表面等離子體激元在圓筒形金屬波導(dǎo)中的角動(dòng)量特性

王 鑫，高 琪，郭健宏

（首都師范大學(xué)物理系，北京 100048）

0 引 言

表面等離子體激元（surface plasmon polariton，SPP）是局域在金屬表面的一種由自由電子和光子相互作用形成的混合激發(fā)態(tài)［1-3］.在這種相互作用中，自由電子在與其共振頻率相同的光波照射下，發(fā)生集體振蕩.這種表面電荷振蕩與光波電磁場之間的相互作用構(gòu)成了具有獨(dú)特性質(zhì)的SPP.與自然光的傳播不同，SPP波的自旋并非與傳播方向一致（或相反），而是具有與傳播方向保持垂直方向的分量，這種現(xiàn)象被稱為反常自旋.近幾年的研究表明，利用SPP攜帶自旋信息的不對(duì)稱性，可以通過控制入射光的自旋方向，使得SPP向不同軌道方向進(jìn)行傳播，這種現(xiàn)象被稱作光子自旋霍爾效應(yīng)（photonic spin Hall effect，PSHE）［4］.這在 光學(xué)集成信息處理和量子光學(xué)技術(shù)方面具有很大的應(yīng)用潛力［5-6］.

極化激元的概念由固體物理學(xué)家黃昆于20世紀(jì)50年代提出［7］.1965年，導(dǎo)體磷化鎵的拉曼散射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了極化激元的存在［8］，隨后，證實(shí)其他材料也能產(chǎn)生極化激元.1998年，Ebbesen等［9］用 SPP解釋了金屬亞波長結(jié)構(gòu)的電磁波反常透射，SPP引起了更廣泛的關(guān)注.21世紀(jì)初，隨著研究的深入，人們開始關(guān)注不同結(jié)構(gòu)上表面等離子體激元的能帶及傳播性質(zhì)［10-13］.伴隨量子自旋霍爾效應(yīng)在實(shí)驗(yàn)中被觀察到［14］，Onoda等［15］從理論上明確提出，光子體系應(yīng)存在與電子體系類似的自旋霍爾效應(yīng).2008年，Hosten和Kwait［16］在實(shí)驗(yàn)中觀測到了光子系統(tǒng)中的自旋霍爾效應(yīng).同年，Bliokh 等［17］證實(shí)，將光掠入射到一根圓柱形玻璃介質(zhì)中，圓柱形的介面使光沿螺旋形軌跡傳播，從而不斷改變光子的自旋角動(dòng)量，并導(dǎo)致自旋-軌道角動(dòng)量耦合，進(jìn)而產(chǎn)生類似的光束分裂.2015年，Bliokh等［4］闡述了在真空-金屬界面的SPP表現(xiàn)出固有的量子自旋霍爾效應(yīng)，具有自旋動(dòng)量鎖定的模式，并把這稱之為光的量子自旋霍爾效應(yīng).

然而，大多數(shù)關(guān)于SPP的自旋霍爾效應(yīng)的研究都是在平面金屬上實(shí)現(xiàn)的，若能在線型材料上實(shí)現(xiàn)PSHE［18］，將更有利于光子線路中的應(yīng)用.目前，對(duì)于圓柱形材料，尤其是圓筒形的研究較少，基于這種考慮，本文對(duì)圓筒形金屬波導(dǎo)中實(shí)現(xiàn)PSHE更有興趣.這項(xiàng)工作將涉及許多理論問題，其中最基本的問題，首先要解決金屬圓筒波導(dǎo)中電磁波本征模攜帶角動(dòng)量的問題.雖然已經(jīng)解出了其中的本征模［19］，但對(duì)其角動(dòng)量，特別是自旋角動(dòng)量，還沒有全面清楚地了解.本文擬通過推導(dǎo)得到圓筒形波導(dǎo)中光子平均自旋的解析公式，并在尋找圓筒形波導(dǎo)中光子自旋方向的手征特性.

1 圓筒形金屬波導(dǎo)中的SPP本征模和場分布

本文研究的波導(dǎo)為圓筒形金屬（圖1），其內(nèi)外半徑分別是r1和r2，以圓筒軸向?yàn)閦方向建立柱坐標(biāo)系，圖中Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ3個(gè)區(qū)域分別表示圓筒的內(nèi)芯、金屬包層和外界環(huán)境.

圖1 圓筒形金屬波導(dǎo)結(jié)構(gòu)

圓筒形金屬波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中的本征模可表示為［19-20］：

式中E為電場強(qiáng)度，H為磁場強(qiáng)度，μ為相對(duì)磁導(dǎo)率，ε為相對(duì)介電常數(shù)，c為光速，ω為SPP的角頻率，j表示環(huán)境中的不同區(qū)域，即圖1中的Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ區(qū)和分別是2類修正貝塞爾函數(shù)In和Kn的線性組合，滿足：

kz為波矢k?的z方向分量，kj為r分量，二者滿足

由于方程（1）中包含修正貝塞爾函數(shù)，是一個(gè)超越方程，沒有解析解，只有在選取合適的圓柱尺寸的情況下，帶入給定的ω，得到kz的數(shù)值解.本文選擇r1和r2分別為85和90 nm的銀金屬管為例，計(jì)算在ε1和ε3均為10的電介質(zhì)環(huán)境下，光子能量為2.1 eV的SPP的本征模.其1～3階模的系數(shù)解如表1所示（注：未給出參數(shù)均為0）.

表1 SPP 1～3階模的場量系數(shù)及波矢

為了解角動(dòng)量特性，需要將本征模的電磁場分布表示出來.對(duì)于圓筒而言，其橫截面上的電場分布是整體旋轉(zhuǎn)的［21］，其旋轉(zhuǎn)方向由角量子數(shù)（n）決定，其攜帶的軌道角動(dòng)量為n?［22］，n同時(shí)也是本征模的階數(shù).這些基本特征都是由表達(dá)式為A(kz，kjr)ei(nθ+kzz-wt)的形式解構(gòu)造出來.

本文研究縱向剖面上的電場分布.柱坐標(biāo)系中θ=0截面上的電場投影如圖2所示.通過分析可知，柱坐標(biāo)系中SPP截面上的電場具有如下特征：（1）內(nèi)外電場的模相差不大，沿z方向沒有明顯的變化，變化的只是電場方向；（2）電場方向沿z方向有周期性變化，內(nèi)外表面周期相同，但內(nèi)外表面的電場方向呈鏡像對(duì)稱分布；（3）經(jīng)過1/4周期，內(nèi)外表面電場分布整體向右移動(dòng)，說明SPP向z的正方向傳播；（4）經(jīng)過1/4周期，在同一位置電場方向發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，外表面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，內(nèi)表面順時(shí)針旋轉(zhuǎn).以上特征說明，因?yàn)殡妶鲈谛D(zhuǎn)，圓筒形波導(dǎo)中的SPP也攜帶自旋.

圖2 SPP 1階模不同時(shí)刻內(nèi)外表面上的電場投影

2 圓筒形金屬波導(dǎo)上SPP的自旋特性

具體從理論上討論本征模攜帶的自旋具有的特性.分析圓筒外表面情況，取r=91 nm（距離外表面 1 nm），θ=0，z=0.圓筒上 SPP本征模的周期對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性決定了研究這一場點(diǎn)可以得到外表面上具有共性的結(jié)論.計(jì)算了1和30階模的SPP電場在1個(gè)周期內(nèi)的變化（圖3）.3條曲線分別代表3個(gè)電場分量.Ez和Eθ有相同的位相，但是Er位相超前1/4周期，正是這種位相差造成了電場的旋轉(zhuǎn).其中Er與Ez的位相差造成了電場以θ方向?yàn)檩S的旋轉(zhuǎn)，Er與Eθ的位相差造成了以z方向?yàn)檩S的電場旋轉(zhuǎn).也就是說，前者貢獻(xiàn)了橫向自旋分量，后者貢獻(xiàn)了傳輸方向的自旋分量.Eθ和Ez沒有位相差，所以，二者不在r方向形成自旋分量.1階模式的Eθ很小，計(jì)算表明0階模的Eθ=0，這一現(xiàn)象與無限大平面上的SPP相同，后者是橫磁波（transverse magnetic wave，TM 波）［10］.Eθ隨著階數(shù)增大而減小，因此，階數(shù)越低，橫向自旋越大.相同的結(jié)論，在內(nèi)表面依然成立.

圖3 SPP電場強(qiáng)度在1個(gè)周期內(nèi)的變化

通過具體計(jì)算來證實(shí)這個(gè)結(jié)論.對(duì)于時(shí)諧波，具有以下特點(diǎn)［23-24］：

式中s表示單個(gè)光子的平均自旋角動(dòng)量，為平均光子數(shù).取? =1，將式（4）～（7）進(jìn)行聯(lián)立，則SPP波的光子平均自旋應(yīng)該滿足

電磁場本征模形式如A(kz，kjr)ei(nθ+kzz-wt)的表達(dá)式，決定了光子平均自旋的大小與θ和z無關(guān)，這是金屬圓筒旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的體現(xiàn).利用式（8）和求解SPP電磁場本征模得出的E和H，就可以解出SPP的s與r的關(guān)系.SPP 1～30階模式的光子平均自旋關(guān)系如圖4所示.可知，各階模式的SPP光子自旋是隨模式數(shù)依次分布的，且模式數(shù)越小時(shí)，分布得越密集.為了便于觀察，僅給出了其中部分階數(shù)的圖像.

圖4 不同模式下光子平均自旋各分量

SPP主要集中在金屬圓筒內(nèi)外表面處，在圓筒的內(nèi)外表面上，SPP在低階模式下的光子自旋幾乎完全是橫向的，其傳輸方向的自旋分量接近0，這完全符合本文的預(yù)測.而在SPP模式較高的情況下，光子自旋角動(dòng)量中z分量所占比例越來越大，當(dāng)SPP的階數(shù)為30時(shí)，其自旋角動(dòng)量的z分量明顯大于θ分量.

模式數(shù)為相反數(shù)的SPP橫向自旋（sθ）的圖像完全一致，但其傳輸方向自旋（sz）是沿橫軸鏡像對(duì)稱的，圖4（b）中未給出負(fù)模式數(shù)圖像，這說明SPP攜帶的橫向自旋信息是不對(duì)稱的，即橫向自旋與軌道呈現(xiàn)出一種鎖定關(guān)系，這種鎖定性隨著模式的增大而減弱.

對(duì)于SPP橫向自旋呈現(xiàn)出的軌道-自旋鎖定關(guān)系，可以分別用右手和左手螺旋定則描述：在圓筒外表面上的SPP，其橫向自旋符合右手螺旋定則，大拇指指向波的傳播方向，四指所指方向即為對(duì)應(yīng)位置上的橫向自旋取向.與之相反，圓筒內(nèi)表面上SPP的橫向自旋符合的是左手螺旋定則.

Henry和 Hopfield［8］指出，無限大金屬-電介質(zhì)平面上的SPP，其橫向自旋滿足

平面模型下，SPP模式的唯一性決定了平面上SPP的s⊥有著固定的大小，而圓筒形金屬波導(dǎo)上SPP的sθ隨著本征模式的變化有著不同的大小.這意味著比起在平面上，具體求解圓筒形波導(dǎo)上激發(fā)的具有PSHE的SPP問題更為復(fù)雜.

3 結(jié) 論

利用解析方法推導(dǎo)了圓筒形金屬波導(dǎo)中的電磁場本征模，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果研究了本征模所攜帶的光子自旋的特性.研究結(jié)果顯示：（1）自旋特性與本征模的階數(shù)有關(guān)，階數(shù)越低，橫向自旋分量越大，因此，在利用橫向自旋傳遞信息時(shí)，應(yīng)盡量依靠低階模；（2）無論什么模式下，橫向自旋與傳播方向均具備鎖定關(guān)系：即在圓筒內(nèi)，橫向自旋方向遵循左手螺旋定則；在圓筒外部，遵循右手螺旋定則.以上結(jié)果既可為光子通信提供參考，又可為圓筒形波導(dǎo)中的PSHE提供理論基礎(chǔ).