《數(shù)書九章》方程章及其算籌思想：以“遙度圓城”為例

劉 蓓，趙世恩，殷明娥

（1.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100048；2.北京市朝陽(yáng)師范附屬小學(xué)，北京 100013；3.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029）

0 引 言

南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》［1］是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的名篇，其所載的正負(fù)開方術(shù)成為世界級(jí)數(shù)學(xué)成就.《數(shù)學(xué)九章》在《癸辛雜識(shí)續(xù)集》稱作《數(shù)學(xué)大略》，《永樂(lè)大典》稱作《數(shù)學(xué)九章》［2］.全書共9卷，每卷9問(wèn)，總計(jì)81問(wèn)，每問(wèn)由問(wèn)題、答案、模式、算草和圖示5個(gè)部分組成.

20世紀(jì)以來(lái)，隨著現(xiàn)代、當(dāng)代學(xué)者對(duì)秦九韶及其《數(shù)書九章》不斷的深入研究，如：吳文?。?］客觀總結(jié)了秦九韶的機(jī)械化思想體系，強(qiáng)調(diào)了該思想對(duì)振興我國(guó)未來(lái)的數(shù)學(xué)事業(yè)的重要作用；比利時(shí)數(shù)學(xué)家Libbrecht［4］高度贊揚(yáng)“秦九韶成為那個(gè)時(shí)代中國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家之一”；著名數(shù)學(xué)教授錢寶琮［5］也提出《數(shù)書九章》是秦九韶苦心鉆研和多年積累的數(shù)學(xué)成就的結(jié)晶；Mandiewica［6］指出該書匯集了歷學(xué)、數(shù)學(xué)、星象、音律和營(yíng)造等資料，代表了中世紀(jì)中國(guó)乃至世界數(shù)學(xué)的先進(jìn)水平，相關(guān)的計(jì)算方法和經(jīng)驗(yàn)常數(shù)直到現(xiàn)在仍有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值和實(shí)踐意義.秦九韶是站在“數(shù)學(xué)建模”的高度［7］，深入研究各類數(shù)學(xué)問(wèn)題，是一位具有實(shí)事求是的科學(xué)精神與創(chuàng)新精神的數(shù)學(xué)家［8］.通過(guò)分析秦九韶的天文歷算、分析現(xiàn)代和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的差異，可以全面理解秦氏記述正負(fù)開方術(shù)的歷史事實(shí).

1 古今算法研究概況

本文主要以《數(shù)書九章》卷八第二問(wèn)“遙度圓城”題為例，探討秦九韶正負(fù)開方術(shù)求解高次方程正根的解法.原文如下：有圓城不知周徑，四門中開，北外三里有喬木，出南門便折東行九里，乃見(jiàn)木.欲知城周徑各幾何？（注：1里=500 m）.翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)意為：有一座圓形的城池，北門的正北方向1 500 m處有一棵喬木，出南門向東行4 500 m，便可以看到那棵喬木.問(wèn)城池的周長(zhǎng)和直徑各是多少？遙度圓城示意見(jiàn)圖1.

圖1 遙度圓城示意

1.1 古代算法

《數(shù)書九章》中這樣記載：“答曰：徑九里.周二十七里.術(shù)曰：以勾股差率得之.一為從隅，五因北外里，為從七廉，置北里冪，八因，為從五廉，以北里冪為正率，以東行冪為負(fù)率，二率差，四因，乘北里為益從三廉，倍負(fù)率，成五廉，為益上廉，以北里乘上廉，為實(shí)，開玲瓏九乘方，得數(shù)，自乘為徑以三因徑得周.”

古法的解題步驟分為2步，第1步為求率圓，即根據(jù)已知條件列出方程，古法稱為造術(shù)；第2步為開九成方圓，即利用正負(fù)開方術(shù)求解高次方程.勾股差率指以相似勾股形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)立式；文中“隅”“廉”“方法”沿用中國(guó)古代開放術(shù)語(yǔ)［9］，是開平方或開立方的算籌步驟，其中隅表示x3、廉表示ax2、方法表示bx，不同算籌層次分別對(duì)應(yīng)著現(xiàn)代多項(xiàng)式方程的組成部分.

第1步：根據(jù)已知條件列出方程.數(shù)學(xué)家劉徽在“方程”注述中提到，令每“行”為“率”，即按條件列等式；如表1所示每行上列為“物率”，下列為“總實(shí)”，將等式的系數(shù)用算籌布列出一個(gè)方陣；使得行數(shù)與物數(shù)相等，列出類似于現(xiàn)代多元線性方程的增廣矩陣，從而進(jìn)行矩陣運(yùn)算.《數(shù)書九章》提出正負(fù)開方術(shù)［10］，目的是由“實(shí)”求“商”.運(yùn)用“商常為正，實(shí)常為負(fù)，從常為正，益常為負(fù)”的原則，純用代數(shù)加法，給出統(tǒng)一運(yùn)算規(guī)律，并在賈憲“增乘開方法”的基礎(chǔ)上擴(kuò)充到任何高次方程中的一般形式，可表示為

表1 求圓率

第2步，利用有效且高度機(jī)械化的迭代算法進(jìn)行該高方程求解.具體步驟為

①依據(jù)“實(shí)常為負(fù)”原則，常數(shù)項(xiàng)規(guī)定總為負(fù)，方程式中除了常數(shù)項(xiàng)外都可正可負(fù)，得到

② 議得試商3，通過(guò)減根變換x=3+h將式（2）變?yōu)樾路匠?/p>

《數(shù)書九章》中“遙度圓城”開方圓本［11］如圖2所示，反復(fù)提取公因子，經(jīng)過(guò)9次機(jī)械化迭代程序，由下而上累乘累加進(jìn)行試商，最終將結(jié)果從常數(shù)項(xiàng)中減去.圖中的廉除了分為上廉、次廉、下廉，又細(xì)分為才廉、維廉、行廉、爻廉和星廉，分別表示x4、x5、x6、x7和x8，且每一項(xiàng)標(biāo)出正負(fù)，“○”表示零，即沒(méi)有的概念.迭代計(jì)算過(guò)程還原如表2所示.

圖2 開方圓本

表2 迭代程序

③如表2所示，迭代過(guò)程直到常數(shù)項(xiàng)a10（實(shí)）恰好被減盡，34 992-11 664×3=0計(jì)算過(guò)程結(jié)束.設(shè)x2為城徑，最終得到未知數(shù)奇次冪系數(shù)為0的10次方程（2），求解得到精確根x=3.因此，城徑為 9，依據(jù)題意π取3，得到圓周長(zhǎng)為27.

1.2 近、現(xiàn)代算法概況

近代數(shù)學(xué)將“方程”定義為含有未知數(shù)的等式.隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，方程逐漸成為初等數(shù)學(xué)的重要組成部分，其關(guān)鍵在于將未知信息帶入運(yùn)算過(guò)程，并通過(guò)信息之間的聯(lián)系，求解未知數(shù).清乾隆年間《四庫(kù)全書》收錄《數(shù)書九章》［12］，并利用圓內(nèi)接四邊形OBCD應(yīng)用，求解4次方程正根.

將遙度圓城抽象化，示意如圖3所示，O為圓城中心，B為南門，F(xiàn)為北門.北門外A處有一喬木，設(shè)AF=3，AC切圓于D，BE⊥AC于E.由割線定理可知，

圖3 遙度圓城簡(jiǎn)化版示意

2 玲瓏10次方程的猜想及驗(yàn)證

《數(shù)書九章》明確給出未知數(shù)奇次冪系數(shù)為0的10次方程的解法，并未提及如何布列方程的過(guò)程.為何不用3、4次，反而用10次求解方程，成為歷代數(shù)學(xué)家探討最多的問(wèn)題之一［13］.學(xué)界普遍認(rèn)為：秦九韶為證明正負(fù)開方術(shù)適用于任意高次方程，有意提高方程次數(shù).從而把未知數(shù)設(shè)為圓城半徑的某次方根.

下面以玲瓏10次方程為例，即1.1節(jié)中式（2），給出一種導(dǎo)出這個(gè)方程的方法.事實(shí)上，可知玲瓏10次方程的來(lái)歷與“遙度圓城”有著密切的聯(lián)系.

命題1“遙度圓城”示意如圖4所示，在△ABC中，BE⊥AC，EG⊥BC，EH⊥AB，則

圖4 遙度圓城示意

證明：考慮直角三角形ΔECB和ΔABC，根據(jù)射影定理，CG·CB=CE2以及CE·AC=CB2.通過(guò)計(jì)算，有

同理，考慮直角三角形ΔEBA和ΔABC，可以得到

利用比例式（5）推導(dǎo)出方程（2），說(shuō)明“遙度圓城的造術(shù)”是相似勾股形對(duì)應(yīng)邊的比例的解釋；由式（6）化簡(jiǎn)后的整系數(shù)方程是一個(gè)12次方程，約去因子x2+3得到10次方程，也解釋了秦九韶算法列出10次方程的原因.

3 “秦氏”算法的優(yōu)勢(shì)及古今解法的比較

3.1 求解高次方程的方法與優(yōu)勢(shì)

秦九昭在《數(shù)書九章》方程章中還包括等共計(jì)21個(gè)高次方程［14］.其中4次方程4個(gè)，10次方程1個(gè)，例如［尖田求積］-x4+76 300x2-40 642 560 000=0.

解題關(guān)鍵是利用算籌列出方程，通過(guò)試商，尋找x=+h的減根方程，由下而上，累乘累加反復(fù)提取公因子，建立系數(shù)表，從而確定實(shí)根.正負(fù)開方法不僅可以求解奇次項(xiàng)系數(shù)為0的玲瓏乘方，事實(shí)上可以開任意次方［15］.當(dāng)遇到《四元玉鑒》開 13次方，且條件繁雜時(shí)，算籌步驟則會(huì)增加至“十二廉”，計(jì)算難度也會(huì)隨之增加.

正負(fù)開方法最大優(yōu)勢(shì)在于將求解n次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為求解n個(gè)一次方程，降低計(jì)算難度；除此之外，相較于“增乘開方法”，該算法實(shí)現(xiàn)了機(jī)械化的隨乘隨加，節(jié)約運(yùn)算時(shí)間.

3.2 古今解法的比較與思考

秦九韶經(jīng)過(guò)賈憲等人的研究，將增乘開方法推廣為一般任意高次方程的普遍數(shù)值解法.宋元乃至更遠(yuǎn)時(shí)期的數(shù)學(xué)思想受哲學(xué)影響，常用實(shí)物來(lái)刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象，逐步形成“實(shí)際問(wèn)題—數(shù)學(xué)模型—算法求解”的問(wèn)答式思維過(guò)程，表現(xiàn)為：由已知推導(dǎo)未知、明確算理.

11世紀(jì)初期，秦九韶的《數(shù)書九章》集漢朝以來(lái)開方術(shù)的最高成果，通過(guò)運(yùn)用“增乘開方”法的思想成功解決了高次方程解的計(jì)算問(wèn)題［16］.隨著時(shí)間推移，這種以解決農(nóng)耕、軍事等實(shí)際問(wèn)題的探究式解題方式，逐漸被西方設(shè)未知數(shù)、求解方程的方式所取代.西方代數(shù)“algebra”傳入中國(guó)翻譯為“借根方法”，即設(shè)立一類似于天元的“虛數(shù)”——“根”，并采用西式符號(hào)“+、-、=”構(gòu)建方程；如尖田求積問(wèn)題的列式如圖5所示.

圖5 尖田求積問(wèn)題示意

由此可見(jiàn)，古、今算法形式上的差異之處在于：現(xiàn)代算法形成了已知信息和未知信息的結(jié)合，從更高的角度尋找這二者的關(guān)聯(lián)并求解.

4 結(jié)束語(yǔ)

勾股測(cè)圓術(shù)應(yīng)用于“遙度圓城”，從而構(gòu)建玲瓏10次方程，加強(qiáng)了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了一般任意高次方程的普遍數(shù)值解法，充分體現(xiàn)了秦九韶“以擬于用”的數(shù)學(xué)研究目的和“數(shù)術(shù)之傳，以實(shí)為體”的算籌思想，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)在天文、歷法等領(lǐng)域的深度應(yīng)用；同時(shí)這種高度凝練的算術(shù)技能，也為現(xiàn)代編程計(jì)算提供迭代算法思路.

縱觀中國(guó)古代數(shù)學(xué)史，從開方術(shù)到近代求解數(shù)值解多項(xiàng)式方程等應(yīng)用，“算籌”作為求解方程的獨(dú)特運(yùn)算方式，促進(jìn)了天元術(shù)、四元術(shù)的發(fā)展［17］，也成為科技進(jìn)步的重要基石；然而對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的探究自宋代之后，卻出現(xiàn)斷層式下降，明清對(duì)于宋之前數(shù)學(xué)著作的注述逐漸減少，同時(shí)受西方推理、邏輯等數(shù)學(xué)思想的影響，導(dǎo)致許多數(shù)學(xué)成果后繼無(wú)人，日漸衰廢.

為此應(yīng)該樹立正確的數(shù)學(xué)史觀：一方面不可片面地認(rèn)為中國(guó)數(shù)學(xué)還是西方數(shù)學(xué)更有優(yōu)勢(shì)，二者可以相互融合，共同促進(jìn)；另一方面需從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史中探尋優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思想，了解古代數(shù)學(xué)家思考問(wèn)題的角度，提煉具體數(shù)學(xué)知識(shí)載體，不斷創(chuàng)造并引領(lǐng)數(shù)學(xué)研究走向全新領(lǐng)域.