基于SOLO理論的數(shù)學語言轉(zhuǎn)換評價

摘 要 數(shù)學語言轉(zhuǎn)換是學生從不同角度和不同層次理解與掌握知識本質(zhì)的過程，其轉(zhuǎn)換情況能正確反映學生的思維水平。用SOLO理論評價學生的數(shù)學語言轉(zhuǎn)換水平，能正確描述和分析學生的思維發(fā)展層次，幫助學生明晰努力方向和路徑，促進學生更好地發(fā)展數(shù)學思維、提升學業(yè)質(zhì)量、實現(xiàn)學科發(fā)展的目標。

關(guān)鍵詞 SOLO評價 數(shù)學語言轉(zhuǎn)換 思維發(fā)展

數(shù)學語言一般包括文字語言、圖表語言和符號語言三種。小學生在數(shù)學閱讀、理解或表達時都要把“一種數(shù)學語言形式轉(zhuǎn)換成已有認知結(jié)構(gòu)中的學習者本人能理解的數(shù)學語言形式，或者從多種不同的語言形式中篩選、組合，最終轉(zhuǎn)換成一種恰當?shù)恼Z言形式”[1]。數(shù)學語言轉(zhuǎn)換是學生從不同角度和不同層次理解與掌握知識本質(zhì)的過程，其轉(zhuǎn)換情況能正確反映學生的思維水平。SOLO理論是香港大學教育心理學教授比格斯總結(jié)的一種以等級描述為特征“可觀察的學習成果結(jié)構(gòu)”的質(zhì)性評價方法。這種理論把學生思維由低到高分為前結(jié)構(gòu)、單點結(jié)構(gòu)、多點結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和抽象拓展結(jié)構(gòu)”五個層次[2]。用SOLO理論評價學生的數(shù)學語言轉(zhuǎn)換水平能正確描述和分析學生的思維發(fā)展層次。

一、基于SOLO理論的數(shù)學語言轉(zhuǎn)換評價實踐

1.用SOLO理論評價文字語言的轉(zhuǎn)換

文字語言就是“經(jīng)過加工、改造、限定和精確形成的數(shù)學化語言”[3]。在數(shù)學學科中，文字語言是學生最通用、直白和易于理解的數(shù)學語言，不但是呈現(xiàn)數(shù)學知識的載體，而且是數(shù)學表達和數(shù)學交流的媒介，還能起到補充和解釋的作用。對文字語言表達的數(shù)學信息，學生有時要適當轉(zhuǎn)換才能理解其中的數(shù)量關(guān)系，并用符號直觀表達或抽象推理。用SOLO理論評價學生的文字語言轉(zhuǎn)換水平，有助于教師了解學生對文字語言的理解能力、正確認識學生的抽象思維水平。

【案例1】有一種玩偶，每小盒裝4個，要5元;每大盒裝6個，要7元。如果要買40個玩偶，可以怎樣整盒買？

問題中的數(shù)學信息主要用文字語言呈現(xiàn)，學生先要認真閱讀，弄清條件和問題之間的聯(lián)系，在解決問題過程中轉(zhuǎn)換文字語言。按照SOLO理論，學生轉(zhuǎn)換文字語言的結(jié)構(gòu)層次如下。

（1）前結(jié)構(gòu)。學生不會解答或隨意列式為40×5=200元、40×7=280元等。不會解答說明學生不理解題意，無法正確轉(zhuǎn)換文字語言;隨意列式雖然把文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言，但列式錯誤，說明學生不理解數(shù)量關(guān)系。

（2）單點結(jié)構(gòu)。學生能正確理解題意，明確某個線索，并根據(jù)線索解決問題，但思路單一。學生很容易發(fā)現(xiàn)40個玩偶正好是10小盒，要5×10=50元。雖然問題中的數(shù)學信息較多，但學生只從中發(fā)現(xiàn)明顯的倍數(shù)關(guān)系，思維較簡單。

（3）多點結(jié)構(gòu)。學生能發(fā)現(xiàn)問題的不同線索，并形成不同的解題思路，但只能孤立分析，不能從整體認識知識結(jié)構(gòu)。學生除了想到只買小盒的方案外，還想到大盒和小盒組合購買方案中的一種情況，如買7小盒、2大盒，要付5×7+7×2=49元。列式迅速、正確，說明學生轉(zhuǎn)換文字語言流暢，但思維不開闊、方法不全面。

（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。學生不但能發(fā)現(xiàn)問題中多個相關(guān)聯(lián)的信息和線索，而且能靈活解決問題。除單點結(jié)構(gòu)和多點結(jié)構(gòu)方案外，還想到買4大盒、4小盒或者6大盒、1小盒中的一種購買方案。解決問題思路多樣并正確，說明學生分析問題思路清晰，把文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言流暢，但沒能正確決策、優(yōu)化購買方案。

（5）抽象拓展結(jié)構(gòu)。學生能把數(shù)學信息進行有機整合，多角度、多層次地有序分析問題和解決問題（見表1）。

學生列表解決問題的過程是把文字語言轉(zhuǎn)換為圖表語言。在轉(zhuǎn)換過程中，學生不但能正確理解數(shù)學信息間的相互關(guān)系，而且能用符號語言有序列舉，還能發(fā)現(xiàn)最優(yōu)化方案：總盒數(shù)最少、用錢最少的方案1。

2.用SOLO理論評價圖表語言的轉(zhuǎn)換

圖表語言是“包含一定數(shù)學信息的各種圖表、用來對數(shù)學對象和數(shù)學關(guān)系進行描述的直觀性語言”[4]。圖形、圖像或表格比較直觀、形象。如果能根據(jù)圖表語言的直觀意義描述圖表語言的知識本質(zhì)，學生對知識的理解和掌握就能由感性認識逐漸上升為理性認識。對圖表語言表達的數(shù)學信息，學生有時要適當轉(zhuǎn)換才能描述直觀模型的意義、揭示空間形式，實現(xiàn)知識的深層理解。恰當應(yīng)用SOLO理論評價學生的圖表語言轉(zhuǎn)換水平，有助于教師了解學生對圖表語言的理解能力、正確認識學生的具體形象思維水平和抽象思維水平。

【案例2】說說每幅圖中涂色部分的分數(shù)含義，它們有什么共同特點？

問題中的數(shù)學信息用圖表語言呈現(xiàn)。學生先要仔細觀察每幅圖，然后用分數(shù)表示，再分析每個分數(shù)的含義，最后說出它們的共性。學生解決問題離不開圖表語言的轉(zhuǎn)換。按照SOLO理論，學生轉(zhuǎn)換圖表語言的結(jié)構(gòu)層次如下。

（1）前結(jié)構(gòu)。學生知道每幅圖的總份數(shù)和涂色份數(shù)，但不會用分數(shù)表示，只能隨意表達，說明他們不理解圖表語言或轉(zhuǎn)換圖表語言“答非所問”。

（2）單點結(jié)構(gòu)。從左向右觀察，第一幅圖是把一個物體平均分成4份，涂色3份，用? 表示;第二幅圖是把一個長方形平均分成8份，涂色5份，用? 表示;第三幅圖是把一條1米長的線段平均分成5份，涂色3份，用? 表示;第四幅圖是把6個○平均分成3份，涂色1份，用? 表示。學生能正確理解圖表語言所呈現(xiàn)的數(shù)學信息，根據(jù)圖形寫分數(shù)是把圖表語言轉(zhuǎn)換為符號語言，但只能就圖說圖，不能有更多的分數(shù)意義聯(lián)想。

（3）多點結(jié)構(gòu)。學生能結(jié)合每幅圖形正確說出分數(shù)及其含義，甚至能舉一反三地想到其他平均分的對象，如由長方形想到正方形、由1米長的線段想到1千克或1升的物體等、由6個○想到12個蘋果或20支鉛筆等。學生能把平均分的對象延伸為更多物體、圖形、計量單位、許多物體組成的整體，但無法溝通彼此之間的聯(lián)系，沒能在數(shù)學語言轉(zhuǎn)換中抽象出它們的共同特征。

（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。學生能溝通數(shù)學信息之間的聯(lián)系并解決問題，正確說出分數(shù)及其含義，知道這些分數(shù)是把一個物體、一個計量單位或一些物體組成的整體平均分的結(jié)果，知道分數(shù)與平均分的對象無關(guān)，只與平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)有關(guān)。學生把圖表語言轉(zhuǎn)換為符號語言——分數(shù)和單位“1”，是根據(jù)已有信息進行抽象概括的結(jié)果，但沒能歸納分數(shù)意義。

（5）抽象拓展結(jié)構(gòu)。學生能理解知識的本質(zhì)，對所有圖形抽象、歸納和演繹，具有較高層次的學習能力和創(chuàng)新意識。學生用分數(shù)表示涂色部分、說出每個分數(shù)的含義后，先抽象、認識單位“1”，再概括分數(shù)意義——把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份就是分數(shù)。學生把圖表語言抽象、轉(zhuǎn)換為符號語言“1”，再轉(zhuǎn)換為文字語言，概括出分數(shù)的意義，體驗分數(shù)的實質(zhì)是先分后數(shù)的數(shù)，學生通過轉(zhuǎn)換認識到平均分的對象是單位“1”，實現(xiàn)了對分數(shù)的一般認識。

3.用SOLO理論評價符號語言的轉(zhuǎn)換

符號語言是“人工創(chuàng)造的、用來表達思維觀念的一種語言，包括字母、數(shù)字、邏輯符號、運算符號和圖形符號等”[5]。符號語言表達的數(shù)學公式、運算程序、運算定律和運算法則等都非常簡潔、凝練和抽象。這種抽象性和簡潔性常使學生難以理解。因此，對符號語言表達的數(shù)學信息，學生有時要適當轉(zhuǎn)換才能較好地表現(xiàn)知識的外延和內(nèi)涵，從而理解符號語言的具體含義。恰當應(yīng)用SOLO理論評價學生的符號語言轉(zhuǎn)換水平，有助于教師了解學生對符號語言的理解能力，正確認識學生的抽象思維水平。

【案例3】用豎式計算14×12，并編故事說明每一步表示的意思。

學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)14×12豎式計算時，學生先要認真閱讀，弄清符號語言的含義和題目的要求，再在符號語言轉(zhuǎn)換中探究計算法則、理解計算道理。按照SOLO理論，學生轉(zhuǎn)換符號語言的結(jié)構(gòu)層次如下。

（1）前結(jié)構(gòu)。學生的思路紊亂，計算比較隨意，如把個位乘個位的積寫在個位，十位乘十位的積寫在十位（如圖2），說明學生不理解乘法運算程序，無法把符號語言（橫式）正確轉(zhuǎn)換為新的符號語言（豎式）。

（2）單點結(jié)構(gòu)。學生能正確編故事，如同學們進行體操表演，站成12行，每行14人。求表演隊伍一共有多少人。學生可以先算2行（3行、4行或6行）的人數(shù)，再算6個2行（4個3行、3個4行或2個6行）的人數(shù)，即14×2×6（14×3×4、14×4×3或14×6×2）的人數(shù)。這種把符號語言轉(zhuǎn)換為新的符號語言的方法，思路單一、本質(zhì)相同，都是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)（新知）轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)（舊知）。

（3）多點結(jié)構(gòu)。學生能根據(jù)題目中的數(shù)學信息發(fā)現(xiàn)不同解決問題的思路：不但會用單點結(jié)構(gòu)中的方法解答，而且會先算2行人數(shù)（如圖3），再算10行人數(shù)，最后算總?cè)藬?shù)，即14×2=28，14×10=140，140+28=168。學生畫圖分析問題是先把符號語言轉(zhuǎn)換為圖表語言，再把圖表語言轉(zhuǎn)換為符號語言。轉(zhuǎn)換過程說明學生能用乘法分配律先算2個14，再算10個14，最后求12個14，但沒能與豎式聯(lián)系起來。

（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。學生不但能畫圖分析問題和解決問題，而且能溝通橫式與豎式之間的聯(lián)系，并把橫式運算過程用豎式記錄下來（如圖4）。無論橫式還是豎式，都是把符號語言轉(zhuǎn)換為新的符號語言，說明學生已經(jīng)理解先算2行人數(shù)、再算10行人數(shù)，最后算12行人數(shù)的方法。

（5）抽象拓展結(jié)構(gòu)。學生能把握問題實質(zhì)，會用更一般的方法解決問題，并形成清晰的邏輯體系。學生能正確列出不同豎式計算14×12，并掌握豎式的簡潔書寫方法與算理，理解位值制（如圖5）。符號語言（橫式）轉(zhuǎn)換為新的符號語言（豎式），學生不但能從中抽象出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的一般算法，而且為后續(xù)解決兩、三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法計算奠定了基礎(chǔ)。

二、基于SOLO理論的數(shù)學語言轉(zhuǎn)換評價反思

數(shù)學語言轉(zhuǎn)換情況是學生思維水平的具體體現(xiàn)，SOLO評價可以幫助學生準確了解自己的思維層次，有助于學生提升學業(yè)水平、促進思維進階、實現(xiàn)學科發(fā)展。

1.SOLO評價能提升學生學業(yè)水平

數(shù)學學業(yè)水平是學生完成學習任務(wù)后的學業(yè)質(zhì)量表現(xiàn)，是學生達成學習目標的實際反映。數(shù)學語言轉(zhuǎn)換情況是小學生學業(yè)水平的一種外化體現(xiàn)。教師對學生的數(shù)學語言轉(zhuǎn)換情況用SOLO理論進行恰當評價，有助于學生明確自己的學業(yè)水平現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)自己的成功或不足之處，從而有針對性地查漏補缺，以便今后能用最短時間、最優(yōu)方案解決類似問題，使自己的學業(yè)水平不斷有更多、更快的提升。

2.SOLO評價能促進學生思維進階

學生根據(jù)評價結(jié)果，正確認識自己的思維層次，就會在教師的引導(dǎo)下和教師、同學或自己進行對話，并在對話中學會反思和合作。前結(jié)構(gòu)水平的學生不理解題意時，可以在教師引導(dǎo)或同學講解下學會分析已知條件、問題或解題思路，也可以由思維水平高的同學補充分析;單點結(jié)構(gòu)水平的學生思維單一時，可以根據(jù)評價結(jié)果嘗試用不同方法解決問題，使自己的思考更深刻、更全面……這樣，學生的思維水平就會通過SOLO評價逐漸由粗糙到精確、由淺顯到深刻、由特殊到一般地實現(xiàn)思維的不斷進階。

3.SOLO評價能幫助學生學科發(fā)展

如果教師能根據(jù)學生的客觀差異用SOLO理論評價學生的數(shù)學語言轉(zhuǎn)換水平，就會鼓勵部分學生熟練轉(zhuǎn)換、允許部分學生只會簡單轉(zhuǎn)換甚至不會轉(zhuǎn)換，學生就會“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”[6]，課堂就會慢慢形成一種優(yōu)秀文化，學生在這種課堂文化的熏陶下，正確地評價自我，養(yǎng)成虛心向他人學習、熱情幫助同伴的和諧互助的學習共同體;就會在數(shù)學語言轉(zhuǎn)換中逐漸養(yǎng)成獨立思考、大膽質(zhì)疑和勇于創(chuàng)新的習慣，對知識的理解更深刻、思維更嚴謹、表達更準確。

參考文獻

[1] 郭勝光.論三種數(shù)學語言轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)[J].中學數(shù)學研究，2011（07）：7-9.

[2] 比格斯，科利斯.學習質(zhì)量評價：SOLO分類理論（可觀察的學習成果結(jié)構(gòu)）[M].高凌飚，張洪巖，譯.北京：人民教育出版社，2010：29.

[3][4][5] 盧清榮.數(shù)學語言轉(zhuǎn)換與小學數(shù)學教學[M].南京：河海大學出版社，2019：9.

[6] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：2.

[責任編輯：陳國慶]