追本溯源：理解等號(hào)的含義

蒲小麗

【摘? ?要】等號(hào)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)極其重要的符號(hào)，它既是表示得出運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，也是表示等價(jià)關(guān)系的符號(hào)。很多時(shí)候，等號(hào)的這兩種含義相伴相隨，不需要明確區(qū)分。但在有余數(shù)的除法算式中，等號(hào)只表示得出運(yùn)算結(jié)果，卻不表示等價(jià)關(guān)系。在教學(xué)中可以讓學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，引發(fā)認(rèn)知沖突以及進(jìn)行推理驗(yàn)證，先逆推驗(yàn)算結(jié)果，再說清道理，從而理解等號(hào)的含義。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);等號(hào);等價(jià)關(guān)系;帶余除法

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生是在一年級(jí)的“比較”當(dāng)中第一次接觸等號(hào)的。在這節(jié)課上，學(xué)生要體會(huì)到：兩個(gè)量的多少關(guān)系可以分為兩類，一類是相等關(guān)系，可以用等號(hào)表示，另一類是不相等的關(guān)系，可以用大于號(hào)或者小于號(hào)表示它們之間的關(guān)系。之后，學(xué)生開始在運(yùn)算中使用等號(hào)，如3+4=7，這個(gè)時(shí)候大部分師生都把等號(hào)看作是得出運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)。接著，學(xué)生還會(huì)遇到下面幾種類型的練習(xí)，如：（1）7=□+□;（2）把1，2，3，4這四個(gè)數(shù)分別填在□里，□+□=□+□等。經(jīng)過這些練習(xí)，學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到等號(hào)還可以連接值相等的式子，即表達(dá)等價(jià)關(guān)系。

學(xué)生在二年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)帶余除法之前，遇到的等號(hào)都可以看作是在表達(dá)“等價(jià)”關(guān)系（如3+4=7，可以看作是在表達(dá)3個(gè)和4個(gè)合起來，結(jié)果是7個(gè)，這時(shí)等號(hào)表示的是“得出”，但同時(shí)3+4=7也可以看作是在表達(dá)3個(gè)和4個(gè)合起來，與7同樣多。這時(shí)就是在表達(dá)等價(jià)關(guān)系）?？墒菐в喑ㄖ械摹?”只表示“得出”，不表示“等價(jià)”，這和學(xué)生腦海中熟悉的等號(hào)兩種含義的“兩位一體”有區(qū)別，大部分師生都沒有認(rèn)識(shí)到這點(diǎn)。在今后很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，學(xué)生即使沒有認(rèn)識(shí)到帶余除法中的“=”不表示“等價(jià)關(guān)系”，也不會(huì)有麻煩。直至到四年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了“商不變的規(guī)律”后，學(xué)生的困惑就出現(xiàn)了。

比如，求解90÷40，有的學(xué)生用已掌握的列豎式的方法計(jì)算后，得到的商是2，余數(shù)是10，也就是90÷40=2……10（以下簡(jiǎn)稱為算法1），也有學(xué)生運(yùn)用商不變規(guī)律，被除數(shù)和除數(shù)都除以10，得到9÷4，然后再計(jì)算得到的商是2，余數(shù)是1，也就是90÷40=2……1（以下簡(jiǎn)稱為算法2）。如果教師引導(dǎo)學(xué)生交流討論，會(huì)發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生都知道只有算法1是正確的，因?yàn)樗惴?中的余數(shù)是1，和算法1中的余數(shù)不一樣，所以算法2是錯(cuò)的，但是他們又模模糊糊地感覺到，根據(jù)商不變性質(zhì)，算法2似乎也有道理，所以他們弄不清楚算法2到底哪里出錯(cuò)了。

那么算法2究竟錯(cuò)在哪兒？學(xué)生為何難以理解錯(cuò)誤原因？教師應(yīng)該如何進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)？下面將分別從數(shù)學(xué)分析、認(rèn)知分析、教學(xué)分析、教學(xué)反思四個(gè)方面對(duì)此進(jìn)行探討。

一、數(shù)學(xué)分析

先從數(shù)學(xué)的角度看看如何理解等號(hào)的含義，如何理解帶余除法。

等號(hào)有兩方面的含義，一方面，它是表示得出運(yùn)算結(jié)果的符號(hào);另一方面，它也是表示等價(jià)關(guān)系的符號(hào)。作為得出運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)比較好理解，不展開討論，這里主要討論等號(hào)作為表示等價(jià)關(guān)系的含義。當(dāng)?shù)忍?hào)表示等價(jià)關(guān)系時(shí)，它具有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）反身性。也就是自己等于自己，即a=a。（2）對(duì)稱性。意思是等號(hào)兩邊的數(shù)或者量互相交換位置后，等式仍然成立。即如果a=b，那么b=a。（3）傳遞性。也就是如果a=b，b=c，那么a=c。

再來看看什么是帶余除法。對(duì)于一對(duì)整數(shù)a，b（b≠0），存在唯一確定的整數(shù)q和r滿足：a=bq+r，0≤r

當(dāng)r=0時(shí)，在整除的情況下，a=bq。令被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù)m（m≠0），得am=（bm）q，商仍為q;令被除數(shù)和除數(shù)都除以相同的數(shù)m（m≠0），得[am=bmq]，商仍為q不變。這是商不變的數(shù)學(xué)原理。

當(dāng)r≠0時(shí)，被除數(shù)和除數(shù)都除以相同的數(shù)10，則[a10=b10q+][r10]，商仍為q，但是余數(shù)[r10]僅為原式中r的[110]。即上述等式中等號(hào)兩邊都除以10，得到9=4×2+1，新得到的余數(shù)1應(yīng)當(dāng)乘10才是90÷40真正的余數(shù)。故若要使用簡(jiǎn)便運(yùn)算的方法，不能將被除數(shù)和除數(shù)都除以相同的數(shù)，把所得的新的帶余除法算式的余數(shù)作為原來算式的余數(shù)。

現(xiàn)在，我們來看，小學(xué)階段講的帶余除法算式a÷b=q ……r中的“=”，它并不能表示等價(jià)關(guān)系，因?yàn)閹в喑ㄖ械摹?”并不滿足等號(hào)表示等價(jià)關(guān)系時(shí)的三個(gè)性質(zhì)。

1.不滿足反身性和對(duì)稱性。如9÷4=2……1，不能寫成2……1=9÷4。

2.不滿足傳遞性。如9÷4=90÷40，9÷4=2……1;但90÷40≠2……1。

也就是說，帶余除法中的“=”不表示等價(jià)關(guān)系，在這里，等號(hào)只是表示得出運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)。

二、認(rèn)知分析

學(xué)生的疑惑和教師的困惑，還可以從認(rèn)知的角度去理解和分析。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程往往會(huì)受到他原有知識(shí)基礎(chǔ)的影響。學(xué)生在學(xué)習(xí)帶余除法之前，遇到的等號(hào)表示“得出”和表示“等價(jià)”并沒有明顯的區(qū)分。比如算式5+3=8中，一方面，可以把8看成是5+3得出的結(jié)果，同時(shí)，5+3和8也具有等價(jià)的關(guān)系，所以在前面的學(xué)習(xí)當(dāng)中，表示“得出”和表示“等價(jià)”關(guān)系的等號(hào)同時(shí)存在，在學(xué)生的頭腦中它們是兩位一體的，因此學(xué)生不會(huì)去區(qū)分這兩者之間的區(qū)別。

當(dāng)學(xué)生遇到帶余除法中的等號(hào)，以為帶余除法中的“=”也是既表示“得出”，又表示“等價(jià)”，這是很正常的現(xiàn)象。因?yàn)樵趯W(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中，并沒有遇到過不同，所以學(xué)生也就不會(huì)去判斷遇到的“=”是不是表示“得出”或者是不是表示“等價(jià)”，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

三、教學(xué)分析

根據(jù)前面的分析可知，學(xué)生存在困惑符合他們的認(rèn)知規(guī)律，但數(shù)學(xué)上等號(hào)的這兩種含義又有所區(qū)別。因此，在教學(xué)中要想讓學(xué)生理清這兩者之間的關(guān)系，就需要關(guān)注等號(hào)兩種不同含義的辨析。具體可以采用如下教學(xué)過程。

（一）獨(dú)立計(jì)算，引發(fā)認(rèn)知沖突

1.教師呈現(xiàn)問題“90÷40=”請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立計(jì)算。

2.交流計(jì)算方法與結(jié)果。

在學(xué)生計(jì)算得出2……1和2……10兩種不同結(jié)果時(shí)，教師追問：“你是怎么想的？”讓學(xué)生充分展示自己的方法和思考過程，再追問：“他說的有道理嗎？”引出問題，形成認(rèn)知沖突，引起學(xué)生的求知欲。

（二）推理驗(yàn)證，逆推驗(yàn)算結(jié)果

1.教師提示：順向看，兩種方法都有道理，如果想驗(yàn)證到底哪個(gè)結(jié)果正確，可以采用代入法擬推驗(yàn)證結(jié)果。

2.學(xué)生驗(yàn)算兩個(gè)結(jié)果，得出40×2+10=90，結(jié)果正確，40×2+1=81，說明結(jié)果錯(cuò)誤。

（三）說清道理，理解等號(hào)含義

1.請(qǐng)學(xué)生觀察并思考：6÷3=8÷4可以寫成8÷4=6÷3，90÷40=2……10，你會(huì)寫成2……10=90÷40嗎？為什么？

2.通過討論使學(xué)生明確8÷4=6÷3，等號(hào)兩邊可以交換位置，表達(dá)的是“等價(jià)關(guān)系”，而90÷40=2……10，等號(hào)表達(dá)的是2……10是計(jì)算90÷40得到的結(jié)果，是對(duì)結(jié)果的一種記錄方法。

3.引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)90÷40=2……10，2……10是計(jì)算90÷40得到的結(jié)果的一種表示方式。如果90÷40除數(shù)和被除數(shù)同時(shí)縮小10倍，商2不會(huì)發(fā)生變化，但余下的部分也會(huì)隨著除數(shù)和被除數(shù)的變化發(fā)生變化，也就是說余數(shù)10也要縮小10倍。

4.練習(xí)應(yīng)用。

四、教學(xué)反思

其實(shí)在教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些學(xué)生的錯(cuò)誤，有些錯(cuò)誤具有個(gè)性特點(diǎn)，也有些錯(cuò)誤具有共性特征。比如對(duì)帶余除法和帶余除法中“=”的理解問題，它不受時(shí)間和地區(qū)的限制，總會(huì)發(fā)生。城市里的學(xué)生有這樣的問題，鄉(xiāng)鎮(zhèn)里的學(xué)生也有這樣的困惑，五年前教的學(xué)生學(xué)到這里有這樣的疑問，今天的學(xué)生學(xué)到這里也產(chǎn)生這樣的迷茫。當(dāng)教師遇到這樣的問題時(shí)，要養(yǎng)成一種去追問、去深入思考的習(xí)慣，要弄清楚到底是哪里出了問題。追問的時(shí)候既要從數(shù)學(xué)知識(shí)本身出發(fā)，也要從學(xué)生的認(rèn)知角度去考慮。在厘清問題產(chǎn)生的緣由以后，有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)，才會(huì)真正幫助學(xué)生不但知其然，更知其所以然。

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（浙江省杭州市長(zhǎng)青小學(xué)? ?310004）