然有新的認識和理解．因此，教師在參與中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)知識和問題的討論交流活動中容易產(chǎn)生頓悟，即對某些數(shù)學(xué)知識和問題產(chǎn)生新的認識和理解．