單面柱局域共振聲子晶體低頻帶隙特性分析及結(jié)構(gòu)改進(jìn)研究

孫向洋，燕 群，郭翔鷹

(1.中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所，航空聲學(xué)與動(dòng)強(qiáng)度航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710065;2.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

0 引 言

聲子晶體是指由兩種或者兩種以上不同力學(xué)性能的材料構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)功能材料，由于這種結(jié)構(gòu)或者材料的周期性，某些特定范圍頻率的彈性波無法在其中傳播，該頻段范圍稱為聲子帶隙[1-2]。聲子帶隙產(chǎn)生的機(jī)理有兩種：布拉格散射機(jī)理和局域共振機(jī)理。布拉格散射型聲子晶體[3]，特點(diǎn)為彈性波在該周期結(jié)構(gòu)內(nèi)部的傳播出現(xiàn)相互干涉，導(dǎo)致其傳播受阻，表現(xiàn)出無法傳播的現(xiàn)象。局域共振型聲子晶體[4]，特點(diǎn)為在特定頻率的彈性波激勵(lì)下，各個(gè)散射體產(chǎn)生共振，并與彈性波長波行波相互作用，從而抑制彈性波的傳播。

自從2000年劉正猷教授提出局域共振聲子晶體概念以來，有關(guān)局域共振聲子晶體的研究日益增多[5-8]，局域共振聲子晶體產(chǎn)生帶隙的物理機(jī)理不同于布拉格散射，它是由局域共振單元的強(qiáng)共振特性決定的，因此具有顯著不同的帶隙特點(diǎn)，帶隙特性的影響因素也有所不同。局域共振型聲子晶體用較小的尺寸獲得較低頻帶隙[9]，這一特點(diǎn)為聲子晶體在低頻減振降噪方面的應(yīng)用提供了新的思路，具有重要的理論價(jià)值和應(yīng)用前景，例如用于隔振減振、隔聲降噪、制作聲波濾波器、隔振器和波導(dǎo)裝置等[10-15]。

國內(nèi)外學(xué)者也對局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量研究，主要集中在研究彈性波在聲子晶體結(jié)構(gòu)中的傳播特性[16]。例如，Goffaux等[17]用數(shù)值方法研究了彈性波在一種局域共振聲子晶體(將重圓柱嵌入軟聚合物當(dāng)中，并將它們用剛性網(wǎng)格相連接)中的傳播。Gu等[18]研究了二維聲子晶體中彈性波的共振模式及對彈性波傳播的影響。Yao等[19]采用有限元法研究了在環(huán)氧樹脂基板兩側(cè)布置軟橡膠形成的局域共振聲子晶體條形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中蘭姆波的能帶結(jié)構(gòu)。Wang等[20]提出了一種雙分量局部共振結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)帶隙是由與散射單元相關(guān)的共振頻率引起的，這個(gè)頻率范圍比通常的布拉格帶隙要低近兩個(gè)數(shù)量級，而且局部共振頻率不僅取決于幾何形狀，還取決于散射體與基體的密度比。Hsu等[21]應(yīng)用Mindlin理論，利用平面波展開公式研究了二維二元局部共振薄聲子平板中的蘭姆波帶隙。

對于局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)，能帶結(jié)構(gòu)的求解是其重要的研究內(nèi)容之一，目前聲子晶體帶隙特性計(jì)算方法主要有傳遞矩陣法、平面波展開法、時(shí)域有限差分方法、多重散射法、有限元法等[22-23]。這些方法各有利弊，傳遞矩陣法可以計(jì)算一維聲子晶體解析的色散關(guān)系和傳輸系數(shù)，但是不能直接處理二維和三維聲子晶體[1]；平面波展開法思路清晰，可以適用二維和三維聲子晶體，但是當(dāng)組元材料參數(shù)差異較大時(shí)，收斂緩慢[24]；時(shí)域有限差分方法可計(jì)算較為復(fù)雜的模型，并直接進(jìn)行時(shí)域計(jì)算，但是存在穩(wěn)定性問題[25]；多重散射法理論推導(dǎo)較為復(fù)雜，且只能用于簡單的圓柱及球形散射體單元結(jié)構(gòu)的聲子晶體[26]；有限元法適用范圍廣泛，不但能直接計(jì)算聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)[27]，也可快速計(jì)算其傳遞損失。

綜上所述，本文采用有限元法對單面柱局域共振聲子晶體進(jìn)行帶隙特性分析，研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對于該類型聲子晶體的影響情況。并且在經(jīng)典單面柱聲子晶體的基礎(chǔ)上，組合了兩種新型的三組元單面柱聲子晶體結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ，并對其帶隙特性進(jìn)行分析。

1 模型介紹

由于晶體的周期性，對于理想的無限周期的聲子晶體只需要研究一個(gè)單胞即可[28]。取文獻(xiàn)[28]中的單面柱聲子晶體單胞模型作為經(jīng)典單面柱聲子晶體模型，結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ均為在此基礎(chǔ)上的改進(jìn)結(jié)構(gòu)。單胞的基體底面邊長為a，基體厚度e，散射體高度h，散射體半徑r，基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼，材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ如圖2和圖3所示，結(jié)構(gòu)Ⅰ是將經(jīng)典的單面柱聲子晶體與含包覆層聲子晶體相結(jié)合，將散射體嵌入基板中，同時(shí)在散射體與基板中間加入一層包覆層；結(jié)構(gòu)Ⅱ是直接在散射體與基板中間添加一種新的材料進(jìn)行粘接組成。結(jié)構(gòu)Ⅰ基體底面邊長為a，基體厚度e，散射體高度h，散射體半徑r，基體所用材料為鋁，散射體所用材料為鋼，包覆層圓環(huán)的厚度為1 mm，材料為橡膠。結(jié)構(gòu)Ⅱ基體底面邊長為a，基體厚度為e，高度h1=h2=5 mm，材料A為鋼，材料B為橡膠，基板仍然為鋁。各材料參數(shù)如表1所示。

圖1 聲子晶體單胞模型

圖2 結(jié)構(gòu)Ⅰ

圖3 結(jié)構(gòu)Ⅱ

2 有限元簡介

采用商業(yè)有限元分析軟件 COMSOL Multiphysics 求解彈性波在聲子晶體中的波動(dòng)方程。由于晶體的周期性，依照Bloch定理，對于理想的無限周期的聲子晶體只需要研究一個(gè)單胞即可。進(jìn)行網(wǎng)格劃分后，根據(jù)單胞的離散特征方程形式，由結(jié)構(gòu)的周期性可得：

(1)

式中：格矢R的格點(diǎn)為正格矢；矢量G的格點(diǎn)為倒格矢，e為基體厚度。

根據(jù)Bloch定理，在周期場中的本征函數(shù)形式為：

(2)

為了得到聲子晶體的能帶曲線，對于正方晶格，只需要波矢k在不可約Brillouin區(qū)的邊界遍歷取值即可。

3 結(jié)果與討論

3.1 單面柱局域共振聲子晶體板低頻帶隙特性分析

對于經(jīng)典的單面柱局域共振聲子晶體進(jìn)行帶隙特性分析，在已有的文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，已經(jīng)明確了材料參數(shù)對于其帶隙的影響效果[28]，本文進(jìn)一步分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對于該聲子晶體的影響情況。

3.1.1 與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果的對比驗(yàn)證

首先將本節(jié)的計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)[28]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性。聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=4.5 mm，基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼。

計(jì)算結(jié)果如圖4所示，從計(jì)算結(jié)果可以得出：本節(jié)計(jì)算的結(jié)果與文獻(xiàn)中的結(jié)果具有高度的一致性。據(jù)此可得，本章模型計(jì)算方法是正確合理的。

圖4 能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果對比

3.1.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對單面柱聲子晶體的影響

材料參數(shù)對于單面柱聲子晶體帶隙特性的研究已經(jīng)明確，材料的密度和楊氏模量都會(huì)對帶隙產(chǎn)生明顯的影響[28]。但是結(jié)構(gòu)參數(shù)對于該聲子晶體的帶隙影響情況還未明確。因此，下面針對結(jié)構(gòu)參數(shù)對單面柱聲子晶體的影響情況進(jìn)行研究。

首先研究散射體高度對帶隙的影響情況，取聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h分別從1～15 mm，步長為1 mm的變化，散射體半徑r=4.5 mm，基體材料為橡膠，散射體材料為鋼。計(jì)算出該聲子晶體的第一完全帶隙隨著散射體高度的變化情況如圖5所示。

圖5 第一完全帶隙與散射體高度的關(guān)系

從圖5計(jì)算的結(jié)果得出，隨著散射體高度的增加，單面柱聲子晶體的第一完全帶隙的起始頻率逐漸降低。但是降低的幅度逐漸減小，截止頻率變化不大，帶寬逐漸增大。為了達(dá)到低頻寬帶的目的，可取散射體的高度為10 mm。

進(jìn)一步研究基板的厚度對帶隙的影響情況，同樣取聲子晶體單胞的基體底面邊長為a=10 mm，基體厚度e分別從1～10 mm，步長為1 mm取值，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=4.5 mm，基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼。計(jì)算出該聲子晶體的第一完全帶隙隨著基板厚度的變化情況如圖6所示。

圖6 第一完全帶隙與散射體基板厚度的關(guān)系

從圖6中的計(jì)算結(jié)果可以得出，隨著基板厚度的增大，單面柱聲子晶體的起始頻率逐漸升高，截止頻率先增大后減小。由于在基板厚度取1 mm附近的規(guī)律與其他區(qū)域不同，所以進(jìn)一步分析基板厚度取0.1～1 mm，步長為0.1 mm的變化，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。計(jì)算結(jié)果得到，在基板厚度處于2 mm以內(nèi)時(shí)，隨著基板厚度的增加，聲子晶體的第一帶隙的起始頻率、截止頻率以及帶寬都逐漸增大。因此為了達(dá)到低頻寬帶的目的，可選取基板厚度為2 mm。

圖7 第一完全帶隙與散射體基板厚度的關(guān)系

3.2 單面柱局域共振聲子晶體的結(jié)構(gòu)改進(jìn)研究

3.2.1 改進(jìn)型結(jié)構(gòu)的能帶計(jì)算

本節(jié)首先分析兩種改進(jìn)型結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系，并與經(jīng)典單面柱結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比。對于經(jīng)典單面柱聲子晶體，取聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=3.5 mm，基體所用材料為鋁，散射體所用材料為鋼。結(jié)構(gòu)Ⅰ包覆層圓環(huán)的厚度為1 mm，材料為橡膠，其他參數(shù)與經(jīng)典單面柱聲子晶體相同。結(jié)構(gòu)Ⅱh1=h2=5 mm，材料A為鋼，材料B為橡膠，基板仍然為鋁，其他參數(shù)與經(jīng)典單面柱聲子晶體相同。

圖8給出了三種結(jié)構(gòu)的能帶曲線計(jì)算結(jié)果，表2是它們對應(yīng)的第一完全帶隙范圍的計(jì)算結(jié)果。由結(jié)果可知，改進(jìn)后的結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ均能在較低的頻率內(nèi)獲得帶隙，結(jié)構(gòu)Ⅰ在301 Hz就能出現(xiàn)帶隙，結(jié)構(gòu)Ⅱ在169 Hz出現(xiàn)帶隙，然而經(jīng)典單面柱結(jié)構(gòu)則需要在85 564 Hz才會(huì)出現(xiàn)帶隙。通過對比發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的兩種結(jié)構(gòu)相對于經(jīng)典的單面柱結(jié)構(gòu)具有產(chǎn)生更低頻帶隙的優(yōu)勢，而低頻隔振降噪正是目前亟待解決的問題，所以改進(jìn)后的結(jié)構(gòu)具有更大的應(yīng)用前景與研究價(jià)值。

圖8 三種不同結(jié)構(gòu)能帶曲線計(jì)算結(jié)果

表2 三種聲子晶體結(jié)構(gòu)第一完全帶隙能帶結(jié)果比較

3.2.2 包覆層厚度對結(jié)構(gòu)Ⅰ的影響

在改進(jìn)型結(jié)構(gòu)Ⅰ中，包覆層的引入對于聲子晶體的帶隙產(chǎn)生了明顯的影響，因此本文研究該包覆層的厚度對于結(jié)構(gòu)Ⅰ聲子晶體的帶隙影響情況。取聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=1 mm，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=3.5 mm，基體所用材料為鋁，散射體所用材料為鋼，包覆層為橡膠，包覆層圓環(huán)的厚度分別從0.5～1.4 mm，步長為0.1 mm的變化。計(jì)算第一完全帶隙與包覆層厚度的關(guān)系，結(jié)果如圖9所示。從計(jì)算結(jié)果得出，隨著包覆層厚度的增加，第一帶隙的起始頻率和截止頻率均降低，帶寬逐漸變大。所以本著低頻寬帶的原則，結(jié)構(gòu)Ⅰ的包覆層厚度可盡量增大一些，但是要注意包覆層的直徑不能大于基板底面正方形的邊長。

圖9 第一完全帶隙與結(jié)構(gòu)Ⅰ包覆層厚度的關(guān)系

3.2.3 散射體高度對結(jié)構(gòu)Ⅱ的影響

在改進(jìn)型結(jié)構(gòu)Ⅱ中，材料B的引入，將散射體分為兩個(gè)部分，由于材料B的引入對于聲子晶體的帶隙產(chǎn)生了明顯的影響，因此本文研究當(dāng)h1+h2=10 mm固定的時(shí)候，h2變化會(huì)對結(jié)構(gòu)Ⅱ聲子晶體的帶隙影響情況。取聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=1 mm，散射體高度h1+h2=10 mm，h2分別從1～9 mm，步長為1 mm的變化，散射體半徑r=3.5 mm，基體所用材料為鋁，材料A為鋼，材料B為橡膠。計(jì)算第一完全帶隙與h2高度的關(guān)系，結(jié)果如圖10所示。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)h2太小時(shí)不存在帶隙，當(dāng)h2>2 mm，隨著h2的增加，結(jié)構(gòu)Ⅱ聲子晶體的第一帶隙起始頻率和截止頻率都是先減小后增大的。當(dāng)h2=4 mm時(shí)，帶隙的起始頻率最低為170 Hz。因此本節(jié)研究的結(jié)構(gòu)Ⅱ型聲子晶體結(jié)構(gòu)的最佳h2高度為4 mm，此時(shí)得到最低頻率的帶隙。同時(shí)對于結(jié)構(gòu)Ⅱ型聲子晶體最低頻帶隙出現(xiàn)在h2取中間值附近。

圖10 第一完全帶隙與結(jié)構(gòu)Ⅱh2高度的關(guān)系

3.2.4 材料A的半徑對結(jié)構(gòu)Ⅱ的影響

考慮到對于傳統(tǒng)的聲子晶體其填充率對聲子晶體的帶隙影響較為明顯，因此針對結(jié)構(gòu)Ⅱ，有必要研究其散射體材料A的半徑對其帶隙的影響情況。取聲子晶體單胞的基體底面邊長為a=10 mm，基體厚度e=1 mm，散射體高度h1=h2=5 mm，圓柱體材料B半徑R2=3.5 mm，材料A半徑R1分別從2～5 mm，步長為0.5 mm的變化，基體所用材料為鋁，材料A為鋼，材料B為橡膠。計(jì)算第一完全帶隙與R1大小的關(guān)系，結(jié)果如圖11所示。

圖11 第一完全帶隙的與結(jié)構(gòu)ⅡR1大小的關(guān)系

從計(jì)算結(jié)果可以得出，隨著R1的不斷增大，結(jié)構(gòu)Ⅱ聲子晶體的帶隙起始頻率和截止頻率均向低頻移動(dòng)。因此對于這種結(jié)構(gòu)的聲子晶體，將R1擴(kuò)大是很有利于低頻隔振降噪的，但是需要注意R1不能大于基板單胞邊長a的一半。

4 結(jié) 論

本文首先介紹了經(jīng)典單面柱聲子晶體的結(jié)構(gòu)形式，并將計(jì)算的結(jié)果與文獻(xiàn)進(jìn)行對比驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性，然后分析經(jīng)典的單面柱聲子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響。在此基礎(chǔ)上，組合出了兩種新型的單面柱局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)，并分別進(jìn)行帶隙計(jì)算，得到以下結(jié)論：

(1)發(fā)現(xiàn)這兩種新結(jié)構(gòu)與經(jīng)典的單面柱聲子晶體相比，都具有更低頻的帶隙。

(2)對結(jié)構(gòu)Ⅰ分析了包覆層厚度對其帶隙的影響情況，發(fā)現(xiàn)隨著包覆層厚度的增加，第一帶隙的起始頻率和截止頻率均降低，帶寬逐漸變大，所以結(jié)構(gòu)Ⅰ的包覆層厚度增大可降低禁帶頻率，但是包覆層的直徑不能大于基板底面正方形的邊長。

(3)對結(jié)構(gòu)Ⅱ分析了h2高度對其帶隙的影響，發(fā)現(xiàn)對于結(jié)構(gòu)Ⅱ型聲子晶體最低頻帶隙出現(xiàn)在h2中間取值附近。

(4)這兩種新型的單面柱聲子晶體結(jié)構(gòu)都能在更低的頻率出現(xiàn)帶隙，這為低頻減振降噪方面的應(yīng)用提供了新的思路，具有一定的理論價(jià)值和應(yīng)用前景。