初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練

張忠虎

摘要：素質(zhì)教育是以培養(yǎng)具有創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的人才為目標(biāo)而進(jìn)行的創(chuàng)新教育。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，進(jìn)行變式訓(xùn)練，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式和問(wèn)題，從不同角度、不同層次、不同背景作出有效的變化，在形變而本質(zhì)不變的過(guò)程中，引導(dǎo)其進(jìn)行解題分析。它的應(yīng)用和實(shí)踐，對(duì)促進(jìn)思維靈活發(fā)展，提高解題能力和學(xué)習(xí)能力具有重要的指導(dǎo)意義。為此，本文解讀了初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的意義、原則和有效策略。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);變式訓(xùn)練;解題教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）12-079

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題，在解有限道題中，讓學(xué)生領(lǐng)悟無(wú)限道解題的數(shù)學(xué)機(jī)制，是教學(xué)的重要任務(wù)。而變式訓(xùn)練在解題教學(xué)中的應(yīng)用，是基于形式變、內(nèi)容變、方法變?yōu)楹诵倪M(jìn)行的教學(xué)優(yōu)化，不僅訓(xùn)練學(xué)生的舉一反三的學(xué)習(xí)能力，還可以培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。為此，本文就初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的意義、原則和有效實(shí)施策略進(jìn)行了探究，旨在通過(guò)多元變式解題教學(xué)中，提高問(wèn)題解題能力，培養(yǎng)良好數(shù)學(xué)思維。

一、初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的意義

1.有利于促使學(xué)生形成良好思維品質(zhì)

初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練，相對(duì)比單一解題教學(xué)而言，它具有不確定性和發(fā)展性。它是基于事物不同表象進(jìn)行的多維分析，在設(shè)計(jì)問(wèn)題、解決問(wèn)題的時(shí)候，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度和方向進(jìn)行縱橫比較，全面分析，不僅可以讓學(xué)生了解各個(gè)事物之間的關(guān)聯(lián)存在，還可以突破思維界限，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和批判思維?？梢?jiàn)，它在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用和落實(shí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展具有重要的培養(yǎng)價(jià)值。

2.有利于加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解掌握

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，不論是解題教學(xué)的方法，還是解題的思路都比較單一、乏味，學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，對(duì)于同一問(wèn)題解題，基本上都是依靠死記硬背，照搬解題過(guò)程進(jìn)行的解題分析，長(zhǎng)此以往，不僅會(huì)影響解題積極性，還會(huì)降低解題效果。而解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練，是基于概念、公式、定理、性質(zhì)等各個(gè)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行的延伸、整合，是基于改變問(wèn)題條件、改變解題方法但是不改變問(wèn)題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行的資源優(yōu)化，在此過(guò)程中，不僅考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活掌握，還可以檢驗(yàn)學(xué)生的問(wèn)題處理能力，使其在靈活使用知識(shí)思考問(wèn)題的過(guò)程中，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解掌握，提高解題速度和解題能力。

二、初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的原則

1.相關(guān)性原則

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中進(jìn)行變式訓(xùn)練，要堅(jiān)持相關(guān)性的原則，建立在與所學(xué)內(nèi)容相關(guān)的基礎(chǔ)上，通過(guò)資源延伸、整合，在創(chuàng)新問(wèn)題的同時(shí)，促使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，在縱向、橫向關(guān)聯(lián)中，展現(xiàn)知識(shí)的靈活性，通過(guò)解題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，在變式訓(xùn)練中，使之形成系統(tǒng)思維，學(xué)會(huì)多角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

2.發(fā)散性原則

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中進(jìn)行變式訓(xùn)練，其最根本目的是培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，促進(jìn)思維發(fā)展，提高問(wèn)題解決能力。為此，在進(jìn)行變式訓(xùn)練的時(shí)候，要遵從發(fā)散性的原則，從一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)出發(fā)，多層次、多角度進(jìn)行變換，通過(guò)改變問(wèn)題條件、結(jié)論、解題策略等，打開(kāi)解題思路，由常規(guī)題轉(zhuǎn)為變式題，在多變訓(xùn)練中，促進(jìn)思維發(fā)展，提高數(shù)學(xué)分析能力、解決問(wèn)題能力。

三、初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的策略

1.改變解題方法，打開(kāi)思維空間

對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，進(jìn)行變式訓(xùn)練，解題方法的變式引導(dǎo)是關(guān)鍵，在此以外解題教學(xué)中，學(xué)生多是生搬硬套教師解題方法進(jìn)行的解題分析，缺乏新意，導(dǎo)致思維受限。為此，在此次解題變式訓(xùn)練教學(xué)中，教師可以通過(guò)改變解題方法為輔助，在變式解題策略的過(guò)程中，激活思維空間，提高學(xué)生的解題能力，從而使其尋找最優(yōu)解題方法，促使變式訓(xùn)練更加高效。例如，在教學(xué)解題這一數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，如：

例題：如圖，在△ABC中，D、F在AB上，AD=BF，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，交AC于E，過(guò)F作FG//BC交AC于點(diǎn)G，求證：BC=DE+FG。

在進(jìn)行這一解題教學(xué)的時(shí)候，為滲透變式訓(xùn)練，可以從解題方法入手，通過(guò)多解思路的開(kāi)闊，在變式解題的過(guò)程中，提高學(xué)生的解題能力，打開(kāi)思維空間，如：

解法變式一：引導(dǎo)延長(zhǎng)較短線(xiàn)段與較長(zhǎng)線(xiàn)段相等。延長(zhǎng)FG到H，使得FH等于BC，連接CH，根據(jù)作法，可以得到FH平行且等于BC，F(xiàn)BCH是平行四邊形，從而得到CH=BF，隨后將其放置于△ADE和△CHG中，通過(guò)求解三角形全等，根據(jù)DE=GH這一關(guān)鍵求解，繼而得到答案。

解法變式二：在較長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取較短的線(xiàn)段。引導(dǎo)其從BC上截取BH=DE，不難得到△ADE≌△FBH，則可以知道∠ADE=∠ABC=∠ACB，同理可以在BC上截取BH=FG，再證明HC=DE，從而求解出答案。

解法變式三：利用梯形或者三角形中位線(xiàn)定理進(jìn)行求解。通過(guò)求證三角形底邊BC等于梯形DFGE兩底之和，可以猜想通過(guò)梯形DFGE的中位線(xiàn)溝通兩者之間的關(guān)系，從而求解答案。

解法變式四：利用相似三角形的性質(zhì)和比例性質(zhì)。通過(guò)證明邊是相似三角形的對(duì)應(yīng)邊，因此可以從相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和比例的基本性質(zhì)入手證明，從而求解答案。

綜合以上來(lái)看，主要是從解題方法入手，在變式解題訓(xùn)練中，對(duì)一題進(jìn)行的證明推導(dǎo)，不僅可以激活思維，還可以為多角度、多層次變式問(wèn)題分析奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)條件，使其能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解析數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高問(wèn)題解決能力。

2.改變解題內(nèi)容，促進(jìn)思維發(fā)展

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中進(jìn)行變式訓(xùn)練，解題的內(nèi)容是分析解題思路的關(guān)鍵，同時(shí)也是檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)掌握情況的重要前提。為此，為促進(jìn)思維發(fā)展，提高學(xué)生對(duì)某一數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的全面掌握，教師可以以解題內(nèi)容為核心進(jìn)行變式訓(xùn)練，在多變內(nèi)容、不變問(wèn)題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用能力，提高解題教學(xué)的育人效果。例如，在解題教學(xué)《勾股定理的應(yīng)用》數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，會(huì)涉及到應(yīng)用方程思想解析勾股定理問(wèn)題，在學(xué)習(xí)的時(shí)候，可以以方程思想為核心，在變換問(wèn)題內(nèi)容的同時(shí)，提高對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的掌握，如：

例題：如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，線(xiàn)段AD將Rt△ABC分為兩個(gè)周長(zhǎng)相等的三角形，若CD=2，BD=6，求△ABC的面積。

在求解此問(wèn)題的時(shí)候，可以根據(jù)題意得出AC+CD+AD=AD+BD+AB，得出AC=AB+4，然后通過(guò)設(shè)AB=x，則AC=4+x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解得AB=6，最后由三角形面積公式既可以得到答案。此題主要考查了學(xué)生對(duì)勾股定理以及三角形面積等知識(shí)的掌握，旨在讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用構(gòu)建方程的思想進(jìn)行問(wèn)題解題。

變式1：如圖所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，CD是AB邊上的高，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)。

在解析此題的時(shí)候，只要設(shè)AD=x，根據(jù)CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，構(gòu)建方程既可以解決問(wèn)題，如：

∵CD⊥AB，∴∠D=90°，

∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2

∴82-（5+x）2=52-x2

∴x=75

∴AD=75

此題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，主要讓學(xué)生利用參數(shù)構(gòu)建方程進(jìn)行問(wèn)題解析。

變式2：已知在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，且BE2-AE2=AC2，求：

（1）求∠A的度數(shù);

（2）若DE=3，BD=4，求AE的長(zhǎng)。

對(duì)于問(wèn)題（1）只要連接CE，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線(xiàn)段BE到△AEC中，利用勾股定理逆定理可以求解∠A的度數(shù);而問(wèn)題（2）的解析，需要學(xué)生通過(guò)設(shè)AE=x，則AC可以用含x的式子表示，隨后將其放置于Rt△ABC中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程求解AE的值。此題所考查的主要內(nèi)容有勾股定理以及逆定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求解線(xiàn)段長(zhǎng)度以及借助勾股定理構(gòu)造方程解決問(wèn)題。

綜合以上解題來(lái)看，可以看出在解題教學(xué)過(guò)程中，主要是以勾股定理應(yīng)用方程思想進(jìn)行解題為主要方向，在變式訓(xùn)練中融合了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理逆定理等知識(shí)要點(diǎn)，是基于改變解題內(nèi)容而不改變解題核心方向?yàn)榛A(chǔ)進(jìn)行的教學(xué)引導(dǎo)，不僅可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，使其認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，還可以提高問(wèn)題解決能力，促進(jìn)思維靈活發(fā)展。

3.改變解題題型，提升思維高度

知識(shí)是靜態(tài)的，但是思維是活躍的，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，習(xí)題是固定的，但是它的變化是無(wú)窮的。為此，在教學(xué)的時(shí)候，教師可以通過(guò)改變題型，綜合證明題、選擇題、動(dòng)靜結(jié)合題等多種題型為輔助，在多變的過(guò)程中，多題歸一，提升思維的高度，激發(fā)探索學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。例如，在教學(xué)解析這一數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題的時(shí)候：

例題：已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：EC=DF。

在解析此題的時(shí)候，可以讓學(xué)生通過(guò)做輔助線(xiàn)的形式進(jìn)行問(wèn)題求解，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD，垂足為M，連接OC、OD，則CM=MD，然后根據(jù)AE⊥CD，BF⊥CD，得到AE//OM//BF，∵OA=OB，∴得到EM=FM，得到EM-CM=MF-MD，即EC=DF。

在此基礎(chǔ)上，為提高解題能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解此類(lèi)題，可以通過(guò)改變題型、圖形促進(jìn)其進(jìn)行深度探索，如：

變式一：已知，如上圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結(jié)論：1、EC=DF;2、DE=CF;3、AE=GF;4、AE+BF=AB中，正確的有（ ）

A.1、4? B.2、3、4? C.1、2、3? D.1、2、3、4

變式二：把直線(xiàn)EF動(dòng)起來(lái)，在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，讓學(xué)生猜想并推斷原有的結(jié)論是否仍然成立，在原來(lái)封閉試題的基礎(chǔ)上演變?yōu)閯?dòng)態(tài)結(jié)合探索題型，引導(dǎo)其思考以下問(wèn)題：

（1）如圖，AB是⊙O的直徑，直線(xiàn)L與⊙O有一個(gè)公共點(diǎn)C，過(guò)A、B分別作L的垂線(xiàn)，垂足為E、F，則EC=CF。

（2）上題中，當(dāng)直線(xiàn)L向上平行移動(dòng)的時(shí)候，與⊙O兩個(gè)交點(diǎn)C1、C2，其他條件不變，如圖，經(jīng)過(guò)推證，我們會(huì)得到與原題相應(yīng)的結(jié)論EC1=FC2;

（3）把L繼續(xù)向上平行移動(dòng)，使得弦C1C2與AB交于點(diǎn)P（P不與A、B重合），在其他條件不變的情形下，請(qǐng)你在圓中將其變化后的圖形畫(huà)出來(lái)，標(biāo)號(hào)對(duì)應(yīng)的字母，并寫(xiě)出與（1）（2）相應(yīng)的結(jié)論等式，判斷你寫(xiě)的結(jié)論是否成立，若不成立，說(shuō)明理由;若成立給予證明，結(jié)論：?? 。

根據(jù)此題可以發(fā)現(xiàn)，變式一和變式二是基于原題進(jìn)行的拓展延伸，雖然變式一是選擇題，但是在推導(dǎo)結(jié)論的時(shí)候，需要學(xué)生對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行推理分析，所考查的內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)更加全面，而在變式二中更是對(duì)此題的升華，是由靜態(tài)知識(shí)轉(zhuǎn)為動(dòng)態(tài)進(jìn)行的變式訓(xùn)練，在解析此題的時(shí)候，需要學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的視角進(jìn)行證明，過(guò)O做OM⊥C1C2，則AE//OM//BF，然后根據(jù)平行截割定理，得到EM=MF，由垂直弦的半徑平分弦這一知識(shí)最后得到結(jié)論，對(duì)于問(wèn)題（3）的解析要讓學(xué)生明白一個(gè)道理，平行移動(dòng)某條直線(xiàn)時(shí)，有些幾何關(guān)系是保持不變的，然后根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)、切割線(xiàn)的定理等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行問(wèn)題求解。

通過(guò)改變解題題型，在變式訓(xùn)練的過(guò)程中，促使其能夠多視角、多層次、多維度思考問(wèn)題、分析問(wèn)題，從而提升數(shù)學(xué)思維的高度，提高變式訓(xùn)練的教學(xué)質(zhì)量。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的變式訓(xùn)練，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，提高問(wèn)題解決能力具有重要的意義。為此，在教學(xué)的時(shí)候，教師要重視變式訓(xùn)練，認(rèn)識(shí)其教學(xué)的意義，根據(jù)其對(duì)應(yīng)原則，在改變解題方法、改變解題內(nèi)容、改變解題題型的過(guò)程中，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，提高解題效率和解題質(zhì)量。

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（作者單位：湖北省秭歸縣文化初級(jí)中學(xué)，湖北 秭歸 443622）