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    利用圖形直觀 引導(dǎo)解題思路

    2021-08-17 09:59:27戈晨曦
    關(guān)鍵詞:數(shù)列解題思路函數(shù)

    戈晨曦

    [摘? ?要]圖形能很好地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息,能讓隱藏的一些數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)思想顯露出來,借助圖形直觀對引導(dǎo)解題思路有著積極的作用.

    [關(guān)鍵詞]圖形直觀;解題思路;函數(shù);數(shù)列

    [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2021)20-0016-03

    一、圖形直觀的內(nèi)涵和作用

    史寧中教授提出:“幾何直觀是借助于見到的(或想象出來的)幾何圖形的形象關(guān)系,對數(shù)學(xué)的研究對象(空間形式或數(shù)量關(guān)系)進行直接感知、整體把握的能力.”孔凡哲教授認(rèn)為:“在中小學(xué)數(shù)學(xué)中,幾何直觀具體表現(xiàn)形式有四種,即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀.”從兩位教授的觀點可以看出,圖形直觀作為幾何直觀的一種形式,是一種利用圖形研究數(shù)學(xué)對象的能力.它具有直接感知和整體把握的特點.圖形直觀是幫助解決數(shù)學(xué)問題的有效手段.數(shù)學(xué)問題中的很多條件往往是隱性的、片段性的,而圖形直觀則恰恰是利用圖形把條件顯性地、連續(xù)地表達(dá)出來,進而使解題思路直觀化.圖形直觀是利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考和想象,圖形直觀能力在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力.

    二、圖形直觀在引導(dǎo)解題思路中的應(yīng)用

    1.圖形直觀在函數(shù)中的應(yīng)用

    圖像在函數(shù)中有著得天獨厚的優(yōu)勢,因為圖像本身就是函數(shù)的表達(dá)方式,是最為直觀的表達(dá)方式.

    [例1]已知函數(shù)[f(x)=ax+bx],若[01],函數(shù)[g(x)=f(x)-2]有且只有1個零點,求[a b]的值.

    我們把解析分成兩段.

    第一段:[g(x)=f(x)-2=ax+bx-2],[g'(x)=axln a+bxln b=axln bbax+ln aln b],由[01]可得[ba>1],令[g'(x)=0]得[x0=logba-ln aln b],[x∈(-∞, x0)]遞減,[x∈(x0,+∞)]遞增,[g(x)]的最小值為[g(x0)].

    由[g(0)=0],可知0是函數(shù)[g(x)]的零點.

    第二段:通過第一段的分析我們已經(jīng)初步掌握了這個函數(shù)的一些已知信息和一些不確定的信息,整理如下.

    已知函數(shù)信息:[g(0)=0],[x∈(-∞, x0)]遞減,[x∈(x0 ,+∞)]遞增,[g(x)]的最小值為[g(x0)].

    不確定的信息:函數(shù)的極小值點在哪里(和0比)?圖像在除0以外的地方的零點有沒有不清楚?

    根據(jù)已知的信息,再結(jié)合需要探索的信息,我們可以畫出這樣的三種函數(shù)草圖(如圖1、圖2、圖3).

    圖1 [x0=0]情形? ? ? 圖2 [x0>0]情形? ? ? ?圖3 [x0<0]情形

    圖形直觀幫助我們形成初步的感性結(jié)論:

    圖1符合題意,而圖2、圖3則不符合題意.結(jié)合這樣的圖形直觀,我們得到如下的數(shù)學(xué)推理:

    (1)當(dāng)[x0=0]時,解得[ab=1],函數(shù)[g(x)]在[(-∞, 0)]上遞減,在[(0,+∞)]上遞增,符合題意.

    (2)當(dāng)[x0>0]時,在[x∈(-∞, x0)]遞減,[x∈(x0,+∞)]遞增,所以在[x∈(-∞, x0)]有一個零點0,[g(x0)0],根據(jù)零點存在定理可得,在以[x0]和[loga2]為端點的正開區(qū)間內(nèi)必然存在一個零點,所以這樣[g(x)]就有兩個不同的零點,不符合題意.

    (3)當(dāng)[x0<0]時,在[x∈(-∞, x0)]遞減,[x∈(x0,+∞)]遞增,所以在[x∈(x0,+∞)]有一個零點0,[g(x0)0],根據(jù)零點存在定理可得,在以[x0]和[logb2]為端點的負(fù)開區(qū)間內(nèi)必然存在一個零點.這樣,[g(x)]就有兩個不同的零點,不符合題意.

    2.圖形直觀在數(shù)列中的應(yīng)用

    數(shù)列是特殊的函數(shù),圖形直觀在數(shù)列中的應(yīng)用就顯得水到渠成.

    [例2]已知數(shù)列[an],[bn]都為等差數(shù)列,數(shù)列[cn]滿足[cn=an,n為奇數(shù),bn,n為偶數(shù),][n∈N?].且對任意[n∈N?],[cn+1>cn]恒成立.求證:數(shù)列[an],[bn]的公差相等.

    分析:[an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2],[cn+1>cn]恒成立顯示[an, bn]上的點交替上升.

    已知信息:

    ①[an, bn]是關(guān)于[n]的一次函數(shù),其圖像是直線上的一系列點.

    ②[cn+1>cn]恒成立顯示[an, bn]上的點交替上升.

    不確定的和需要探索的信息:

    [d1, d2]的大小關(guān)系未定.

    根據(jù)上面的信息,我們可以畫出如下圖形.

    圖4 [d1=d2]情形? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖5 [d1

    上面的圖形直觀幫助我們初步得到如下結(jié)論:

    (1)圖4是[d1=d2]情形,符合交替上升的題意.

    (2)圖5是[d1an+8],不符合交替上升的題意.[d1>d2]情形類似.

    說明:這里的圖形是草圖,圖形繪制時需要結(jié)合我們的想象力,把盡可能多的情形繪制出來.如圖5中[bn+7>an+8],說明在無窮遠(yuǎn)處某個區(qū)間必然會有這樣的兩個點,不符合交替上升的規(guī)律.借助這樣的圖形直觀,我們有如下的數(shù)學(xué)推理.

    解:設(shè)數(shù)列[an]的公差為[d1],數(shù)列[bn]的公差為[d2] .

    ①若[d1>d2],則當(dāng)n為奇數(shù)時,

    [cn=an=a1+(n-1)d1],[cn+1=bn+1=b1+nd2],

    則當(dāng)[n>-a1+d1+b1d1-d2]時,

    [cn+1-cn=(d2-d1)n+b1+d1-a1<0],

    即[cn+1

    ②若[d2>d1],則當(dāng)n為偶數(shù)時,

    [cn=bn=b1+(n-1)d2],[cn+1=an+1=a1+nd1],

    則當(dāng)[n>-b1-d2+a1d2-d1]時,

    [cn+1-cn=(d1-d2)n+a1+d2-b1<0],即[cn+1

    綜上,[d1=d2],原命題得證.

    3. 圖形直觀在解析幾何中的應(yīng)用

    [例3]已知橢圓[x25+y2b=1]和直線[y=kx+1][(k∈R)]總有公共點,則[b]的取值范圍為.

    分析:橢圓和直線都具有明顯的圖形特征,可用數(shù)形結(jié)合去試著解決問題.

    已知信息:① [x25+y2b=1]與[x]軸的交點為[(5, 0)];

    ② [y=kx+1(k∈R)]過定點[(0,1)].

    未知和需要探索的信息:

    ① [y=kx+1(k∈R)]的斜率可以任意變化.

    ② [x25+y2b=1]與[y]軸的交點為[(0, b)],需要探求[b]的取值范圍.

    根據(jù)上面的信息,可得出如下可能的圖形.

    圖6 [0

    圖8 [15]情形

    由圖形直觀我們可以知道:圖6不符合題意,圖7至圖9符合題意,所以[b]的取值范圍為[b>1]且[b≠5].

    三、圖形直觀能力的培養(yǎng)

    認(rèn)識論、邏輯學(xué)以及心理學(xué)的研究都表明培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)圖形直觀能力有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握和應(yīng)用.那么如何培養(yǎng)學(xué)生的圖形直觀能力呢?

    1.善于利用圖形描述數(shù)學(xué)問題

    利用圖形描述數(shù)學(xué)問題,有助于學(xué)生對事物關(guān)系產(chǎn)生直接的感知與認(rèn)識.史寧中教授認(rèn)為,數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的而不是“證”出來的.所謂“看”是一種直覺判斷,這種直覺判斷建立在長期的有效能的觀察和思考的基礎(chǔ)上.例1中“函數(shù)[g(x)=f(x)-2]有且只有1個零點”用圖形描述為“函數(shù)圖像與[x]軸只有一個公共點”;例2中“[cn+1>cn]恒成立”用圖形描述為“[an, bn]上的點交替上升”.這樣的圖形描述很直觀.利用圖形描述數(shù)學(xué)問題,正是為了讓學(xué)生通過“看”形成直覺判斷.

    2.善于利用圖形理解數(shù)學(xué)問題

    數(shù)學(xué)問題一般都是以符號的形式給出的,要想解決數(shù)學(xué)問題,我們必須很好地理解數(shù)學(xué)問題.利用圖形可以幫助我們更加直觀而有效地理解題意.如上述問題“求證:數(shù)列[an],[bn]的公差相等”即“要想[an, bn]上的點總是交替上升,則必然有[d1=d2]”.于是我們聯(lián)想到了[d1

    3.善于利用圖形解決數(shù)學(xué)問題

    數(shù)形結(jié)合是直觀與抽象、感知與想象的結(jié)合.圖形在解決一些不需要寫出邏輯推理過程的數(shù)學(xué)問題中具有非常獨特的魅力.如上述中的“已知橢圓[x25+y2b=1]和直線[y=kx+1(k∈R)]總有公共點”可以理解為“直線隨便怎么畫,都要和橢圓有公共點”,所以定點[(0,1)]必須在橢圓內(nèi)或在橢圓上.

    四、誤區(qū)及反思

    正確的圖形直觀可以引導(dǎo)學(xué)生正確的解題思路,錯誤的圖形直觀必然導(dǎo)致錯誤的引導(dǎo).

    例如,在分析函數(shù)[f(x)=xex]的性質(zhì)時,通過求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)函數(shù)在[(-∞, 1)]上遞增,在[(1,+∞)]上遞減.圖形直觀表示如圖10所示.

    圖10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖11

    事實上,當(dāng)[x>0]時, [f(x)>0],上面的圖像是有問題的.當(dāng)[x→+∞,? f(x)→0+],借助數(shù)的分析我們把圖像調(diào)整為圖11所示.因為是直觀,所以我們只關(guān)注一些主要信息,漏掉了一些次要信息,導(dǎo)致我們對圖像的把握不準(zhǔn)確,所以圖形直觀的精確度是值得關(guān)注的,不同的問題要求圖形的精確度也不同.倘若上面的問題關(guān)注的是函數(shù)的最大值,那么圖10的直觀圖就足夠了.但如果是函數(shù)的零點問題,則需要用圖11的直觀圖.這就要求我們在作直觀圖時,搞清問題是什么,所以在使用圖形直觀去分析時,務(wù)必要力求圖形準(zhǔn)確,分類全面.

    [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

    [1]? 蔣海燕.中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)方略[M].濟南:山東人民出版社,2017.

    (責(zé)任編輯 黃桂堅)

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