循理入法 提升運(yùn)算能力

劉 濤

(江蘇省睢寧縣李集鎮(zhèn)中心小學(xué) 221221)

課標(biāo)把“運(yùn)算能力”定位于義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的核心概念，其是數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的能力，運(yùn)算能力的形成對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)與提升起到了基石性的作用.在小學(xué)階段，運(yùn)算能力的形成主要表現(xiàn)在“理解算理”、“構(gòu)造算法”以及“解決問(wèn)題”三個(gè)層面，然而，學(xué)生對(duì)于計(jì)算的掌握，常常出現(xiàn)算理和算法失衡的狀況.認(rèn)知科學(xué)理論認(rèn)為，只是按照指定的法則進(jìn)行機(jī)械的操作是無(wú)意義的，可見(jiàn)處理好算理與算法的關(guān)系是非常重要的.

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中計(jì)算主要涉及的內(nèi)容是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算以及四則混合運(yùn)算，筆者將各學(xué)段的算理呈現(xiàn)方式如下表所示.

學(xué)段算理呈現(xiàn)方式低年級(jí)主要借助實(shí)物圖、情境圖、數(shù)學(xué)工具(小棒、計(jì)數(shù)器等)、生活經(jīng)驗(yàn)以及簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),經(jīng)歷操作活動(dòng),直觀理解算理.中年級(jí)側(cè)重在學(xué)生原有的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上,借助概念、定律等,通過(guò)“優(yōu)化”“再構(gòu)”等初步數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí),理解算理.高年級(jí)更加側(cè)重?cái)?shù)、形的結(jié)合,以數(shù)量關(guān)系為突破口,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的抽象與歸納.

一、多角度挖掘素材，厘清算理與算法聯(lián)系

教材可以理解為算理的表達(dá)方式，這些內(nèi)容是以特定的文字、圖表、符號(hào)呈現(xiàn)出來(lái)，然而這種呈現(xiàn)方式是隱蔽的或是抽象的，它們只能有意地指向知識(shí)本身，學(xué)生無(wú)法直接讀出其深層含義，這就需要教師多角度挖掘教材，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地深入建構(gòu).

一年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容以整數(shù)加、減法計(jì)算為主，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將生活化經(jīng)驗(yàn)逐步提煉成數(shù)學(xué)化的表達(dá)與應(yīng)用，幫助學(xué)生建立“加、減法意義”、“位值制”原則.如教學(xué)“9+幾”時(shí)的教材中主題圖：猴子面前是10個(gè)空格的盒子，里面放了9個(gè)紅蘋果，盒子外有4個(gè)綠蘋果，思考“一共有多少個(gè)蘋果？”如果教學(xué)時(shí)僅讓學(xué)生列出算式，講解“湊十法”計(jì)算結(jié)果是不夠的，學(xué)生學(xué)習(xí)是不深刻的，對(duì)知識(shí)的理解也是膚淺的.通過(guò)解讀主題圖以及借助“加法意義”理解，學(xué)生能明白求“一共有多少個(gè)”，就是將兩種蘋果合起來(lái)，用加法計(jì)算，即算式為9+4.部分學(xué)生在課前是可以算出結(jié)果的，那么教師如何挖深教材，讓學(xué)生不僅會(huì)算法，也可以深刻理解算理呢？教師可引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)9+4的計(jì)算方法，有的學(xué)生是從第一個(gè)蘋果開(kāi)始數(shù)起，依次數(shù)完，得到13，這種方法是從加法的基數(shù)意義出發(fā)；有的學(xué)生是在9的基礎(chǔ)上，接著數(shù)完盒子外的綠蘋果，這是從加法的序數(shù)意義入手.數(shù)一數(shù)的方法與加法意義相融合，此時(shí)教師可以揭示這就是“9+4”的算理，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解就變得豐富起來(lái).隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，“有更快速的方法嗎？”這樣學(xué)生不得不思考如何優(yōu)化計(jì)算方法，教師可適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察盒子，盒子里一共有10個(gè)格子，再放1個(gè)蘋果正好放滿，即10個(gè)，加上剩下的3個(gè)，一共是13個(gè)蘋果.借助對(duì)“合并”理解，學(xué)生能體會(huì)具體數(shù)數(shù)中“湊十法”的意義，最后結(jié)合“滿十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)原則，進(jìn)一步加深對(duì)“湊十法”的理解.

二、多元表征方式，加強(qiáng)算理與算法溝通

根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)以及各個(gè)學(xué)段的知識(shí)特征，教材中算理的呈現(xiàn)方式不同，那么算理與算法的溝通方式就有所區(qū)別，倘若教師采用單一的活動(dòng)，在搭建溝通的橋梁時(shí)學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)各種困難.因此，教師要立足整體，采取多種形式，螺旋交互式開(kāi)展，幫助學(xué)生構(gòu)建計(jì)算模型.

以三年級(jí)《乘法和加減法的混合運(yùn)算》為例，利用主題圖引導(dǎo)學(xué)生思考“小軍買3本筆記本和1個(gè)書包，一共用去多少元”，如何在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法呢？

1.文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言，初步溝通算理與算法聯(lián)系

文字語(yǔ)言是能準(zhǔn)確表示語(yǔ)義、信息和概念含義，經(jīng)過(guò)加工、改造和精確化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.符號(hào)語(yǔ)言是一種具有確切含義的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，包括象形符號(hào)、縮寫符號(hào)和約定符號(hào)等.根據(jù)主題圖讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)信息，并從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，闡述題目中數(shù)量關(guān)系：一共用去的錢=3本筆記本的錢+1個(gè)書包的錢，這是解決本題依據(jù)的文字語(yǔ)言.有了依據(jù)學(xué)生呈現(xiàn)多樣的學(xué)習(xí)資源，即分步算式和綜合算式，這些算式就是符號(hào)語(yǔ)言.教師先讓列分步列式的學(xué)生講解思考過(guò)程，3×5=15(元)求出的是3個(gè)筆記本的錢數(shù)，15+20=35(元)是3個(gè)筆記本與書包的總錢數(shù)；再讓列綜合算式的學(xué)生講解思考過(guò)程，3×5+20前面的3×5是3個(gè)筆記本的錢數(shù)，再加1個(gè)書包的錢數(shù)就是一共花的錢.教師揭示這分別是“分步算式”與“綜合算式”，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生分步算式和綜合算式在計(jì)算時(shí)有什么相同地方？由此學(xué)生領(lǐng)悟它們形異而質(zhì)同的內(nèi)在聯(lián)系.在呈現(xiàn)符號(hào)語(yǔ)言前，以文字語(yǔ)言為抓手，為學(xué)生理解分步算式與綜合算式的聯(lián)系奠定伏筆，并搭建起綜合算式中算理、算法的橋梁.

2.符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖表語(yǔ)言，深刻理解算理與算法聯(lián)系

圖表語(yǔ)言是各種包含數(shù)學(xué)信息的圖形，如情境圖、實(shí)物圖、幾何圖、統(tǒng)計(jì)圖和集合圖等，直觀、具體地為學(xué)生提供一種看得見(jiàn)、摸得著的媒介.鄭毓信教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)必須“去情境”，僅僅讓學(xué)生在情境中理解乘法和加、減法的混合運(yùn)算顯然是不夠的，脫離情境很多孩子會(huì)計(jì)算結(jié)果，卻說(shuō)不清為什么這樣計(jì)算，或者只能停留在乘法和加、減法混合要先算乘，再算加、減的層次.為了讓學(xué)生深刻理解算理，教師可以在教學(xué)中加入情境展示的環(huán)節(jié)，如出示12+3×5，引導(dǎo)學(xué)生觀察12加的不是3而是3個(gè)5.“你可以畫圖表示它們嗎？”教師的提問(wèn)引導(dǎo)孩子用圖表語(yǔ)言解釋符號(hào)語(yǔ)言.學(xué)生通過(guò)畫圖(圖1)，可以意識(shí)到12+3×5其實(shí)就是12+5+5+5，在這個(gè)還原過(guò)程中，教師適時(shí)提問(wèn)，先算3×5是因?yàn)檫\(yùn)算符號(hào)是“×”嗎？學(xué)生的思考進(jìn)一步深入，3×5不是因?yàn)槌朔ㄊ歉呒?jí)運(yùn)算，而是因?yàn)?+5+5是同類事物，可以先算出結(jié)果.脫離具體情境，學(xué)生在符號(hào)語(yǔ)言向圖表語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換中，對(duì)運(yùn)算的本質(zhì)有了整體的理解，對(duì)算法產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的綜合認(rèn)識(shí)才真正發(fā)生.

三、關(guān)注多向聯(lián)系，內(nèi)化算理與算法溝通

提升學(xué)生的運(yùn)算能力，算理、算法之間要進(jìn)行多向聯(lián)系，促進(jìn)圖式與口算的聯(lián)系，圖式與筆算的聯(lián)系，口算與筆算的聯(lián)系等，學(xué)生才能更好地內(nèi)化其溝通.

以三下《筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)(不進(jìn)位)》為例，12箱迷你南瓜，每箱24個(gè)，一共有多少個(gè)？本節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)解決十位上的數(shù)與兩位數(shù)相乘的方法以及書寫格式.根據(jù)主題圖示學(xué)生可列出算式24×12.教師鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立計(jì)算結(jié)果，學(xué)生展示個(gè)性化理解過(guò)程，方法一：6個(gè)2箱是12箱，再算6份共有多少個(gè)，即24×2×6；方法二：先算10箱有多少個(gè)，即24×10=240，再算2箱有多少個(gè)，即24×2=48，最后合起來(lái)就是所有的個(gè)數(shù)(240+48).很明顯方法二利于學(xué)生理解豎式計(jì)算的算理，如果此時(shí)教師直接呈現(xiàn)豎式計(jì)算，算法和算理的銜接不大恰當(dāng)，知識(shí)的轉(zhuǎn)換有些過(guò)快，部分學(xué)生不能完全理解.教師可以引導(dǎo)學(xué)生在點(diǎn)子圖中圈出每一步計(jì)算的相應(yīng)部分，并在交流中讓學(xué)生體會(huì)到方法二較為簡(jiǎn)便.與此同時(shí)，在圖2中學(xué)生能體會(huì)到圖式與口算的溝通，在圖3中學(xué)生能體會(huì)到圖式與筆算的聯(lián)系.這時(shí)教師再引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察情境圖，地上放著10箱南瓜，每箱寫著24個(gè)，搬運(yùn)師傅手里搬著2箱，讓學(xué)生理解教材中圖示的用意，逐步聚焦算法，并延伸到筆算.

運(yùn)算能力的提升不是一蹴而就的，教師要根據(jù)各個(gè)學(xué)段內(nèi)容特點(diǎn)，有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，建構(gòu)算法，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)思維能力.