淺議新課標下高中數(shù)學向量教學的難點

陳子喻

【摘要】在高中數(shù)學教學的過程中，向量教學一直都是大家研究的重要內(nèi)容.尤其是在新課標的背景下，提高學生對向量知識的掌握程度，能夠進一步完善其數(shù)學思維.所以，為了強化教師對這方面的教學認識，本文對新課標背景下高中數(shù)學向量教學的難點展開分析，希望起到一些積極的參考作用.

【關鍵詞】新課標;高中數(shù)學;向量教學;難點分析

大量教育工作者、學者通過分析、統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，向量在高考中所占據(jù)的分量不容小覷，并且其與其他的考點，也有一定的交匯性.所以，為了強化學生的解題認知，教師在展開向量教學的時候，需要把控其中的重點、難點內(nèi)容，深化學生的數(shù)學學習認知，開闊其解題視野.這樣在幫助學生利用向量建立解題思維的同時，還可以有效提高學生的解題速度，對學生數(shù)學思維能力的提升大有裨益.

一、新課標下高中數(shù)學向量教學存在難點的原因

（一）教材和教學因素

在新課程標準下，教材特點更加突出其基礎性，強調(diào)引導學生體會知識的形成過程，知識難度增加，交叉性比較強.同時，數(shù)學知識具有抽象性和系統(tǒng)性特點，結(jié)構(gòu)緊湊，應用較為廣泛.向量是高中數(shù)學的基本數(shù)學概念之一，邏輯嚴謹、抽象性強，在運算的過程中，和以往的運算具有很大的不同.這些因素都使得向量知識的學習有著一定的難度.

（二）學生認知能力方面

在學習新的知識和技能的過程中，學生會受到很多因素的影響，其中的基本因素包含學生已有的認知和技能.夯實學生的基礎知識，能使學生對數(shù)學基本概念的理解更加準確.但是，在以往的數(shù)學學習中逐漸形成了一定的思維定式，教師常常將實數(shù)運算法則照搬向量運算，使得學生出現(xiàn)解題錯誤.

（三）非智力方面因素

在解題的過程中，學生興趣、動機、意志以及情感等非智力因素，對學生同樣有著一定的影響.對于一些復雜的數(shù)學問題，學生需要具備一定的意志與自信心，才能保證解題活動順利開展.因此，教師在教學中要注重情感態(tài)度和價值觀等非智力因素對學生的影響.

二、新課標下高中數(shù)學向量教學的難點突破策略

（一）幾何問題的代數(shù)化思路

在高中數(shù)學解題中，針對幾何類的問題，教師可以考慮借助向量內(nèi)容，進而從代數(shù)化的角度解決問題.當向量的大小、方向相同時，可以根據(jù)其特性分析出進一步的解題思路.

例1 圓O的方程是x2+y2=9，點P位于圓上，過點P作PD，使PD垂直于x軸，垂足為點D，點E的坐標為（1，1），動點Q滿足DQ=23DP.在動點Q的軌跡上，是否有兩個不重合的點M，N，使OE=12（OM+ON）（O是坐標原點）？如果不存在，請說出理由;如果存在，求出直線MN的方程.

針對這類問題，在解決的時候，我們需要認識到，幾何知識點中有較多的向量內(nèi)容，我們可以對其中的向量知識展開坐標化的分析，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

解 將點Q設定為（x，y），點P為（x0，y0），則D（x0，0），

進而推出DQ=（x-x0，y），DP=（0，y0），

又因為DQ=23DP，所以x-x0=0，y=23y0.

又因為點P在圓O上，

易得點Q的軌跡方程為x2+94y2=9.

假設點M，N存在，設M（x1，y1），N（x2，y2），

因為OE=12（OM+ON），所以E（1，1）是線段MN的中點，所以x1+x2=2，

y1+y2=2，

又M，N在點Q的軌跡上，所以x21+94y21=9，

x22+94y22=9，

進而得出（x1-x2）（x1+x2）+94（y1-y2）（y1+y2）=0，

設直線MN的斜率為k，

則易得2+92k=0，解得k=-49.

因為點E（1，1）在橢圓內(nèi)，

所以直線MN與橢圓相交，

且直線MN的方程為：4x+9y-13=0.

在這類題目中，針對向量內(nèi)容，需要讓學生掌握其中的幾個關鍵點，首先是對坐標點的情況進行相應的分析;其次，對于所求的點可以利用設而不解的思路進行求解;最后，還應該考慮存在性的內(nèi)容，即在得出解的時候?qū)ζ湔归_相應的驗證，以免產(chǎn)生根的增失情況.

（二）向量的平行和共線問題

對于向量內(nèi)容，教師在帶領學生解題的時候，還可以用平面向量解決幾何中經(jīng)常會出現(xiàn)的平行及共線的問題，解題的時候，可以先從平行知識的相關條件入手，然后在解析平面幾何的基礎上，對非零平行向量的充要條件展開合理化的應用，這樣就能達到理想化的解題效果.

例2 點A的坐標是（2，0），直線l為x=-1，并且上面存在一動點B，∠AOB的平分線與AB在C點處相交，請求出點C的軌跡.

針對這種類型的題目，在解決的時候，首先要把握住角平分線這一關鍵點.當然，為了降低解題的難度，同時建立更為清晰的思路，教師不妨帶領學生從向量坐標的角度出發(fā)，以此來提升大家解題的效率.

解 設C點坐標為（x，y），B點坐標為（-1，p），

則OC=（x，y），OB=（-1，p），OA=（2，0）.

因為cos ∠BOC=cos ∠AOC，

所以-x+yp1+p2x2+y2=2x2x2+y2，

整理得p（y2-x2）=2xy.

又因為AB=（-3，p），AC=（x-2，y），

且AB∥AC，所以-3y=p（x-2），

進而推出x2-3y2+4x=0，

即（x+2）24-3y24=1.

進而C點的軌跡是雙曲線（x+2）2[]4-3y2[]4=1的右支.

在解題中，大家需要了解到，向量平行是充要的條件，根據(jù)平行、共線的內(nèi)容，還應該注意三項知識點，首先是根據(jù)條件的特征對向量方面的知識建立一個綜合性的應用意識;其次，在利用向量知識解決問題的時候，需要明確其中的限制性條件，這樣解題思路可以更為綜合;最后，在解題的時候，對于向量知識，還應該明確基礎性的概念，進而靈活應用.