探究函數(shù)的零點(diǎn)問題

鄭康源

【摘要】函數(shù)的零點(diǎn)問題是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是高考的高頻考點(diǎn)，在2015年至2017年以及2019年的高考全國(guó)卷中都有出現(xiàn)，全方位地考查學(xué)生函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等綜合能力。學(xué)生在處理函數(shù)零點(diǎn)問題中，因函數(shù)的零點(diǎn)問題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，常常困惑和力不從心。函數(shù)的零點(diǎn)問題既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。本文圍繞函數(shù)零點(diǎn)問題的處理方式進(jìn)行反思，歸納總結(jié)，牢牢地把握教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;分類討論;化歸轉(zhuǎn)化;核心素養(yǎng)

人教版高中數(shù)學(xué)課本對(duì)零點(diǎn)概念定義是，把函數(shù)f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做y=f（x）的零點(diǎn)，也是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示如下：

函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)?方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)。

函數(shù)的零點(diǎn)問題又可以分為不含有參數(shù)和含有參數(shù)兩大類，前者較為簡(jiǎn)單，后者常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，分類繁瑣，需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基本功底。

一、不含有參數(shù)的零點(diǎn)問題

1.因?yàn)椴缓袇?shù)，所以提問的方式為函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)。最直接的方法是令函數(shù)f（x）=0解方程，求出方程的解，即可得到函數(shù)的零點(diǎn)。

例1：函數(shù)f（x）=xcos x2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ? ? ）

解析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0.又因?yàn)閤∈[0，4]，所以0≤x2≤16.因?yàn)?π<16<，所以函數(shù)y=cos x2在x2取，，，，時(shí)為0，此時(shí)f（x）=0，所以f（x）=xcos x2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6。

2.當(dāng)令函數(shù)f（x）=0是一個(gè)超越方程，無(wú)法直接求解時(shí)，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)（較簡(jiǎn)單的）函數(shù)的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖像進(jìn)行判斷，需要注意的是函數(shù)本身可以通過適當(dāng)?shù)淖冃危沟棉D(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的草圖更容易作出。

例2：函數(shù)f（x）=2sin xsin-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為____.

解析：f（x）=2sin xsin-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2，由f（x）=0，得sin 2x=x2.設(shè)y1=sin 2x，y2=x2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出二者的圖象，如圖所示。由圖象知，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)。

3.我們也可以借助函數(shù)的性質(zhì)和零點(diǎn)存在性定理，畫出函數(shù)大致的圖像，得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

例3：求函數(shù)f（x）=2x+3x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（ ? ）

解析：f（-1）·f（0）<0且f（x）=2x+3x在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1。

總之，不含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問題，函數(shù)圖像固定，不需要進(jìn)行分類討論。采用解方程求解或者借助函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖像，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

二、含有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問題

對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問題，主要提問的方式有兩種。第一種是求參數(shù)的取值范圍。第二種求函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)。我們可借助題目的已知條件對(duì)其進(jìn)行細(xì)化。

1.“函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)”型問題

“函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)”問題，即 “方程有解無(wú)解”問題。通過參變分離轉(zhuǎn)化為a=f（x），再求函數(shù)y=f（x）的值域。當(dāng)a取值范圍為函數(shù)y=f（x）的值域時(shí)，函數(shù)就有零點(diǎn)。反之，如果a取值范圍為函數(shù)y=f（x）值域的補(bǔ)集時(shí)，函數(shù)就沒有零點(diǎn)。

例4：若關(guān)于x的方程22x+2xa+a+1=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：由方程，解得a=-，設(shè)t=2x （t>0），

則a=-=-=2-，其中t+1>1，由基本不等式，得（t+1）+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=-1時(shí)取等號(hào)，故a≤2-2.

方程有解，即函數(shù)有零點(diǎn)。至于函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)，我們無(wú)需考究，所以不需要畫出其精確圖像，只需先參變分離，轉(zhuǎn)化為a=f（x），進(jìn)而求出函數(shù)的值域即可。

2.“函數(shù)有多個(gè)零點(diǎn)”型問題

函數(shù)有多個(gè)零點(diǎn)，即方程有多解，需運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想。基本步驟：①轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。所設(shè)計(jì)的兩個(gè)函數(shù)必須簡(jiǎn)便，可以通過求導(dǎo)得出函數(shù)變化趨勢(shì); ②通過函數(shù)的性質(zhì)或者求導(dǎo)畫出函數(shù)的圖像，看交點(diǎn)個(gè)數(shù)從而得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

例5：已知函數(shù)f（x）=若函數(shù)y=f（x）-a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

解析：原問題等價(jià)于方程f（x）=a|x|恰有4個(gè)根，作出函數(shù)y=f（x）與y=a|x|的圖象，如圖：當(dāng)x<0時(shí)，由-（x2+5x+4）=-ax，得x2+（5-a）x+4=0由Δ=0解之得a=1或a=9（舍），結(jié)合圖象知a∈（1，2）.

上述例題中，直接將y=f（x）和g（f）=a|x|畫出來，再根據(jù)已知條件列方程求解，即構(gòu)造出來的函數(shù)一定能通過解析式或求導(dǎo)畫出其函數(shù)圖像。有些題不能一味地講究參變分離而不顧后果，留參數(shù)在左側(cè)，其它項(xiàng)都移到右側(cè)，式子太長(zhǎng)可能求導(dǎo)后無(wú)法判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，所以變形構(gòu)造函數(shù)一定要預(yù)估計(jì)算量和可行性。

3.“函數(shù)有唯一零點(diǎn)”型問題

“方程有唯一解”型問題，可借助函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理解決。

例6：設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）ln x，g（x）=. 是否存在自然數(shù)k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k;如果不存在，請(qǐng)說明理由。

解析：當(dāng)k=1時(shí)，方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)存在唯一的根。證明如下：

設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=（x+1）ln x-，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，h（x）<0.

又h（2）=3ln 2-=ln 8-> 0，所以存在x0∈（1，2），使得h（x0）=0.