一類二階立方變系數(shù)微分算子的不變子空間*

屈改珠

（渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西渭南 714099）

0 引 言

不變子空間方法是同條件Lie-B?cklund對稱方法相關(guān)的一種方法，已被成功用于非線性偏微分方程（組）的分類和對稱約化［1-3］.事實上研究非線性微分算子允許的不變子空間，也是不變子空間方法中的重要理論問題之一.文獻(xiàn)［3-6］分別對一階非線性微分算子和二階非線性微分算子的不變子空間作了討論.Galationov［3］曾經(jīng)針對二階常系數(shù)平方算子的不變子空間做了討論，隨后，又與Svirshchevskii［4］完成了二階非線性微分算子允許的最大維不變子空間是5的證明，同時討論了常系數(shù)二階平方算子、常系數(shù)二階立方算子的不變子空間，包括多項式型（三角函數(shù)型、指數(shù)型）不變子空間；并且指出經(jīng)過變量變換，一階非線性微分算子F(x，y，y′)允許的全部最大維不變子空間都能夠表示出來，但是二階非線性微分算子F(x，y，y′，y″)允許的全部最大維不變子空間未能解決；Zhu［6］證明了允許次于最大維（四維）的二階非線性微分算子中包含有三次非線性項，其結(jié)構(gòu)為

這里Fijk，i，j，k=0，1，2，3都是x的函數(shù)，同時，作者也討論了具有常系數(shù)的二階三次非線性微分算子在四維不變子空間的分類.

本文將利用不變子空間方法，考慮三次非線性微分算子F3的一種特殊形式，即一類變系數(shù)三次非線性微分算子

式中A(x)、B(x)都為x的任意函數(shù).

1 預(yù)備知識

不變子空間方法簡介［3-11］.

非線性演化方程為

式中F[u]是一個k階非線性微分算子，并且充分光滑.如果算子F滿足F[Wn]?Wn，則稱n維線性子空間Wn在算子F作用下不變或稱算子F允許不變子空間Wn，其中

且f1(x)，…，fn(x)為n個線性無關(guān)的函數(shù).這就表示

{ψi}是F[u]∈Wn在線性子空間Wn中關(guān)于基{fi}的展開系數(shù)，此時方程（1）具有如下形式的廣義分離變量解

其中Ci(t)滿足下面的有限維動力系統(tǒng)

假定Wn是n階線性常微分方程

的解空間，則微分算子F允許不變子空間Wn的不變條件是

式中D為關(guān)于x的全微分，[H]意味著：L[u]=0以及L[u]=0關(guān)于x求各階導(dǎo)數(shù)后的等式.下面給出最大維數(shù)定理.

定理1.1設(shè)線性子空間Wn由線性常微分方程（3）所定義，若Wn在k階非線性常微分算子作用下不變，則有

n≤2k+1.

如果通過變量代換

則稱算子F[y]=F(x，y，y′，…，y(k))和等價.如果算子F允許子空間Wn=L{f1(x)，f2(x)，…，fn(x)}，其等價算子允許子空間

事實上，如果存在函數(shù)α(x)、β(x)使得：

則形如二階三次變系數(shù)微分算子

在變量變換的作用下，都可以轉(zhuǎn)化為形如G[y]的微分算子，其中M(x)、N(x)、P(x)、Q(x)都是x的任意函數(shù).

2 微分算子（1）的不變子空間

利用不變子空間方法研究二階三次變系數(shù)微分算子（1）的不變子空間，考慮以下情形：n=2，3，4，5.首先，考慮n=2.設(shè)微分算子G的二維不變子空間W2是由二階常微分方程

定義，這時不變條件為

將算子G[u]代入方程（11）合并同類項，左端成為關(guān)于y、y′的多項式，即

令各項系數(shù)為0，并利用Maple求解其中的系數(shù)函數(shù)，得到3組解：

因此，得到下面的定理.

定理2.1有3種類形如G[y]的三次變系數(shù)微分算子，允許由形如常微分方程（3）解空間定義的二維不變子空間，分別是：

（1）G[y]=y2y″-yy′2，L2[y]≡y″+a1y=0，以及不變子空間

由定理2.1，可以得到2個推論.

定理2.3對于二階三次變系數(shù)微分算子G[y]，沒有允許由線性常微分方程（3）的解空間所定義的四維不變子空間.

定理2.4對于二階三次變系數(shù)微分算子G[y]，沒有允許由線性常微分方程（3）的解空間所定義的五維不變子空間.

3 應(yīng)用舉例

解空間定義的多項式不變子空間W2=L{1，x}，將解u(x，t)=C1(t)+C2(t)x代入到方程（13），則C1(t)、C2(t)滿足常微分方程組：

所以，方程（13）有解