明理激趣 “理”所當(dāng)然

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生“明理”，而“講理”是數(shù)學(xué)的本色。從數(shù)學(xué)教學(xué)的本位價值和兒童對象來思考，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)追尋一種有趣的“理”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生詮釋“理”的現(xiàn)象、探尋“理”的規(guī)則、明晰“理”的方法，進而感悟“理”的本質(zhì)，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的“理”趣。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué)策略;明理激趣

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）16-0044-02

引 言

著名數(shù)學(xué)家M·克萊因說過：“在最廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)是一種理性精神?！贝颂幹袄怼?，不僅包括數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展，以及數(shù)學(xué)知識形成的最終結(jié)果，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)體系的條理性與結(jié)構(gòu)的邏輯性。在日常教學(xué)中，如何讓學(xué)生去明理激趣呢？筆者在教學(xué)實踐中，采用了如下策略。

一、由生活到數(shù)學(xué)，詮釋原型之“理”

數(shù)學(xué)知識是從生活中抽象出來的，它不是生活的重復(fù)概述，而是高于生活的結(jié)晶。數(shù)理的感知與理解，可以借助生活原型來詮釋，通過生活實踐去體驗和理解。生活實例會闡明數(shù)學(xué)之“理”，讓學(xué)生明晰數(shù)學(xué)知識的來龍去脈[1]。

【案例1】“美味的比薩”

在教學(xué)了“圓的面積”后，筆者在課堂的最后出示了這樣一道題：某快餐店有6寸、8寸、12寸幾款厚度大致相同的普通比薩供顧客選擇。明明和強強去吃比薩，點了一份12寸的。服務(wù)員客氣地說“很抱歉，12寸的賣完了”，同時，端來了一份8寸的和一份6寸的來抵換。明明說：“可以，8+6=14（寸），還大了2寸?！睆姀娬f：“不行，拿一份8寸的加兩份6寸的，那才差不多?！蹦阃庹l的觀點？

這一題的背景，學(xué)生都比較熟悉，而且也很感興趣。圍繞著不同的觀點，學(xué)生展開了激烈的辯論：有的學(xué)生同意明明的觀點，理由是2個比薩的尺寸超過了1個12寸;更多的學(xué)生經(jīng)過思考和計算給出了反對的意見。當(dāng)應(yīng)用“圓的面積”知識解決了這一問題時，學(xué)生都情不自禁地歡呼了起來。這份喜悅不僅是因為學(xué)生掌握了圓面積的計算方法，還因為其充分感受到觀點背后“理”的力量，從心底里更喜歡數(shù)學(xué)了。

二、由特殊到一般，探尋規(guī)則之“理”

數(shù)學(xué)是抽象的思維，其不滿足于對個別具體事物的研究，故而，教師應(yīng)從其表面到本質(zhì)，從一個問題到一組問題、一類問題，帶著學(xué)生超越現(xiàn)象去認(rèn)識隱藏于其背后的規(guī)律、規(guī)則。學(xué)生以點帶面、由此及彼，從而實現(xiàn)對規(guī)則的遷移運用，達到以一當(dāng)十、舉一反三的目的，以解決更多數(shù)學(xué)問題。

【案例2】 圖形的密鋪

“正六邊形可以密鋪”這一規(guī)律學(xué)生皆已知曉，在此基礎(chǔ)上，教材設(shè)計了如下5個圖形（見圖1）。筆者讓學(xué)生去猜想和驗證其密鋪情況。筆者在完成上述內(nèi)容的教學(xué)后，又設(shè)計了一個問題：“如果再出示一個規(guī)則圖形，判斷其能否密鋪，你會怎么做呢？”

接著，筆者向?qū)W生提問：“你覺得正八邊形可以密鋪嗎？”學(xué)生出現(xiàn)了“能”與“不能”兩種猜想。“要解決這個問題，你覺得可以怎么做？”筆者讓學(xué)生自己設(shè)法去解決問題?！皠邮制匆黄床痪椭懒耍　睂W(xué)生幾乎異口同聲回答?！皠邮植僮鱽硌芯渴且环N好方法，可是現(xiàn)在老師這兒沒有正八邊形，這怎么辦呢？看來我們得另謀出路了?！惫P者繼續(xù)點撥學(xué)生說：“請同學(xué)們先想一想正五邊形為什么不可以密鋪，而正六邊形卻可以呢？大家能否從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？”

以上的教學(xué)過程，由個案過渡到通例，由點及面，由特殊到一般，不僅使學(xué)生掌握了探尋數(shù)學(xué)規(guī)則的方法，還幫助學(xué)生養(yǎng)成一種自覺追問數(shù)學(xué)一般規(guī)則的意識與習(xí)慣。

三、由常規(guī)到深度，明晰方法之“理”

以數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)指向?qū)W(xué)生深度思維的培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要讓學(xué)生“知其所以然”，讓學(xué)生弄清楚數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵與本質(zhì)。學(xué)生以常規(guī)性方法進行學(xué)習(xí)，其思維多會停留在淺表層面，只能對其算理略知一二。這樣的“所以然”并不是真正可靠的，缺少數(shù)學(xué)的“理性”。對于有些方法，教師不能僅僅借助于“告訴”，也不能僅僅滿足于常規(guī)性方法，而要帶領(lǐng)學(xué)生進行深度鉆研，細細“體悟”數(shù)學(xué)方法之“理”。

【案例3】 “同頭尾合十”可以這樣教

多數(shù)教師在教學(xué)“同頭尾合十”的乘法計算規(guī)律時，一般先組織學(xué)生多次嘗試具體計算，然后通過具體歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。為了彰顯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，教師還會讓學(xué)生再次舉例驗證，最終概括出普適性的一般規(guī)律。這樣的常規(guī)教學(xué)比較完整、流暢，學(xué)生能較好地掌握計算規(guī)律，同時能運用規(guī)律解決相關(guān)問題。

筆者在教學(xué)該內(nèi)容時，并沒有采用上述常規(guī)性方法，而是實施深度教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)。筆者首先引導(dǎo)學(xué)生觀察兩組算式，并讓他們思考：積的末兩位與兩個乘數(shù)個位上的數(shù)相乘的結(jié)果有何關(guān)系？為什么積的末兩位前面數(shù)位上的數(shù)是乘數(shù)十位上的數(shù)與比它大1的數(shù)相乘的結(jié)果？在學(xué)生稍做思考后，筆者并未急于向他們要答案，而是邊出示圖2邊提問：“某同學(xué)在計算23×27時，畫了三幅圖，你能看出其中的道理嗎？”學(xué)生邊觀察邊思考。聰明的學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：這個乘法的結(jié)果由四個部分組成，四個長（正）方形的面積分別代表每個部分，依次是“個位乘個位”“個位乘十位”“十位乘個位”“十位乘十位”。計算時可以先把“個位乘十位”的“3×20”與“十位乘個位”的“20×7”進行合并，變成“20×10”;接著與“十位乘十位”的“20×20”相加，就是“20×30=600”，在百位上寫“6”（也就是積的末兩位的前面）;“3×7=21”，代表“個位乘個位”，在十位上寫“2”，在個位上寫“1”（也就是積的末兩位）;這樣，積的最終結(jié)果就是“621”?？梢?，借助數(shù)形結(jié)合，學(xué)生明晰了這一方法的深層次的“理”。

四、由外顯到內(nèi)在，挖掘本質(zhì)之“理”

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生有時看到的并非真實的，容易被表面欺騙，有些問題直覺上好像有道理，實質(zhì)上或許是錯誤的，其本質(zhì)隱藏得很深。因此，教師應(yīng)告訴學(xué)生不要被外在表象迷惑，而應(yīng)透過表面，洞察內(nèi)在，挖掘本質(zhì)之“理”。

【案例4】“奇妙的百分率”

在六年級上冊教學(xué)過“百分?jǐn)?shù)”后，為讓學(xué)生進一步理解百分率的意義、挖掘百分率的本質(zhì)之理，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣一個情境：小明和小華進行投籃比賽，每人都投了40個球，比賽經(jīng)過了兩個階段，第一階段小明投籃的命中率為60%，小華的為50%;第二階段小明投籃的命中率為92%，小華的為90.625%，然后拋出問題：綜合考慮兩階段投籃的情況，你認(rèn)為誰投籃的命中率高？

在教學(xué)實踐中，筆者進行了如下安排。

（1）預(yù)測與猜想——讓直覺先行。筆者引導(dǎo)學(xué)生利用自己的直覺進行判斷，并和同桌說說這樣預(yù)測的理由。大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為，“小明兩階段投籃的命中率都比小華高，所以小明最終的投籃命中率一定比小華高”;也有少部分學(xué)生并不這樣認(rèn)為，而是進行了深入觀察與思考，做出深入的推理，并提出了有價值的猜想，雖然不能完整地表達出原因，但也給出了合理的理由。

（2）計算與驗證——讓矛盾呈現(xiàn)。教師出示兩個階段的投籃數(shù)據(jù)（見表1），并讓學(xué)生利用求百分率的方法進行計算。學(xué)生計算后驚訝地發(fā)現(xiàn)“兩階段合起來小華投籃的命中率竟然比小明高”，計算結(jié)果與原先猜想出現(xiàn)了背離，導(dǎo)致一些學(xué)生驚訝地說：“怎么會這樣呀？”教師趁勢引導(dǎo)：“和你預(yù)測的結(jié)果一樣嗎？對此你有什么想法？”有了數(shù)據(jù)實證的支撐，學(xué)生開始反思其中的道理。

（3）分析與思考——讓本質(zhì)凸顯。筆者引導(dǎo)學(xué)生獨立思考：“小華兩階段投籃的命中率都比小明低，總的投籃命中率卻超過了小明，想一想這是為什么？先將你的想法寫下來，再和同學(xué)們交流分享?！贝藭r，學(xué)生已有的知識經(jīng)驗與當(dāng)前的情境產(chǎn)生了強烈的沖突，他們心理上產(chǎn)生了填補這些空白的強烈欲望。筆者抓住這個契機，引導(dǎo)學(xué)生探究本質(zhì)。學(xué)生的思維火花不斷涌現(xiàn)，逐漸逼近其本質(zhì)。

生1：他們兩人在兩個階段比賽的單位“1”不一樣，因此是無法直接比較的，僅從這兩個階段的命中率去判斷是不準(zhǔn)確的，要想做出正確判斷，只有比較總命中率。（開始抓住總命中率的意義去思考）

生2：第一階段小明投中的個數(shù)和投籃個數(shù)相差6個，第二階段相差2個，共相差了8個;而小華兩個階段投中的個數(shù)和投籃個數(shù)總共相差7個，兩人投籃總個數(shù)都是40個，所以小華總的投籃命中率超過了小明。（用具體的數(shù)據(jù)推測，有理有據(jù)）

結(jié)? ? 語

數(shù)學(xué)中有著無數(shù)的不可思議，或許這正是數(shù)學(xué)的魅力所在！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能想當(dāng)然，不能被直覺左右。學(xué)生不能僅僅根據(jù)自己的直覺去判斷，而要用“第三只眼”去觀察，要善于進行理性的思考，透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生在思考中充分感受數(shù)學(xué)的理趣，這是在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生理性精神的價值所在。

[參考文獻]

朱紅偉.數(shù)學(xué)課堂：如何促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J].教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2020（01）：62-65.

作者簡介：王興偉（1973.1—），男，江蘇揚州人，本科學(xué)歷，中小學(xué)高級教師。