逆為核心，讓“意義”與“關系”比翼齊飛

朱孟迪

【摘? ?要】加法概念與學生經驗相符，容易建構;減法概念與原有經驗偏離，較難建構。減法沒有專屬自己的概念詞，是從“逆關系”的視角加以描述的。隨著負數的引入，減法終將納入加法體系。因此，加法模型是四則運算的基礎，更是構筑數學知識大廈的重要基石。教學中，緊抓“逆為核心”的教學策略，可以實現(xiàn)加減法的意義共同推進，加減法各部分間的關系比翼齊飛。

【關鍵詞】加法意義;減法意義;逆運算;加減關系

《加法和減法》這節(jié)課主要有兩大教學任務：理解“加減法的意義”和掌握“加減法各部分間的關系”。這節(jié)課常見的教學流程是：呈現(xiàn)加法學習素材→建構加法概念→舉一反三豐富素材→發(fā)現(xiàn)加法各部分關系→建構減法概念→討論各部分間的關系→練習深化。這樣做，將加法與減法的概念分離、將各部分間的關系分開，使得教學整體性不強，結構松散，學生會因為學習內容缺乏挑戰(zhàn)性、概念理解抽象枯燥而覺得索然無味。

那么，能不能找到一條線，將散亂抽象的點狀學習材料都“串”起來，“拎”起來？

一、尋找思維依據：在概念與關系中找到“逆為核心”

（一）“加減概念”的價值取向——“逆為核心、概念同行”的可行性

1.建構“加法概念”的思維依據

任何一個概念都是在遇到問題、分析問題和解決問題的過程中經過逐步歸納、總結而得到的。史寧中教授在《基本概念與運算法則》一書中指出，加法有兩種方式：一種是對應，一種是定義。小學教材一般采用的是定義的方式，鮮有對應的方式呈現(xiàn)，常見如下。

定義一：加法是基本的四則運算之一，它是指將兩個或者兩個以上的數、量合起來，變成一個數、量的計算。定義二：把兩個數合并成一個數的運算，叫作加法。定義三：求兩個數的和的運算，叫作加法。

從數學邏輯上來分析，這些定義其實都體現(xiàn)了把兩個子集合并成一個集合的過程，其中子集A與子集B沒有交集，是它們的并集的真子集;倘若子集A與子集B有交集，那就是人教版三年級上冊《數學廣角》中的“集合”了，是求并集的另一種情況。無論哪一種加法，都為學生后繼學習打基礎。

除此以外，教學加法的定義時還要關注學生如下思維過程：（1）理解等號的對稱性。在低段，等號看起來是表示從左往右的順序，但當學生學習方程后就知道，等號還可以是連接左右兩個相等的量的符號。這對接下去加減法關系的教學，有一定的幫助。（2）關注數學的抽象性。數量是對生活的抽象，而數是對數量的抽象。如學生自主表征“1+2=3”時可能舉例：1個蘋果與2個蘋果合并起來就是3個蘋果，其實質是“把兩個數量合并成一個數量”，還需抽象至把“1”和“2”兩個數合并成一個數“3”的運算。

從學生的經驗上來分析，四年級的學生雖然對加法運算有著豐富的實踐經驗，但他們無法對加法的本質進行抽象概括。教師引導并提煉加法的概念，比較容易，因為其概念本質與學生頭腦中的原有經驗一致，是順學而導，關鍵需要提煉出“合并”這個關鍵詞。

2.建構“減法概念”的思維依據

減法一般有兩種定義。定義一：從一個數中減去另一個數的運算叫作減法。定義二：已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算叫作減法。

隨著學習的深入，尤其是數系的擴充，定義二更有張力。

從數學邏輯上來分析，建構定義二時必須從加法切入，它完全站在“減法是加法的逆運算”這個角度。在這樣的背景下，減法的概念沒有自己的專屬詞，而是緊緊依托加法定義中的“加數”與“和”。那么，教材為什么沒有單獨定義減法呢？因為從初中開始，就只有加法沒有減法了。如5-3，可以理解為5+（-3）的意思，以此可以類推至乘除法的意義。可見，減法的概念完全建立在“逆運算”這層關系上。

從經驗上來分析，學生從一年級開始接觸最多的是定義一，頭腦中有著十分豐富的表象。倘若讓他們自主表征，他們會更多地糾纏于定義一上，雖然不能說它錯，但又難以引導至定義二。因此，要想建構定義二并不容易。

綜上所述，加法的概念學生容易理解，它建立在學生的原有認知上，而減法的概念比較難理解，其呈現(xiàn)方式與學生的原有經驗存在偏差，需要教師創(chuàng)設合理情境，進行必要的引導。減法的概念完全建立在“逆運算”這層關系上，雖然減法概念的建立和理解，需要學生調整已有認知結構，對原認知經驗進行改造，但只要借助“逆”關系，就可以順學而導，這為“逆為核心”的教學提供了充分的條件。

（二）“加減關系”的價值取向——“逆為核心、關系同行”的必要性

1.建構“加減內部關系網”的思維依據

在加減概念的支撐下，學生再度認識了各部分名稱，通過討論與總結，教材呈現(xiàn)如下兩組關系。

這些關系是按“加法內部關系”與“減法內部關系”進行羅列的，其重點是根據這些關系來幫助學生解決相應位置下的數據。例如，3+（? ?）=5，就是“已知加數3與和5，求另一個加數是幾”，可以根據“加數=和-另一個加數”這個關系來計算，即5-3=2。

這些內部關系之間存在著“逆運算”的關系。在加法各部分之間的關系中，“加數=和-另一個加數”是“和=加數+加數”的逆運算;在減法各部分之間的關系中，“差=被減數-減數”，而“減數=被減數-差”又是“被減數=減數+差”的逆運算。

這個發(fā)現(xiàn)，為設計“逆為核心”的教學提供了依據。

2.建構“加減外部關系網”的思維依據

將上述五個關系式再度進行梳理、整合，并重新分類，得到以下關系式。

加減外部存在著千絲萬縷的關系。例如，（? ?）-3=5，既可以利用“被減數=減數+差”來計算（其實質為3+5），也可以利用“和=加數+加數”來解答，它們僅僅是觀察角度不同，名稱叫法有所區(qū)別而已。其本質都可以歸結為加法的意義，這就為學生記憶加減關系式減輕了負擔。從大處看，右邊的減法都是左邊加法的逆運算。這些發(fā)現(xiàn)，都為“逆為核心”的教學提供了新的視角。

3.建構“逆為核心、關系同行”的可行性

為了解學生能否適應“逆為核心”的教學，筆者對四年級兩個班的學生進行了前測，測試結果如表1所示。

前測結果表明，本課學習之前，79.2%的學生聽說過“減法是加法的逆運算”，62.5%的學生已經能用“加減關系”來理解“逆運算”。在追問這些作品的道理時，超過50%的學生已然能舉例解釋加法的意義以及逆運算關系。

綜上所述，從數學的邏輯結構上來分析，無論是“加減關系”鉤織的內部網還是外部網，都為“逆為核心”的教學提供了依據與可能。從學習者的經驗上來分析，該年齡段的學生已經充分地積累了加法與減法的運算經驗，也能發(fā)現(xiàn)“減法是加法的逆運算”的內部邏輯關系。這些都為“逆為核心”的教學提供了思維導向。

二、尋找思維路徑：建構“逆為核心”的教學脈絡

貼合學路，找準起點，方能設計出一條合理的教學脈絡。本課教學的兩大教學任務“加減法的意義”和“加減法的關系”都可以圍繞“逆”字展開（如圖1）。

“減法是加法的逆運算”中的“逆”是本路徑的核心。這個“逆”關系不僅體現(xiàn)在“加減法的意義”上，更體現(xiàn)在“加減法各部分之間的關系”上?！澳鏋楹诵摹钡慕虒W，就是關系角度的教學。學生借助“逆”關系的探究過程，建構加、減法的概念，形成加減“逆”關系的感悟。與此同時，借助“逆”關系，架起了加法內部關系式、減法內部關系式、加減關系式之間的橋梁，形成了以“加法模型”為基礎的加減法關系網。在這樣的框架下，設計教學流程（如圖2）。

三、解決思維困點：搭建“逆為核心”的思維結構

貼合學路，解決思維困點，就得準確掌握知識的“邏輯起點”和學生的“現(xiàn)實起點”，優(yōu)化學生的“學習之路”，最終達到提高課堂效率的目的。

策略一：逆為核心，概念建構齊頭并進

【教學片段1】自主表征、合作交流建構“逆”

教師出示任務：“減法是加法的逆運算。”你能根據自己的經驗解釋一下這句話嗎？你可以列一列算式，畫一畫草圖，寫一寫文字，來表達自己的想法。

學生完成后，教師組織全班交流。

（1）作品一：（算式）? ?5+3=8? ? ? ? ?8-3=5

生：加法是把兩個加數加起來，減法是從“和”里面減去一個加數。

生：減法是告訴你“和”與其中一個加數，求另一個加數。

師：是嗎？讓我們找一找，減法中的8，相當于和;減法中的3，相當于加數;減法中的結果，相當于另一個加數。（形成板書，如圖3）

師：他發(fā)現(xiàn)，加法是告訴我們加數與加數，求和;減法是告訴我們“和”與其中一個加數，求另一個加數。這就是你們心目中的逆運算，對不對？

（2）作品二：線段圖

師（出示圖4）：這幅線段圖逆在哪里呢？

生：左邊是把兩個數5和3加起來;右邊是已知一個加數5與“和”8，求另一個加數，或者是已知一個加數3與“和”8，求另一個加數。

師：你的意思是左邊這個線段圖告訴我們加數與加數，求和;右邊兩個線段圖告訴我們“和”與一個加數，求另一個加數。與剛才相似嘛！這位同學還從一道加法，變出兩道減法來，真不錯。

（3）作品三：（文字）加法是越加越大，減法是越減越小

生：加法是越加越大，減法是越減越小，所以減法是加法的逆運算。

師：你能舉個例子嗎？

（生舉例：7+2=9;7-2=5）

師：這是他的理解。你能根據這個加法算式（7+2=9），變出兩道減法嗎？

（學生寫出：9-2=7;9-7=2）

師：你們看（如圖5），一變就變出了“逆”的感覺。同學們看看，7-2=5是這道題的逆運算嗎？（不是的）那它是怎么逆過來的呢？（2+5=7）

師：同學們真厲害，借助自己的經驗，想到多種方法來解釋“減法是加法的逆運算”。（把圖3、圖4、圖5放在一起）現(xiàn)在你們來說說看什么是加法，什么又是減法。（板書概念，齊讀）

師：你們看，減法好可憐呀！它沒有專屬自己的核心詞，而是緊緊依靠加法中的“加數”“和”這樣的核心詞。正因為如此，我們更加感受到減法是加法的逆運算。來，讓我們再來讀一讀——你讀出“逆”的感覺了嗎？真好！

設置符合學生學情的情境，拋出“減法是加法的逆運算，你能根據自己的經驗解釋一下這句話嗎”這個大問題，讓加減概念得以齊頭并進。這樣的設計是以往教學中不常看到的。實踐表明，學生有能力自主表征，在反饋交流的過程中能夠準確理解加法的概念。由于問題緊緊圍繞的是“逆運算”，學生對減法概念的習得不再糾纏于“總量—部分量”的定義一，而是嫁接于“與加法的關系”上，這一點在作品三的交流與反饋中，得到充分體現(xiàn)。這樣的教學為順利地實現(xiàn)概念建構，突破教學的難點提供了新的視角。

策略二：逆為核心，組塊練習深化意義

【教學片段2】充實素材再議“逆”

題組1：“不求解”中強化關系理解。

快問快答——已知什么？要求什么？（如圖6）

這是一組針對性練習，針對加減法的各部分關系而設計。學生回答后要追問：“你認為哪些題要逆過來進行思考？”進一步引導學生關注“逆”關系。

題組2：具體問題中抽象內化運算意義。

這一組練習分為兩層推進（如圖7、圖8），感受不同的“加法”和“減法”結構所體現(xiàn)的相同意義。學生發(fā)現(xiàn)，隨著信息和問題的交換，同一個“數學故事”解決問題的方式就會“互逆”。線段圖能幫助學生更好地理解加減法的意義。

題組3：編題中感受“互逆轉化”（如圖9）。

“運走”“剩下”是減法問題中常見的信息描述語。求“原來”是逆推。通過這一題的解答以及隨后的自行編題“你能把這道題的問題和信息逆過來，改編成用減法解決的問題嗎”，讓學生從題組的對比中感知問題中蘊含的加減法關系。

題組化練習對學習素材進行了補充，在“逆過來思考”“舉一反三”“逆推”等方式的作用下，學生的思維總是交織于“逆”這個核心點，既鞏固了加減法的意義，又借助各類學習素材豐富了“逆”關系的類型。尤其是題組3中“逆推”的呈現(xiàn)，將學生思維中的“和”與“被減數”進行了聯(lián)結，為接下去的建構加減外部關系網埋下了伏筆。

策略三：逆為核心，建構加減關系網

【教學片段3】建構結網深化“逆”

（1）回憶舊知，進行聯(lián)系

師：同學們，你們有沒有發(fā)現(xiàn)，“減法是加法的逆運算”這個原理似曾相識？

檢驗減法計算結果是否正確，可以用加法來驗算（如圖10）。一圖四式中，既有加法，又有減法。計算減法時，也可以利用逆運算快速得到答案（如圖11）。

（2）整合理解各部分關系

①動筆解答

23+（ ）=125，125-（ ）=23，125+23=（ ），

（ ）-125=23，（ ）-23=125， 125-23=（ ）

②分類觀察

師：根據答案給它們分分類，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)，和=加數+加數;加數=和-另一個加數;被減數=減數+差;減數=被減數-差;差=被減數-減數。

生：我發(fā)現(xiàn)，求和與求被減數竟是一樣的！

師：哦？有這么神奇的事兒？（引導學生再觀察算式，并形成這樣的板書：和=加數+加數;被減數=減數+差）

生：我還發(fā)現(xiàn)，求加數，與求差、求減數，也是一樣的。（教師板書：加數=和-另一個加數;減數=被減數-差;差=被減數-減數）

師：同學們，這些加減算式中，竟然還存在如此多的關系，我們看到了它們“變中有不變”的意蘊！現(xiàn)在，你認為加法和減法，哪個更基礎？（加法）是呀，有時它這樣呈現(xiàn)——告訴我們兩個加數;有時它這樣呈現(xiàn)——只告訴我們一個加數。只要我們找到基本關系，用火眼金睛進行辨析，就可以很快得到答案。

當學生驚奇地發(fā)現(xiàn)“求和與求被減數竟是一樣的”時，加法與減法的外部結構網就已打開。眾所周知，“加減關系”存在著千絲萬縷的關系，加法是基礎，是學生順向的思維方式，這為學生進一步理解減法和后續(xù)學習提供了思維支撐。扎實“加法模型”，將推導出的其他關系式梳理成網，能夠幫助學生減輕名稱上的記憶負擔，提高學習實效。

《加法與減法》這節(jié)課不應按部就班依次教學加法的意義與減法的意義，不能分門別類分離教學加法內部關系與減法內部關系。教師可以借助“逆為核心”這個新視角設計教學，進而實現(xiàn)加減法的意義共同推進，加減法各部分間的關系比翼齊飛，提高教學的實效。

參考文獻：

[1] 史寧中.基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

（浙江省慈溪市崇壽鎮(zhèn)中心小學? ?315334）