緊扣內(nèi)角，感悟推理

林志輝 朱昭偉

【教材內(nèi)容】

人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)P69。

【緣起】

《多邊形的內(nèi)角和》是本版教材新增課例。該課教材先是給出“四邊形的內(nèi)角和是多少度？”引發(fā)思考，嘗試激活學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，提出猜想并通過(guò)剪拼、推導(dǎo)計(jì)算等方法驗(yàn)證猜想，進(jìn)而得出“四邊形的內(nèi)角和是360?！钡慕Y(jié)論。本課應(yīng)是小學(xué)階段少有的幾何推理課例，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力應(yīng)是其核心價(jià)值追求。

筆者的想法是緊扣“內(nèi)角和”，以問(wèn)題引導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“用三角形的內(nèi)角和推導(dǎo)四邊形內(nèi)角和”的探究過(guò)程，進(jìn)而將推導(dǎo)的方法推廣至“多邊形的內(nèi)角和”，并適當(dāng)感悟內(nèi)角和公式模型。

其教學(xué)目標(biāo)定位為：

（1）了解四邊形的內(nèi)角和的特征，會(huì)求多邊形的內(nèi)角和。

（2）經(jīng)歷四邊形的內(nèi)角和及多邊形內(nèi)角和的探究、推導(dǎo)過(guò)程，發(fā)展空間觀念和推理能力。

（3）感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，收獲成功的經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

【實(shí)錄】

（一）回顧舊知，喚醒經(jīng)驗(yàn)

1.圖形對(duì)比，猜想內(nèi)角

師：這是一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和是-180°。

師：猜一猜，這些圖形中，誰(shuí)的內(nèi)角和最大，誰(shuí)的內(nèi)角和最?。?/p>

師：那么，四邊形的內(nèi)角和是多少呢？

2.學(xué)情反饋，聚焦內(nèi)角

（1）測(cè)量法

師：其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題我們課前已經(jīng)做了研究，這是某某同學(xué)的作品（如下圖）。

師：你知道他是怎么說(shuō)明四邊形的內(nèi)角和的嗎？

學(xué)生回答，作品學(xué)生回應(yīng)。

（2）剪拼法

師：這里還有種方法，它可以說(shuō)明內(nèi)角和是360°嗎？（課件動(dòng)態(tài)演示）

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比圖形，反饋前測(cè)，聚焦內(nèi)角和，既明確研究的對(duì)象，又為后續(xù)探索掃除知識(shí)點(diǎn)的障礙。借助展示激活學(xué)生測(cè)量、剪拼等方法經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合課件動(dòng)態(tài)演示，為四邊形的內(nèi)角和推導(dǎo)積累感性經(jīng)驗(yàn)，還回應(yīng)了學(xué)生的思考關(guān)切?！?h3>（二）大膽探索，推理計(jì)算

1.直奔主題，推理內(nèi)角

師：那能不能直接“用三角形的內(nèi)角和是180°”來(lái)推導(dǎo)出四邊形的內(nèi)角和？學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試解答、小組交流。反饋?zhàn)髌贰?/p>

（1）反饋?zhàn)髌?師：猜猜看，他們是怎么推導(dǎo)的？

學(xué)生作答后出示算式。

（2）對(duì)比反饋?zhàn)髌?

師：你們的意思是分成兩個(gè)三角形就是內(nèi)角和180°×2=360°。那像這樣把它分成4個(gè)三角形，四邊形內(nèi)角和就是1800×4= 720°？

生：這個(gè)不對(duì)，多了中間的4個(gè)角。

生：四個(gè)三角形的內(nèi)角和是720°，但是中心點(diǎn)那里的四個(gè)角形成的周角不屬于四邊形的內(nèi)角，所以要減去。

生：這么分割也可以，只要減去不是四邊形內(nèi)角和的部分就可以了。也就是180°×4-360° =360°。

課件出示，小結(jié)方法。

師：剛才大家用兩種方法都推導(dǎo)計(jì)算出了四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：如果分割成這樣的三個(gè)三角形，你還能列式求它的內(nèi)角和嗎？

180°*3 - 180° =360°。

【設(shè)計(jì)意圖：直奔主題，引導(dǎo)學(xué)生用三角形的內(nèi)角和推導(dǎo)四邊形的內(nèi)角和。同時(shí)，圖形、算式、語(yǔ)言、直觀等形式的表征及相互間的轉(zhuǎn)換，豐厚了學(xué)生對(duì)四邊形內(nèi)角和的理解，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。多種方法的沖突、對(duì)比并走向融通，使學(xué)生對(duì)四邊形內(nèi)角和的理解更清晰、更深入、更全面、更合理?！?h4>2.推廣泛化，對(duì)比方法

（1）方法一般化

師：想象一下，是不是所有的四邊形都能這樣求出內(nèi)角和是3600呢？

①任意拉動(dòng)四邊形頂點(diǎn)（一般四邊形）進(jìn)行驗(yàn)證。②拉動(dòng)至凹四邊形驗(yàn)證。

③小結(jié)。

師：現(xiàn)在我們知道，所有的四邊形都能推導(dǎo)計(jì)算出“四邊形的內(nèi)角和是360°”。

（2）對(duì)比優(yōu)化

師：你們可真會(huì)思考。能用這樣的三種不同方法推導(dǎo)求出四邊形的內(nèi)角和是360°。那你最喜歡哪種方法？

【設(shè)計(jì)意圖：優(yōu)化凸顯了基本方法，又再次讓學(xué)生關(guān)注思考方法間聯(lián)系的異同，有利于思維更清晰?！?h3>（三）推廣歸納，拓展提升

師：剛才同學(xué)們推導(dǎo)出了四邊形的內(nèi)角和，你還想推導(dǎo)哪些多邊形的內(nèi)角和？

180°

180°*2

出示任務(wù)（學(xué)習(xí)單）。

①求出五邊形的內(nèi)角和。

②任意畫(huà)一個(gè)多邊形，求出它的內(nèi)角和。

學(xué)生獨(dú)立思考、操作，適時(shí)小組交流。

集中反饋五邊形。

（1）多類(lèi)型作品展示

師：有540°、720°、900°，五邊形的內(nèi)角和到底多少度？（2）不同方法正例反饋

師：這幾幅作品畫(huà)法都不一樣，怎么都推導(dǎo)出是5400？

生：第一種方法是分割成三個(gè)三角形進(jìn)行推導(dǎo)，第二種是分割成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形推導(dǎo)，都是可以的。

生：無(wú)論哪種方法求內(nèi)角和，只要減去不是內(nèi)角的部分就可以了。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)正例錯(cuò)例沖突、多種推導(dǎo)方法沖突，在沖突中實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的提升，促進(jìn)理解的深刻，也為下一步感悟多邊形內(nèi)角和積累了素材?！?/p>

拓展延伸。

師：現(xiàn)在已經(jīng)知道，五邊形可以分成3個(gè)三角形，它的內(nèi)角和是180°×3=540°。

師：想象一下，6邊形可以分成幾個(gè)三角形？?jī)?nèi)角和就是——180°×4=720°。

180°

180°*2

180°*3

師：像這樣分成4個(gè)三角形，內(nèi)角和就是180°×4= 720°。

師：7邊形呢？

生：分成5個(gè)三角形，180°×5。

師：10邊形呢？100邊形呢？

師：任意邊形呢？

生：只要邊數(shù)減去2乘以180°就可以了。

板書(shū)：多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°

【設(shè)計(jì)意圖：充分的數(shù)形結(jié)合，充分感受幾何推理的魅力，借助課件強(qiáng)大的數(shù)、形同步功能，讓公式模型的感悟歸納水到渠成。同時(shí)通過(guò)課件動(dòng)態(tài)直觀，結(jié)合想象，讓學(xué)生感悟到“正無(wú)窮多邊形”趨向圓的現(xiàn)象，滲透了極限思想?！?/p>

【反思】

（一）緊扣“內(nèi)角和”，感悟推理

本課始終緊扣“內(nèi)角和”，從“多個(gè)多邊形內(nèi)角和比大小”到“猜想、驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和”，到“推導(dǎo)計(jì)算四邊形內(nèi)角和”，再到“推導(dǎo)計(jì)算五邊形內(nèi)角和”，最后到“推導(dǎo)計(jì)算多邊形內(nèi)角和”，層層遞進(jìn)。前期的“猜想、驗(yàn)證”環(huán)節(jié)，契合學(xué)情、快速有效，為后續(xù)推導(dǎo)計(jì)算積累感性認(rèn)識(shí)?！巴茖?dǎo)計(jì)算四邊形內(nèi)角和”環(huán)節(jié)作為本節(jié)課的“種子”，充分的操作、全方位的沖突、高直觀的演示、方法間的勾連和對(duì)比優(yōu)化，使得學(xué)生充分感悟“四邊形的內(nèi)角和”的推理過(guò)程。五邊形的內(nèi)角和推導(dǎo)作為練習(xí)鞏固，相對(duì)于四邊形，在復(fù)雜程度上有所提升，既演練推理又促進(jìn)對(duì)內(nèi)角和的深刻理解。后續(xù)的“多邊形內(nèi)角和推導(dǎo)”則以問(wèn)題引導(dǎo)，在學(xué)生已有操作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過(guò)想象、課件直觀，讓“多邊形的內(nèi)角和”推導(dǎo)及公式模型的抽象一氣呵成。縱觀整課，可謂緊扣“內(nèi)角和”，基本不離推理。

（二）幾何畫(huà)板助推課堂

作為空間與幾何領(lǐng)域的課例，幾何畫(huà)板高直觀、高互動(dòng)、高動(dòng)態(tài)的特性在本課中表現(xiàn)得淋漓盡致。先不論“用剪拼法驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和”的動(dòng)態(tài)演示，就談幾何畫(huà)板在本課關(guān)鍵點(diǎn)和疑難點(diǎn)的關(guān)鍵作用。關(guān)鍵點(diǎn)：在四邊形內(nèi)角和推導(dǎo)計(jì)算的課件動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)，先是幾種方法動(dòng)態(tài)分割成三角形的演示，三種方法間的拉動(dòng)勾連，以及通過(guò)拉動(dòng)頂點(diǎn)變形為任意四邊形感悟方法的一般化，無(wú)一體現(xiàn)幾何畫(huà)板的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)。而在概括抽象多邊形內(nèi)角和公式這個(gè)疑難點(diǎn)，運(yùn)用迭代效應(yīng)，圖形變化從6邊形開(kāi)始，到7邊形、10邊形、100邊形，直至任意邊形，數(shù)形同步變化、完美結(jié)合，內(nèi)在關(guān)系始終不變，公式抽象水到渠成。而在迭代過(guò)程中，學(xué)生感受到了邊數(shù)趨于無(wú)窮、正多邊形趨于圓的極限思想，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，可能更有價(jià)值。