一道蘇州中考數(shù)學(xué)壓軸題的分析與思考

柳月明 (江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215100)

2020年蘇州市中考數(shù)學(xué)壓軸題(第28題，滿(mǎn)分10分)是一道動(dòng)態(tài)型綜合題，涉及的圖形有三角形、四邊形、圓，涉及的知識(shí)點(diǎn)有相似、全等、二次函數(shù)、勾股定理等，涉及的方法有面積割補(bǔ)、函數(shù)建模、以靜制動(dòng)等．此題源于課本的習(xí)題，又加入圓進(jìn)行了變化創(chuàng)新，讓學(xué)生覺(jué)得似曾相識(shí)，同時(shí)又有變化和深化，可見(jiàn)命題者獨(dú)具匠心，是一道受到師生普遍稱(chēng)贊的好題．

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線(xiàn)，A是射線(xiàn)OM上一點(diǎn)，OA=8 cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，也以1 cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng)．連結(jié)PQ，交OT于點(diǎn)B．經(jīng)過(guò)O,P,Q三點(diǎn)作圓，交OT于點(diǎn)C，連結(jié)PC,QC．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，其中0

圖1

(1)求OP+OQ的值．

(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使得線(xiàn)段OB的長(zhǎng)度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

(3)求四邊形OPCQ的面積．

2 似曾相識(shí)，意料之中

通過(guò)和課本中習(xí)題的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)此中考題主要是由課本習(xí)題改編而來(lái)．

2.1 題目來(lái)自于課本

如圖2，如果去掉圓的部分，就能發(fā)現(xiàn)該題來(lái)源于課本的三個(gè)地方：

圖2

蘇科版七下《證明》一章中的實(shí)驗(yàn)：畫(huà)∠AOB=90°并畫(huà)∠AOB的平分線(xiàn)OC．(1)把三角尺的直角頂點(diǎn)P落在OC的任意一點(diǎn)上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA,OB垂直，垂足分別為E,F(圖3)．度量PE,PF的長(zhǎng)度，這兩條線(xiàn)段相等嗎？(2)把三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角尺的兩條直角邊分別交OA,OB于點(diǎn)E,F(圖4)，PE,PF相等嗎？

圖3 圖4 圖5

蘇科版八上第二章“2.4線(xiàn)段、角的軸對(duì)稱(chēng)”中的習(xí)題2.4第11題：七年級(jí)通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得到PE=PF的結(jié)論，現(xiàn)在請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．

蘇科版八上第二章“2.5等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)”中的習(xí)題2.5第12題：如圖5，在△ABC中，

∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且AE=CF．求證：DE⊥DF．可以發(fā)現(xiàn)，圖2與上述教材中的圖3—5基本類(lèi)似．

2.2 方法來(lái)自于平常

第(1)問(wèn)，連結(jié)AC，通過(guò)證明△CQO≌△CPA即可得OP+OQ=OA=8 cm．而三角形全等是證明線(xiàn)段相等并將線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)化的常規(guī)方法．

第(2)問(wèn)，用含t的代數(shù)式表示OB，建立二次函數(shù)的模型，用二次函數(shù)的最值來(lái)求解．這也是一種常規(guī)的方法．

第(3)問(wèn)，方法一，把四邊形分割成兩個(gè)三角形△OPQ,△CPQ，即可求解．方法二，由△CQO≌△CPA，把四邊形轉(zhuǎn)化成三角形△CAO．這些轉(zhuǎn)化方法是常用的求面積的方法．

2.3 變化來(lái)自于課標(biāo)

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀(guān)、推理能力和模型思想．本題第(1)題就是考查學(xué)生的幾何直觀(guān)能力，根據(jù)圖形和已知條件直觀(guān)發(fā)現(xiàn)OP+OQ的長(zhǎng)度是一個(gè)定值．本題的第(3)題也是考查學(xué)生的幾何直觀(guān)能力，通過(guò)分割發(fā)現(xiàn)四邊形的面積是個(gè)定值．本題第(2)題通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)模型，解決變化中的最值問(wèn)題．

3 精彩在改變中

研究此中考題，發(fā)現(xiàn)命題者經(jīng)過(guò)思考進(jìn)行了適當(dāng)?shù)淖兓?，主要突出能力的考查?/p>

改變1 變旋轉(zhuǎn)為動(dòng)點(diǎn)．把三角尺的旋轉(zhuǎn)改為兩條邊上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓?，?lái)考查學(xué)生的應(yīng)變能力．

改變2 改直接證明線(xiàn)段相等為求OP+OQ的值．在問(wèn)題設(shè)問(wèn)上進(jìn)行了變化，加深了難度，進(jìn)一步考查學(xué)生的應(yīng)變能力．

改變3 加入圓．這是本題的一大亮點(diǎn)．加入圓后，圖形變得復(fù)雜了，圓中的知識(shí)可以綜合利用起來(lái)，更能考驗(yàn)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．

改變4 加入二次函數(shù)．二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的思考能力.在這里的變化中加入二次函數(shù)，可謂合理恰當(dāng)，增加一定難度，從而考查學(xué)生深入思考的能力．

4 中考復(fù)習(xí)建議

對(duì)該中考綜合題的研究分析啟示我們：在應(yīng)對(duì)中考復(fù)習(xí)時(shí)除了要注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本圖形、基本方法，還要在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，才能駕馭中考中的較難題．

4.1 以教材為本

既然題目來(lái)自于課本，就要立足課本．一是把課本上的題目弄清楚、想明白．弄清楚題目的條件和結(jié)論，想明白解題的方法和解題時(shí)涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，熟悉題目的圖形和圖形所隱含的信息．

4.2 以常規(guī)方法為要

數(shù)學(xué)方法有很多，但要注重常規(guī)方法的訓(xùn)練和掌握，比如分析與綜合、化歸、建模、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等．在平時(shí)的教學(xué)中要突出方法，在解題結(jié)束后要注意歸納方法、反思方法，做到真正掌握方法，形成有法可依的解題規(guī)律．

4.3 以深化為策

因?yàn)槭敲鎸?duì)中考，而中考中不會(huì)碰到一模一樣的題，尤其是中考的較難題，所以變化是常態(tài)的．但是變化不是憑空發(fā)生的，常常有其背景和原來(lái)的模型，而背景或模型基本來(lái)源于教材，因此要基于教材進(jìn)行深化．

·圖形深化

比如從三角形變到四邊形．三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)都是最基本的知識(shí)，但是三角形的中線(xiàn)倍長(zhǎng)之后就能和平行四邊形聯(lián)系起來(lái)，這種變換是很巧妙的，也能使問(wèn)題更加深入．例如，如圖6，△ABC中，AB=4,AC=7，M是BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，過(guò)M作MF∥AD，交AC于點(diǎn)F．求FC的長(zhǎng)．

圖6 圖7

如圖7，倍長(zhǎng)FM后構(gòu)造了FBEC和AGEF，得FC=BE,AF=GE，F(xiàn)C=AC-AF=7-AF①，BE=BG+EG=BA+EG=4+GE②．聯(lián)立①②解方程組得AF=GE=1.5,FC=5.5．

·條件結(jié)論深化

圖8

把等高三角形的面積比轉(zhuǎn)化到了底之比，利用了等腰三角形知識(shí)和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，加大了難度，深化了問(wèn)題，可以通過(guò)這樣的訓(xùn)練提高學(xué)生的解題能力．

·問(wèn)題深化

圖9

·小題組合

綜合題顧名思義就是由許多元素綜合起來(lái)組成的題目，這些元素是基本知識(shí)點(diǎn)、基本圖形、基本方法，因此平時(shí)注意對(duì)一些課本小題目的研究，找到聯(lián)系，有機(jī)組合，就可以編成綜合題，訓(xùn)練學(xué)生的綜合運(yùn)用能力．

圖10

圖11

這兩題有較多共同之處，知識(shí)點(diǎn)上都用到三角形相似的判斷及性質(zhì)和三角形面積計(jì)算方法．復(fù)習(xí)題21題進(jìn)一步加入了函數(shù)關(guān)系式及二次函數(shù)的最值，難度隨之加大．圖形方面還是在三角形、四邊形上面展開(kāi)．方法上還是常規(guī)的求面積就作高，復(fù)習(xí)題21題第(3)小題通過(guò)二次函數(shù)最值探索大小關(guān)系，是比較新穎的方法．

當(dāng)我們把這兩道題組合起來(lái)看，可以發(fā)現(xiàn)蘇州市2018年中考第27題就來(lái)源于這兩題．

(蘇州2018中考27題)如圖12，在△ABC中，AB=4，D是AB上一點(diǎn)(不與A,B重合)，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD，設(shè)△ABC的面積為S，△DEC的面積為S′．

圖12

圖13

此題的第(1)(2)問(wèn)研究了三角形的面積，涉及到相似三角形的性質(zhì)，與上面的課本習(xí)題非常相像；第(3)問(wèn)從三角形拓展到四邊形，是對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步深化，較好地考查了學(xué)生的應(yīng)變能力．

年年中考年年考，中考題目年年變，但變是基于課本、基于課程標(biāo)準(zhǔn)的，所謂百變不離其宗．因此，我們只要立足課標(biāo)、研透教材，善于在課本原有題目上進(jìn)行條件的變化、結(jié)論的變化、圖形的變化、方法的變化，就能改編出好的題目供學(xué)生思考訓(xùn)練，從而提高解題能力．