聲子晶體中波傳播的自準(zhǔn)直效應(yīng)

張 昭，張 磊，郭江川，李加瑞，王藝飛

(大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部工程力學(xué)系，工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

0 引 言

聲子晶體是一種人工設(shè)計(jì)的超材料，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)波的調(diào)諧和控制，頻率范圍可以從Hz到THz[1]。與光子晶體類似，聲子晶體具有能帶結(jié)構(gòu)和帶隙特性，通過(guò)密度/波速的周期性排布，使帶隙頻率范圍內(nèi)的波無(wú)法通過(guò)周期性聲子晶體結(jié)構(gòu)，從而形成頻帶禁區(qū)[2-3]。利用聲子晶體的帶隙特性，可以形成聲學(xué)二極管、聲學(xué)斗篷、熱二極管、熱斗篷等結(jié)構(gòu)元器件，以及減振降噪器件，具有良好的工業(yè)應(yīng)用前景。文獻(xiàn)[4]以變電站低頻噪聲為應(yīng)用背景，提出一種局域共振型聲子晶體板輕量化設(shè)計(jì)方法，通過(guò)振型位移及聲壓級(jí)復(fù)合聲強(qiáng)流線圖對(duì)其隔聲機(jī)理進(jìn)行了分析研究。文獻(xiàn)[5]以某汽車為研究對(duì)象，建立具有聲子晶體頂棚的汽車整車車身結(jié)構(gòu)有限元模型，發(fā)現(xiàn)在一定的頻率范圍內(nèi)，可以通過(guò)聲子晶體頂棚降低車內(nèi)的聲壓級(jí)。文獻(xiàn)[6]基于聲子晶體理論，引入新型聲子晶體減振墊層，以降低60～80 Hz特殊頻段的振動(dòng)水平，從而解決高速鐵路下穿機(jī)場(chǎng)航站樓引起的振動(dòng)噪聲問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]從熱聲子的擴(kuò)散輸運(yùn)、彈道輸運(yùn)等微觀機(jī)制出發(fā)，探討了材料微結(jié)構(gòu)與熱輸運(yùn)之間的關(guān)系。這些已有工作表明，聲子晶體對(duì)工業(yè)結(jié)構(gòu)中的減振降噪具有重要意義。除減振降噪外，聲子晶體具有一系列獨(dú)特的物理特性，為新裝置、新結(jié)構(gòu)的研究提供了新思路。與光子晶體中光的自準(zhǔn)直效應(yīng)類似，波在聲子晶體中傳播時(shí)，也會(huì)產(chǎn)生自準(zhǔn)直效應(yīng)[8-10]。Park等[11]通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)尋求最優(yōu)的材料布局，實(shí)現(xiàn)波在指定方向的自準(zhǔn)直傳播。Li等[12]設(shè)計(jì)了兩種不同的波束分流器，通過(guò)在周期性結(jié)構(gòu)中設(shè)置線缺陷，實(shí)現(xiàn)波束分流和轉(zhuǎn)向，進(jìn)一步研究顯示通過(guò)改變波束分流器單胞的內(nèi)部圓柱的大小和方柱的方向，可以改變和控制波束分流器的效率。Tan等[13]設(shè)計(jì)了一種聲光子晶體，以實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁波和聲波的波束控制，并研究了密度和彈性模量對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。Shu等[14]設(shè)計(jì)了一種可以實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁波和聲波進(jìn)行波束控制的聲光子晶體，并認(rèn)為這種無(wú)缺陷周期型結(jié)構(gòu)可以與有缺陷的周期性結(jié)構(gòu)具有類似的性能。通過(guò)聲子晶體的自準(zhǔn)直效應(yīng)，可以對(duì)指定頻率范圍內(nèi)的波實(shí)現(xiàn)波的轉(zhuǎn)向和分流，對(duì)波傳播的精確控制有重要意義。

聲子晶體自準(zhǔn)直效應(yīng)的形成與結(jié)構(gòu)單胞、材料中波傳播的波速、波的特性等問(wèn)題密切相關(guān)，研究波傳播自準(zhǔn)直效應(yīng)的形成機(jī)理對(duì)波傳播的控制和新的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要意義。與其他工作不同，本文聚焦于自準(zhǔn)直現(xiàn)象產(chǎn)生時(shí)頻率范圍的控制，通過(guò)對(duì)材料性質(zhì)、幾何性質(zhì)的調(diào)整和對(duì)比，探討自準(zhǔn)直現(xiàn)象產(chǎn)生的頻率范圍與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性。因此，本文通過(guò)設(shè)計(jì)周期性聲子晶體的結(jié)構(gòu)，分析陣列聲子晶體結(jié)構(gòu)中材料性能和幾何特性的周期性變化，關(guān)聯(lián)聲子晶體的設(shè)計(jì)與波傳播特性之間的關(guān)系，分析和闡述波傳播自準(zhǔn)直效應(yīng)的形成機(jī)理。

1 計(jì)算模型

對(duì)聲子晶體的波傳播問(wèn)題，可以采用色散面第一布里淵區(qū)內(nèi)波矢和本征頻率之間的關(guān)系，通過(guò)色散面的投影確定等頻線，確定波的傳播方向，因此，等頻線的形貌代表著不同的波傳播特性，如正折射、負(fù)折射和自準(zhǔn)直對(duì)應(yīng)不同的等頻線，等頻線形貌的變化意味著此時(shí)波束將沿該方向無(wú)衍射無(wú)拓寬的傳播，即產(chǎn)生波傳播的自準(zhǔn)直現(xiàn)象。利用這一特性，可以設(shè)定入射波的方向和單胞的方向，從而形成該方向上指定頻率范圍內(nèi)的無(wú)衍射無(wú)拓寬的波傳播。為了研究結(jié)構(gòu)和載荷的關(guān)聯(lián)性，本文選取了如圖1(a)所示的單胞，組成聲子晶體陣列結(jié)構(gòu)，如圖1(b)所示，陣列結(jié)構(gòu)的外邊界設(shè)定為無(wú)反射邊界。單胞為充液結(jié)構(gòu)，其單胞尺寸為a=10 mm，中心圓形結(jié)構(gòu)為固體，其直徑為D=7.8 mm。結(jié)構(gòu)單胞滿足周期性邊界條件[15-18]:

圖1 單胞結(jié)構(gòu)和陣列結(jié)構(gòu)

u(r+a)=u(r)eika

(1)

式中：u是位移矢量；r是邊界節(jié)點(diǎn)的位置矢量；a是聲子晶體的格矢基矢量；k為波矢。

介質(zhì)1為水，是可壓縮絕熱流體，其本構(gòu)方程如下：

(2)

式中：p是壓力；Kf是流體的體積模量；uf為位移；x為空間坐標(biāo)；θi為獨(dú)立的場(chǎng)變量。

介質(zhì)2為金屬，其材料物理特性和波速變化如表1所示，由文獻(xiàn)[19-22]可以得到相關(guān)固體材料的彈性模量，彈性模量和體積模量之間滿足如下關(guān)系式：

表1 單胞材料的物理性質(zhì)

(3)

式中：K是體積模量；E為彈性模量；ν為泊松比。由彈性模量和體積模量之間的關(guān)系式可以得到材料的體積模量，用于波傳播的分析計(jì)算。

所有的自由度和載荷被認(rèn)為是角頻率Ω的函數(shù):

(4)

2 結(jié)果與討論

介質(zhì)1為水，介質(zhì)2為鋁合金。在60～80 kHz范圍內(nèi)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)超聲波在67.9 kHz出現(xiàn)波的自準(zhǔn)直現(xiàn)象，這種自準(zhǔn)直現(xiàn)象一直持續(xù)到75 kHz，繼續(xù)增加頻率的范圍，自準(zhǔn)直現(xiàn)象消失，說(shuō)明了對(duì)于當(dāng)前結(jié)構(gòu)，自準(zhǔn)直現(xiàn)象產(chǎn)生在67.9～75 kHz的頻率范圍內(nèi)，隨著頻率的進(jìn)一步降低，超聲波出現(xiàn)明顯的發(fā)散現(xiàn)象，如圖2(a)所示，當(dāng)超聲波頻率增加至67.9 kHz，超聲波在陣列結(jié)構(gòu)中的傳遞出現(xiàn)明顯的自準(zhǔn)直現(xiàn)象，其對(duì)應(yīng)第一頻帶的等頻線如圖3所示，等頻線的線型變化代表了自準(zhǔn)直現(xiàn)象的產(chǎn)生，等頻線的法線方向代表了自準(zhǔn)直現(xiàn)象產(chǎn)生時(shí)的波傳播方向。在70 kHz左右更為明顯，當(dāng)超聲波的頻率為75 kHz時(shí)，超聲波的傳遞依然保持自準(zhǔn)直，但是隨著頻率的進(jìn)一步增加，自準(zhǔn)直現(xiàn)象消失。自準(zhǔn)直現(xiàn)象的產(chǎn)生與陣列結(jié)構(gòu)設(shè)置的兩種或者多種材料的體積模量以及密度的周期性變化相關(guān)。

圖2 水-鋁合金陣列結(jié)構(gòu)波傳播的自準(zhǔn)直現(xiàn)象

圖3 圓形柱結(jié)構(gòu)第一頻帶的等頻線

為了進(jìn)一步確定波傳播自準(zhǔn)直的控制，采用不同金屬介質(zhì)，形成陣列結(jié)構(gòu)，進(jìn)行自準(zhǔn)直現(xiàn)象的研究，如圖4所示，研究陣列結(jié)構(gòu)金屬柱材料性質(zhì)的變化對(duì)波傳播自準(zhǔn)直頻率范圍的影響，發(fā)現(xiàn)陣列金屬柱材料性質(zhì)會(huì)影響自準(zhǔn)直波傳播的頻率范圍，對(duì)于水-鈦陣列結(jié)構(gòu)，自準(zhǔn)直波形成于61.5～66.3 kHz，對(duì)于水-鋼陣列結(jié)構(gòu)，自準(zhǔn)直波形成于56.5～62.9 kHz，對(duì)于水-鉛陣列結(jié)構(gòu)，自準(zhǔn)直波形成于54.6～57.8 kHz。

圖4 不同介質(zhì)下波傳播的自準(zhǔn)直現(xiàn)象

將自準(zhǔn)直波傳播的頻率范圍與材料的模量比和密度比進(jìn)行關(guān)聯(lián)，如圖5所示，分別以鋁合金、鈦合金、鋼、鉛以及鎢作為散射體，按照正方晶格周期性排列在以水為基體的二維聲子晶體中。無(wú)論是自準(zhǔn)直現(xiàn)象的起始頻率還是終止頻率，都隨著周期性陣列結(jié)構(gòu)中不同材料的密度比的增加而減小，隨著模量比的增加呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)。自準(zhǔn)直出現(xiàn)的頻率范圍受密度比的影響較大，當(dāng)不改變散射體材料的密度時(shí)，在一定范圍內(nèi)對(duì)其彈性模量進(jìn)行控制，可以發(fā)現(xiàn)自準(zhǔn)直現(xiàn)象出現(xiàn)的頻率會(huì)有一定波動(dòng)，整體幅度較小。但散射體材料的密度也發(fā)生變化時(shí)，自準(zhǔn)直現(xiàn)象起始頻率和終止頻率與散射體密度呈線性關(guān)系。這是因?yàn)樵龃笊⑸潴w與基體的密度比，剛體的共振頻率會(huì)向低頻移動(dòng)。這意味通過(guò)調(diào)整周期性結(jié)構(gòu)中兩種或者多種材料的模量比和密度比，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)自準(zhǔn)直波的頻率控制。

圖5 模量比與密度比對(duì)自準(zhǔn)直波傳播頻率的影響

修改陣列結(jié)構(gòu)的幾何特性，將圓形金屬柱修改為等面積的方形金屬柱，采用不同介質(zhì)得到的自準(zhǔn)直頻率范圍如圖6所示，可以看出，相對(duì)于圓形的情況，水-鋁陣列結(jié)構(gòu)方形柱對(duì)應(yīng)的自準(zhǔn)直現(xiàn)象產(chǎn)生的起始頻率由67.9 kHz增加為74.4 kHz，終止頻率由75 kHz增加至80 kHz，其第一頻帶的等頻線如圖7所示，方形柱陣列結(jié)構(gòu)的自準(zhǔn)直現(xiàn)象的頻率范圍較圓形柱情況有明顯增加，這與等頻線的形貌變化關(guān)系密切，等頻線是設(shè)計(jì)周期性結(jié)構(gòu)陣列自準(zhǔn)直效應(yīng)的重要設(shè)計(jì)依據(jù)。

圖6 金屬柱不同形貌下波傳播的自準(zhǔn)直現(xiàn)象

圖7 方形柱結(jié)構(gòu)第一頻帶的等頻線

進(jìn)一步討論不同介質(zhì)中波的自準(zhǔn)直傳播，采用不同的金屬材料，分別為鈦合金、鋼和鉛，得到的波的自準(zhǔn)直傳播情況如圖8所示，模量比和密度比對(duì)方形柱周期性陣列結(jié)構(gòu)中的自準(zhǔn)直現(xiàn)象產(chǎn)生頻率的影響規(guī)律與圓形柱周期性陣列結(jié)構(gòu)一致，波傳播的自準(zhǔn)直現(xiàn)象產(chǎn)生的頻率范圍隨模量比的增加呈現(xiàn)先增加后減小的變化的趨勢(shì)，隨密度比的增加而減小。

圖8 模量比和密度比對(duì)方形柱陣列結(jié)構(gòu)波傳播自準(zhǔn)直的影響

3 結(jié) 論

建立了液-固陣列聲子晶體結(jié)構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)超聲波傳播的自準(zhǔn)直效應(yīng)，并對(duì)材料常數(shù)和幾何特性對(duì)自準(zhǔn)直波傳播的影響進(jìn)行了研究。針對(duì)方形柱和圓形柱兩種晶格單胞的情況進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明，陣列結(jié)構(gòu)中波傳播的自準(zhǔn)直效應(yīng)受模量比、密度比等材料性質(zhì)和截面幾何性質(zhì)的影響，自準(zhǔn)直產(chǎn)生的頻率范圍隨模量比的增加出現(xiàn)先增加后減小的變化趨勢(shì)，隨密度比的增加而減小。設(shè)置合理的模量比、密度比等材料性質(zhì)和截面幾何性質(zhì)，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)陣列結(jié)構(gòu)中趨勢(shì)自準(zhǔn)直效應(yīng)波傳播頻率范圍的控制，等頻線是設(shè)計(jì)周期性結(jié)構(gòu)陣列自準(zhǔn)直效應(yīng)的重要設(shè)計(jì)依據(jù)。