基于群表示論的微波等離激元諧振器模式響應(yīng)研究

楊 杰,王甲富,賈宇翔，陳 維,屈紹波

(1.空軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部物理與軍用材料教研室，西安 710051；2.中國人民解放軍93704部隊(duì)，北京 101100)

0 引 言

表面等離子體(surface plasmon)是材料表面的自由電子受外部電磁場驅(qū)動(dòng)而產(chǎn)生的集體振蕩模式，其能量高度局域在材料表面[1-2]。表面等離子體的導(dǎo)行模式形成了可沿材料表面?zhèn)鞑サ碾娮邮杳懿?，即表面等離激元(surface plasmon polariton, SPP)[2]；其局域模式形成了局域在材料表面某一特定區(qū)域的駐波模式，即局域表面等離激元(localized surface plasmon, LSP)[1]。局域表面等離激元是一種強(qiáng)諧振模式，具有深亞波長局域場增強(qiáng)和高Q值諧振的特點(diǎn)，它為研究光與物質(zhì)的相互作用提供了良好平臺(tái)，并已被廣泛應(yīng)用于光學(xué)天線[3-4]、拉曼散射增強(qiáng)[5-6]和生物化學(xué)傳感[7-8]等多個(gè)領(lǐng)域。傳統(tǒng)的局域表面等離激元產(chǎn)生于光頻段，可由外部光激發(fā)金屬納米顆?；蛭⒔Y(jié)構(gòu)產(chǎn)生[1,9]。超材料的興起成功地將局域表面等離激元的概念從光頻段拓展到了遠(yuǎn)紅外、太赫茲和微波頻段，相應(yīng)地產(chǎn)生了人工局域表面等離激元(spoof localized surface plasmon, SLSP)的概念[10-11]。作為局域表面等離激元的低頻對應(yīng)物，人工表面等離激元也具有局域場增強(qiáng)和諧振Q值高的特點(diǎn)，可被廣泛用于微波電路設(shè)計(jì)[12-14]、微波傳感[11,15]和渦旋波產(chǎn)生[16-17]等領(lǐng)域。

人工局域表面等離激元是由微波等離激元諧振器(microwave plasmonic resonator)產(chǎn)生的[10-11]，通常該諧振器具有離散旋轉(zhuǎn)對稱性和鏡面反射對稱性。當(dāng)鏡面對稱性被打破，微波等離激元諧振器退化為磁微波等離激元諧振器，后者可以產(chǎn)生磁局域表面等離激元[18]。為了研究微波等離激元諧振器的模式響應(yīng)，研究人員發(fā)展出了兩種基于不同理論機(jī)制的方法：基于等效媒質(zhì)理論的超材料方法[10]和利用矩形晶格色散特性近似描述角晶格色散特性的等效色散方法[11,19-20]。這兩種方法均未能充分考慮諧振器的幾何對稱性，尤其是離散旋轉(zhuǎn)對稱性，前一種方法將諧振器等效為無限旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)，后一種方法則將諧振器直接等效為離散平移對稱結(jié)構(gòu)。眾所周知，對稱性決定物理。這兩種理論忽略了離散旋轉(zhuǎn)對稱性，其結(jié)果必然導(dǎo)致諧振器的物理性質(zhì)不能被充分揭示。

本文使用對稱性分析中最核心的數(shù)學(xué)工具——群表示論，研究了微波等離激元諧振器的模式響應(yīng)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)諧振器的幾何對稱性實(shí)質(zhì)上完全決定了其本征模式的對稱性。具體來講，離散旋轉(zhuǎn)對稱性的重?cái)?shù)決定了諧振器可以支持哪些階數(shù)的局域表面等離激元模式；鏡面反射對稱性的出現(xiàn)進(jìn)一步引入了更多階的模式響應(yīng)。數(shù)值和全波仿真很好地證明了本文群表示論方法的有效性。

1 背景理論

1.1 微波等離激元諧振器及其研究理論

微波等離激元諧振器通常由環(huán)形的金屬褶皺構(gòu)成，褶皺間填充了電介質(zhì)材料，其典型結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示。研究之初，該諧振器被設(shè)計(jì)為二維無限長(沿z方向尺寸無限長)的金屬圓柱結(jié)構(gòu)[10]。隨著研究的深入，無限長金屬圓柱結(jié)構(gòu)被簡化為有限厚度乃至近零厚度的金屬圓盤[11]，這一簡化極大地推動(dòng)了人工局域表面等離激元走向?qū)嶋H應(yīng)用的進(jìn)程。描述微波表面等離激元諧振器模式響應(yīng)的方法主要有兩種。第一種是基于等效媒質(zhì)理論的超材料方法[10]。這種方法將諧振器的外圍環(huán)形金屬褶皺和其間填充的電介質(zhì)材料等效為一層均勻的電介質(zhì)，所以整個(gè)諧振器就能等效為中心金屬圓盤嵌套外圍等效媒質(zhì)的核殼結(jié)構(gòu)，如圖1(b)所示，計(jì)算等效媒質(zhì)中的駐波解即可求得諧振器的模式響應(yīng)。第二種是等效色散法[11,19-20]。這一方法將諧振器的方向角晶格等效為矩形晶格，如圖1(c)所示，通過分析矩形晶格的色散響應(yīng)近似求出諧振器的模式響應(yīng)。這兩種方法的缺陷均未能充分考慮諧振器的幾何對稱性，尤其是離散旋轉(zhuǎn)對稱性。

圖1 微波等離激元諧振器：(a)典型金屬結(jié)構(gòu)圖示;(b)等效媒質(zhì)法圖示;(c)角晶格近似為矩形晶格圖示

(1)

其中n代表了金屬結(jié)構(gòu)表面的外法線方向。式(1)可寫作電磁散射算子方程的形式，Z{J(r′)}=n×Einc，其中Z是金屬結(jié)構(gòu)的阻抗算子。阻抗算子包含了金屬結(jié)構(gòu)的所有本征模信息且與外部激勵(lì)無關(guān)。通過計(jì)算算子Z的本征值，就能研究諧振器所支持的所有本征局域表面等離激元模式。

1.2 對稱性分析

微波等離激元諧振器通常具有M重旋轉(zhuǎn)對稱性和鏡面反射對稱性，其幾何對稱性構(gòu)成CMv群。以對稱性構(gòu)成C7v群的諧振器結(jié)構(gòu)為例，如圖1所示。該結(jié)構(gòu)具有7重旋轉(zhuǎn)對稱性，即結(jié)構(gòu)繞z軸旋轉(zhuǎn)φ0(φ0=360°/7)的整倍數(shù)角度后仍保持不變。每個(gè)旋轉(zhuǎn)對稱元素依次可標(biāo)記為(C7)m(m=0,…,6)。此外，該結(jié)構(gòu)還具有7個(gè)過z軸的鏡像對稱面，每個(gè)鏡像對稱面與xoy面的交線與x軸的夾角為φ0/2(φ0/2=180°/7)的整數(shù)倍，當(dāng)以每個(gè)鏡像對稱面為準(zhǔn)做鏡像操作后，結(jié)構(gòu)仍保持不變。C7v群的每個(gè)鏡像對稱元素屬于同一類[22]，故可被統(tǒng)一標(biāo)記為σv。C7v群的特征值如表1所示[23]，其中E代表單位元(即(C7)0)，A1和A2是兩個(gè)一維不可約表示，E1～E3是三個(gè)二維不可約表示。由群表示論可知，群的不可約表示可根據(jù)對稱性對函數(shù)進(jìn)行分類，其中用到的最重要的工具就是每個(gè)不可約表示對應(yīng)的投影算子。對C7v群的某一不可約表示Г(Г可取A1，A2，E1，E2和E3)，可以為其構(gòu)造投影算子如下[22]：

(2)

表1 C7v群的特征值[23]

1.3 互易性關(guān)系

不難證明，微波等離激元諧振器的阻抗算子與C7v群每個(gè)不可約表示對應(yīng)的投影算子都互易[24-25]，即：

ZPΓ=PΓZ

(3)

以上的互易關(guān)系表明兩個(gè)算子擁有共同的本征函數(shù)，且這些本征函數(shù)是完備的[22]?；诖嘶ヒ钻P(guān)系，能通過投影算子的本征函數(shù)研究微波等離激元諧振器的本征模，而微波等離激元諧振器的本征模即是諧振器所能支持的本征局域表面等離激元模式，特定外部激勵(lì)所能激發(fā)的模式都能表示為這些本征模式的線性疊加。

2 結(jié)果與討論

2.1 投影算子本征電場

(4)

(5)

(6)

圖2 二維不可約表示：(a)加權(quán)偶極子陣列；(b)歸一化散射電場z分量

(7)

式(7)第一個(gè)公式描述的偶極子陣列如圖3(a)所示，其中p1為偶極矩p1的模，p1=2cos(α)p0。同樣地可數(shù)值計(jì)算出A1不可約表示對應(yīng)的散射電場的z分量，如圖3(b)所示。由圖3(b)可知，A1不可約表示的投影算子對應(yīng)的本征電場z分量為拓?fù)浜蔀?的渦旋模式，這意味著微波等離激元諧振器支持可零階渦旋模式，這也是一種特殊的人工局域表面等離激元模式(在之前的研究中也被稱作磁偶極子模式[18])。

圖3 A1不可約表示：(a)偶極子陣列；(b)歸一化散射電場z分量

最后考慮A2不可約表示。類似的方法，可求得A2不可約表示對應(yīng)的偶極子陣列和其輻射的電場z分量表達(dá)式如下：

(8)

式(8)第一個(gè)公式描述的偶極子陣列如圖4(a)所示，其中p2為偶極矩p2的模，p2=2sin(α)p0。運(yùn)用數(shù)值方法可求得A2不可約表示對應(yīng)的散射電場的z分量如圖4(b)所示。由圖4(b)可知，A2不可約表示的投影算子對應(yīng)的本征電場z分量為十四極子模式，這意味著微波等離激元諧振器還可支持十四極子模式。

圖4 A2不可約表示：(a)偶極子陣列；(b)歸一化散射電場z分量

因?yàn)镃7v群只有五個(gè)不可約表示，分別對應(yīng)了五種不同的本征人工局域表面等離激元模式，這五種模式也是諧振器阻抗算子的本征模，分別為零階模式、偶極子模式、四極子模式、六極子模式和十四極子模式。因此對于對稱性構(gòu)成C7v群的微波等離激元諧振器只能支持五種人工局域表面等離激元模式或這五種模式的線性疊加模式。值得一提的是偶極子、四極子和六極子模式都對應(yīng)了C7v群的二維不可約表示，不可約表示的維度表征了模式的簡并度[22]，所以這三個(gè)模式是二重簡并的，它們分別可用一對互為共軛的一階、二階、三階渦旋模式疊加得到。這一結(jié)論與最近報(bào)道的利用微波等離激元諧振器實(shí)現(xiàn)渦旋模的工作是一致的[17]。此外，當(dāng)打破鏡面反射對稱性之后，C7v群退化為C7群，C7群是C7v群一個(gè)子群。通過對比兩個(gè)群的特征值表(可由文獻(xiàn)[23]查得)，發(fā)現(xiàn)C7v群相比C7群多了A2不可約表示。所以可得結(jié)論，對稱性構(gòu)成C7v群的諧振器能支持的十四極子模式是由于鏡面反射對稱性存在導(dǎo)致的，當(dāng)鏡面對稱性被打破后，諧振器不再支持十四極子模式。鏡面對稱的另一個(gè)作用是導(dǎo)致了二重簡并模式的出現(xiàn)。當(dāng)鏡面對稱性被打破后，若諧振器是一個(gè)厄米系統(tǒng)，時(shí)間反演對稱性會(huì)扮演與鏡面對稱性相同的作用，即導(dǎo)致相同的二重簡并；若是一個(gè)非厄米系統(tǒng)，時(shí)間反演對稱性也被打破，所有模式都將是非簡并的[22]。

2.2 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文中提出的群表示論方法，本課題組設(shè)計(jì)了一個(gè)可以激發(fā)人工局域表面等離激元的器件，如圖5(a)所示。該器件由五層組成。第一層是0.018 mm厚的金屬結(jié)構(gòu)諧振器，該結(jié)構(gòu)的對稱性組成C7v群，其結(jié)構(gòu)參數(shù)為：ri=8 mm，ro=15 mm，金屬鋸齒占空比為0.6。第二層為0.508 mm厚的圓形介質(zhì)基板，介質(zhì)板半徑rd=32 mm。第三層和第五層使用與第二層完全相同的介質(zhì)基板。第四層是0.018 mm厚的金屬地板。第二層與第三層介質(zhì)板之間有一段微帶線，由金屬制成，用以激發(fā)諧振器。第五層介質(zhì)板下表面刻蝕有微帶線用以連接饋電端口。第五層下表面的微帶線和第二、三層間的微帶線由一個(gè)金屬過孔連接，過孔內(nèi)徑是1 mm。過孔的中心軸線距離z軸的距離為rf=6 mm，如圖5(a)所示。金屬地板在金屬過孔穿過的位置開了小孔以避免二者的電連接。微帶線寬度為1.1 mm以保證微帶線輸入阻抗為50 Ω。外部激勵(lì)從圖5(a)標(biāo)注的端口(port)處輸入。以上的金屬組件均由銅制成，在微波段，銅可被視為完美電導(dǎo)體；所有的介質(zhì)材料均由Rogers4350B制成(相對介電常數(shù)3.48，損耗角正切0.037)。

圖5 微波等離激元諧振器及其在單端口饋電下的電磁響應(yīng)：(a)原理驗(yàn)證件圖示；(b)仿真的反射率曲線；(c)仿真的歸一化電場z分量實(shí)部

整個(gè)器件的全波仿真在商業(yè)軟件CST microwave studio中完成。仿真得到的反射率(S11)曲線如圖5(b)所示。在圖5(b)中能觀察到在0～8 GHz頻段內(nèi)存在四個(gè)反射率極小點(diǎn)，這四個(gè)極小點(diǎn)對應(yīng)了諧振器被激發(fā)諧振處的頻點(diǎn)。四個(gè)諧振點(diǎn)所在的頻率依次為 2.69 GHz、3.77 GHz、4.29 GHz和6.01 GHz，相應(yīng)的電場z分量實(shí)部在一個(gè)截面上的分布如圖5(c)所示，該截面距離諧振器上表面10 mm。由圖5(c)可知，前三個(gè)頻點(diǎn)的電場z分量對應(yīng)了偶極子、四極子和六極子人工表面等離激元模式，第四個(gè)頻點(diǎn)則對應(yīng)了零階人工表面等離激元模式，也即零階渦旋模式或磁偶極子模式。這四個(gè)頻點(diǎn)處的人工表面等離激元模式對應(yīng)了C7v群的E1、E2、E3和A1不可約表示。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文群表示論方法的有效性。對于A2不可約表示對應(yīng)的十四極子模式，在設(shè)計(jì)的器件中未能被有效激發(fā)，主要是因?yàn)槭臉O子模式階數(shù)較高，且出現(xiàn)在更高頻點(diǎn)處，激發(fā)該模式需要饋電系統(tǒng)具備更復(fù)雜的對稱性以與該模式的對稱性相匹配，故而也更難激發(fā)。值得注意的是，雖然對稱性組成C7v群的微波等離激元諧振器只能支持偶極子、四極子、六極子、十四極子和零階模式這5種模式，但若考慮到沿極徑方向的諧振階數(shù)，該諧振器其實(shí)還能支持這五種對稱模式的反對稱模，反對稱模式的研究已在之前的很多工作中出現(xiàn)[15,26]。

3 結(jié) 論

本文提出了基于群表示論的對稱性分析方法用以研究微波等離激元諧振器的模式響應(yīng)。研究結(jié)果表明諧振器的幾何對稱性所構(gòu)成的群的不可約表示數(shù)目決定了諧振器所能支持的人工局域表面等離激元模式數(shù)。以對稱性組成C7v群的微波等離激元諧振器為例，C7v群只有五個(gè)不可約表示，相應(yīng)地該諧振器僅能支持五種人工局域表面等離激元模式或這五種模式的線性疊加模式，其中7重旋轉(zhuǎn)對稱性使其能支持偶極子、四極子、六極子和零階模式這四種模式，鏡面對稱性額外導(dǎo)致了十四極子模式的出現(xiàn)。數(shù)值和全波仿真很好地證明了群表示論方法的有效性。經(jīng)典的基于等效媒質(zhì)理論的超材料方法將諧振器等效為無限旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)，此種等效意味著諧振器理論上能支持無窮多階的局域表面等離激元模式；等效色散法則將離散旋轉(zhuǎn)對稱性完全等效為離散平移對稱性，雖然這對分析諧振器幾何參數(shù)對諧振頻率的影響極為有效，但卻脫離了諧振器的物理實(shí)際。相比前兩種經(jīng)典方法，本文提出的群表示論方法具有更普遍的適用性，只要知道諧振器所具備的幾何對稱性，就能根據(jù)對稱性所構(gòu)成的群分析其所能支持的人工局域表面等離激元模式的階數(shù)。正因?yàn)槿绱?，群表示論方法?shí)質(zhì)上是獨(dú)立于諧振器的幾何參數(shù)的，因而它不能精確給出諧振器每個(gè)模式出現(xiàn)的頻點(diǎn)，這也是群表示論方法的缺憾：每個(gè)模式所在的頻點(diǎn)要根據(jù)具體的諧振器結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。