宏觀布局 微觀處理 強(qiáng)化聯(lián)系 順學(xué)而導(dǎo)
——從變化的角度賞析一堂省級(jí)展示課的教學(xué)設(shè)計(jì)

朱宸材 (江蘇省無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué) 214000)

數(shù)學(xué)變換方法有著深刻的哲學(xué)思想基礎(chǔ).辯證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是在不斷地發(fā)展變化．由于數(shù)學(xué)變換方法充分體現(xiàn)了聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)化的特點(diǎn)，它對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)研究必然是有啟發(fā)性的．前不久，江蘇省蘇州市特級(jí)教師工作室的領(lǐng)銜人耿恒考老師在鳳凰網(wǎng)數(shù)學(xué)講壇視頻直播展示了一節(jié)“全等三角形復(fù)習(xí)”的公開(kāi)課，充分展示了數(shù)學(xué)的變化之美和變化之魅，給筆者和觀看直播的觀眾留下了深刻的印象．現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行流程回顧和復(fù)盤(pán)賞析，不當(dāng)之處敬請(qǐng)指正．

1 教學(xué)設(shè)計(jì)回顧

1.1 知識(shí)回顧

問(wèn)題1請(qǐng)同學(xué)們想一想，《全等三角形》一章中，學(xué)習(xí)了哪些重要知識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生自主回顧本章重要知識(shí)點(diǎn)，教師根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行重點(diǎn)指導(dǎo)，目的在于讓學(xué)生鞏固已學(xué)知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)的能力．

問(wèn)題2如圖1，已知在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，要使△ABC≌△ADC，需要再增加一個(gè)條件是.

圖1 圖2

問(wèn)題3如果將上述條件“AC平分∠BAD”換為“∠B=∠D=90°”，如圖2，則需要增加一個(gè)條件，才能使△ABC≌△ADC.

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題雖小，但變化多樣．利用兩個(gè)簡(jiǎn)單的開(kāi)放題對(duì)本章的重點(diǎn)知識(shí)“三角形全等的幾種判定方法”進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，先從簡(jiǎn)單的變化開(kāi)始，理解滿足全等的基本條件有哪些，同時(shí)考慮如何進(jìn)行相關(guān)的組合易為學(xué)生接受，如何進(jìn)行全等證明方法方面的總結(jié)．

1.2 問(wèn)題探究

如圖3，已知C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ACM和△BCN，連結(jié)AN，BM．求證：AN=BM．(蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第一章復(fù)習(xí)題)

圖3

思考：根據(jù)本題的條件，你是否還能得出其他結(jié)論？

拓展：①如圖4，如果線段AN與BM相交于點(diǎn)O，你能知道∠BON是多少度嗎？

圖4

②若AN與CM,MB與CN分別相交于點(diǎn)D,E，連結(jié)DE，你能證明DE∥AB嗎？△CDE是等邊三角形嗎？

③延長(zhǎng)線段AM,BN交于點(diǎn)F，判斷四邊形MCNF是什么四邊形.

④如果G,H分別是線段AN,BM的中點(diǎn)，線段CG,CH的長(zhǎng)相等嗎？△CGH是等邊三角形嗎?

⑤若連結(jié)OC，則OC平分∠AOB，你知道為什么嗎？

變換：①如圖5，如果點(diǎn)C為線段AB外一點(diǎn)，△ACM，△CBN是等邊三角形，那么線段AN與BM還相等嗎？∠AOB的度數(shù)是多少？

圖5

②如圖6，若將其中一個(gè)等邊三角形ACM固定，使另一個(gè)等邊三角形CBN繞點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，則線段AN與BM還相等嗎？∠AOB的度數(shù)是多少？

圖6 圖7

③若將原題中“等邊三角形ACM和等邊三角形BCN”換成兩個(gè)正方形(圖7)，AN與BM的關(guān)系如何?若將其中正方形ACMF固定，使另一個(gè)正方形繞點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，如圖8，上述結(jié)論還能成立嗎？

圖8 圖9

④若將原題中的“等邊三角形ACM和等邊三角形BCN”換成“以AC，BC為腰，點(diǎn)C為頂點(diǎn)的等腰三角形”(圖9)，AN=BM還成立嗎？為什么？如果要成立，至少要增加一個(gè)什么條件？

設(shè)計(jì)意圖①利用一個(gè)課本習(xí)題不斷地拓展、步步深入，在推陳出新中使學(xué)生的發(fā)散思維得到訓(xùn)練，創(chuàng)新精神得到激發(fā)；②通過(guò)原題的不斷變形，感受特殊和一般的關(guān)系，體會(huì)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中的“動(dòng)中求靜”思想，學(xué)會(huì)用類(lèi)比的方法解決問(wèn)題；③通過(guò)學(xué)生自主探究，提升獨(dú)立思考和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)合作學(xué)習(xí)意識(shí)．由此，學(xué)生探究復(fù)雜問(wèn)題的能力得到提升，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不斷豐富．

1.3 感悟總結(jié)

請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲和體會(huì)？

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生暢談剛才探討問(wèn)題過(guò)程中的收獲和感受，交流個(gè)人見(jiàn)解，同時(shí)提出自己還存在的問(wèn)題和困惑，期待得到其他同學(xué)和老師的幫助．

2 復(fù)盤(pán)與賞析

2.1 變化中體現(xiàn)知識(shí)內(nèi)部聯(lián)系

一切事物都是由局部構(gòu)成的有機(jī)整體，局部與整體是密切聯(lián)系的．局部與整體的關(guān)系反映在認(rèn)識(shí)論上，不僅是辯證統(tǒng)一相互依存的，也有著自然的邏輯鏈和順序性；反映在教學(xué)策略上則是抓住問(wèn)題的主要矛盾，循序漸進(jìn)、有條不紊地推進(jìn)主題教學(xué)．面對(duì)課堂教學(xué)，我們常常有這樣的感受：過(guò)于注重局部會(huì)抓不住重點(diǎn)，而過(guò)于強(qiáng)調(diào)整體則有可能在細(xì)節(jié)上產(chǎn)生疏忽或偏差．明代思想家、軍事家王陽(yáng)明曾說(shuō):“知是行之始，行是知之成．”知行合一的教學(xué)觀才能夠解決教學(xué)中知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系問(wèn)題．基于本課，基本圖形和常見(jiàn)全等證明方法是教學(xué)的起點(diǎn)，正所謂萬(wàn)變不離其宗，找到三對(duì)符合條件的等量關(guān)系是全等證明的抓手和源頭，讓源頭活水不斷地流淌則體現(xiàn)了變化發(fā)展的教學(xué)理念，在變化中尋找解決問(wèn)題的不變思路的方法就是厘清知識(shí)內(nèi)部的邏輯聯(lián)系．所謂的內(nèi)部聯(lián)系，即教師根據(jù)本課的教學(xué)目標(biāo)，在學(xué)生的認(rèn)知水平和起點(diǎn)能力上搭建橋梁，促成目標(biāo)達(dá)成的過(guò)程．

2.2 變化中催生思維自然生長(zhǎng)

章復(fù)習(xí)課不是對(duì)整章內(nèi)容的簡(jiǎn)單重復(fù)，更重要的價(jià)值和意義應(yīng)當(dāng)是通過(guò)對(duì)知識(shí)的深入挖掘和再認(rèn)知，形成知識(shí)系統(tǒng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)能力的提升．這就需要教師精選研究的方向，小口徑地選擇研究的切入點(diǎn)，通過(guò)連點(diǎn)成線、以點(diǎn)帶面的研究方法來(lái)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)觀全局的最終目的．這也需要教師引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)步步深入的探究，分析解決成體系的問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題鏈的逐次解決，加深學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的理解和建構(gòu)，形成方法層面上的歸納和凝練，使前后知識(shí)融會(huì)貫通，不斷拓展學(xué)生思維活動(dòng)的深度和廣度.本節(jié)課的問(wèn)題探究是對(duì)常見(jiàn)問(wèn)題的不斷挖掘和發(fā)現(xiàn)過(guò)程，問(wèn)題的解決過(guò)程形成的一條知識(shí)鏈自然地串起了散落的知識(shí)點(diǎn)，而知識(shí)鏈又不斷發(fā)散，通過(guò)新得到的結(jié)論進(jìn)一步解決新的問(wèn)題，問(wèn)題解決成為學(xué)生思維自然生長(zhǎng)的動(dòng)力.這種“問(wèn)題解決—具體體驗(yàn)—探究思考—思維生長(zhǎng)”的過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)特點(diǎn)．隨著數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力不斷地提升和發(fā)展，邏輯推理和數(shù)學(xué)思維能力在變化中不斷孕育生長(zhǎng).

2.3 變化中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力

要在數(shù)學(xué)課堂上落實(shí)素養(yǎng)和能力，一個(gè)比較好的途徑是通過(guò)問(wèn)題的挖掘不斷地向縱深方向進(jìn)階，從而使思維得到發(fā)展、能力得到提升.對(duì)于問(wèn)題而言，貼近學(xué)生是最為重要的．根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的能力和水平設(shè)計(jì)適合他們研究的問(wèn)題，優(yōu)化教學(xué)的路徑，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育是十分有效的.問(wèn)題2的延伸和拓展就體現(xiàn)了以上的思路，在低起點(diǎn)、小步子、多視角、全方位的設(shè)計(jì)理念下，以基本全等三角形為載體，以圖形中數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的證明和推導(dǎo)為主線，以數(shù)學(xué)思想方法的滲透為導(dǎo)引，讓學(xué)生在問(wèn)題推進(jìn)中尋找方式方法，在答疑解惑中暴露思維過(guò)程，在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)成功的喜悅，從而真正實(shí)現(xiàn)核心能力發(fā)展的目的.以主線引領(lǐng)充滿變式的教學(xué)過(guò)程，是學(xué)生的多元思維、發(fā)散思維、創(chuàng)新思維不斷完善的過(guò)程，也是在思維活動(dòng)中培養(yǎng)并發(fā)展核心能力的過(guò)程.在本節(jié)課的教學(xué)中，執(zhí)教者最顯著的特點(diǎn)是盡量多地給學(xué)生展示解決問(wèn)題方法的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在思考、合作、表達(dá)、展示的過(guò)程中提高對(duì)全等三角形整章內(nèi)容的理解，自然也能從更高的視角俯視已學(xué)知識(shí)，生成新的內(nèi)容和思考．本課的核心之處是發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，顯然從特殊到一般的教學(xué)安排，及歸納和演繹兩方面的訓(xùn)練，使學(xué)生的“四能”得到有效的鍛煉.“知終才能明始，回望方能明理”，學(xué)生在解決問(wèn)題后的再回顧，讓問(wèn)題解決的思路更加明晰，反思與建構(gòu)發(fā)揮更大的作用，不知不覺(jué)間其數(shù)學(xué)素養(yǎng)和理性精神被喚醒，最終讓數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)成為可能.

3 感悟與收獲

章節(jié)復(fù)習(xí)課不是知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單累積，它的重要價(jià)值是在系統(tǒng)思維指導(dǎo)下，對(duì)本單元知識(shí)(數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)等)進(jìn)行歸納整理，使之條理化、結(jié)構(gòu)化、關(guān)聯(lián)化、整體化，幫助學(xué)生形成本單元的知識(shí)鏈條和結(jié)構(gòu)體系.基于以上理念，本課從以下三個(gè)方面進(jìn)行了探索和實(shí)踐.

3.1 宏觀布局，微觀處理

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)滲透數(shù)學(xué)思想，提高整體認(rèn)知.教師要關(guān)注知識(shí)異同方面的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，在從宏觀上建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的同時(shí)，在微觀上進(jìn)行有效實(shí)施.于是，作為復(fù)習(xí)課的一次嘗試，本課的一大特點(diǎn)是注重在整體建構(gòu)下的微觀實(shí)施.問(wèn)題研究伊始，每一個(gè)拓展過(guò)程都是一個(gè)微操作過(guò)程，在保持主問(wèn)題不變的前提下，加入新條件進(jìn)行研究，新結(jié)論不斷產(chǎn)生，得到的系列結(jié)論又成為后面問(wèn)題的條件，進(jìn)而再探究、再發(fā)現(xiàn)，循環(huán)往復(fù).這樣的好處在于，通過(guò)精巧細(xì)致的騰挪旋轉(zhuǎn)，問(wèn)題的研究越來(lái)越走向豐富和全面系統(tǒng)，作為研究工具的全等三角形的價(jià)值屬性被自然凸顯.微觀處理的一大特點(diǎn)在于細(xì)節(jié)處的精妙變化，如同一位高超的鋼琴大師，在完整樂(lè)譜的指引下，雙手不斷地在琴鍵間跳動(dòng)飛舞，彈奏出一曲動(dòng)人的樂(lè)章，令人陶醉，引人入勝，發(fā)人深省.

3.2 整體視角，強(qiáng)化聯(lián)系

數(shù)學(xué)的整體性并非整章知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單堆砌．要做到整體視角，首先要對(duì)全章的內(nèi)容了如指掌，知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)部關(guān)聯(lián)更應(yīng)當(dāng)是了然于胸．在整體與部分之間和部分與整體之間，架設(shè)起前后關(guān)聯(lián)的橋梁．橋梁的鋪設(shè)既要關(guān)注知識(shí)點(diǎn)間的前后邏輯聯(lián)系，也要關(guān)注橫向和縱向的關(guān)聯(lián)，做到整體視角下的內(nèi)部緊密關(guān)聯(lián)．本節(jié)課的核心出現(xiàn)在問(wèn)題探究環(huán)節(jié)，雖然問(wèn)題的原型僅有一例，還來(lái)自于教材，但問(wèn)題挖掘過(guò)程中的思維含金量和問(wèn)題串的設(shè)計(jì)遵循了逐問(wèn)展開(kāi)、逐層深入、逐題解析、逐步揭示的流程，水到渠成地完成了系列探究任務(wù)，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)整體性理解的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo).從整堂課問(wèn)題的設(shè)計(jì)可以看到，設(shè)計(jì)思路和問(wèn)題延伸體現(xiàn)了既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森林的特點(diǎn)，在強(qiáng)化內(nèi)部聯(lián)系性的同時(shí)，突出了教學(xué)過(guò)程的靈活性，在深化全等三角形知識(shí)的同時(shí)，進(jìn)一步找到了解決全等問(wèn)題的思路和線索，也給學(xué)生今后研究此類(lèi)問(wèn)題指明了方向.另外從課堂觀察中也發(fā)現(xiàn)，教師每提出一個(gè)新的問(wèn)題，學(xué)生在解決的同時(shí)不是簡(jiǎn)單的就題論題式地解答，而是從中歸納出解決一類(lèi)問(wèn)題的通性通法.這樣的好處在于，當(dāng)學(xué)生遭遇本節(jié)課沒(méi)有研究到的問(wèn)題時(shí)，也能用所學(xué)的知識(shí)和方法嘗試解決，他們?cè)诠餐杏?、形成共識(shí)、找到方法的過(guò)程中，內(nèi)化吸收、整體構(gòu)建，為后續(xù)問(wèn)題的深入研究提供了可以借鑒的方法.同時(shí)，教師這樣的處理方式，即使面對(duì)能力層次有差異的不同學(xué)生，也能由易到難娓娓道來(lái)，收放自如．

3.3 順學(xué)而導(dǎo)，注重交流

教學(xué)是一門(mén)技術(shù)，需要教師潛心研究，指導(dǎo)學(xué)生不斷鉆研；教學(xué)又是一門(mén)藝術(shù)，需要教師順學(xué)而導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生合作交流.復(fù)習(xí)課的教學(xué)也應(yīng)當(dāng)遵循教學(xué)的基本規(guī)律.教師的教本質(zhì)上是為學(xué)生的學(xué)服務(wù)的，為學(xué)生在疑難之處進(jìn)行適當(dāng)?shù)臓恳⒅笇?dǎo)，潤(rùn)物無(wú)聲中“鋪路搭橋”，不失為一種推動(dòng)思維走向深入的好辦法.不難發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中第二問(wèn)變化中的①②兩題，在原型問(wèn)題中稍加旋轉(zhuǎn)，一方面體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)的思想，另一方面在新結(jié)論的探究中顯得自然不突兀，為學(xué)生進(jìn)行交流合作解決③④兩問(wèn)提供了可能.當(dāng)學(xué)生在處理③④問(wèn)的變化遇到困難時(shí)，執(zhí)教者讓學(xué)生通過(guò)讀題找到困惑之處，通過(guò)類(lèi)比分析、小組合作等方式尋找突破口，使學(xué)生體會(huì)到解決復(fù)雜問(wèn)題的常用方法，為今后解決類(lèi)似的幾何問(wèn)題積累了經(jīng)驗(yàn).順“認(rèn)知規(guī)律”而導(dǎo)，以“數(shù)學(xué)思維”為變，從問(wèn)題解決中促進(jìn)對(duì)核心概念的理解，在交流和合作中拓展學(xué)生思維的深度和廣度.

波利亞認(rèn)為，教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)一個(gè)并不算特別復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題的講解，去挖掘問(wèn)題涉及的各個(gè)方面，問(wèn)題的研究如同給學(xué)生打開(kāi)了一扇窗戶(hù)，帶他們進(jìn)入了一個(gè)完整的研究領(lǐng)域．案例研究可以使優(yōu)秀教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)得到傳承和分享，使個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)成為群體的共同財(cái)富．對(duì)于年輕教師而言，專(zhuān)家的課堂是最好的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)助推器．耿恒考老師充分挖掘全等三角形的本質(zhì)，通過(guò)研討、思辨，從教材習(xí)題出發(fā)，深入挖掘教材、全面認(rèn)識(shí)教材，讓學(xué)生深層次地體驗(yàn)教材，深入地理解全等三角形的本質(zhì)，更重要的是帶給每一位聽(tīng)課教師關(guān)于實(shí)踐的思考．意大利思想家羅塔克曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“學(xué)生不是一個(gè)需要填充的木桶，而是一顆需要點(diǎn)燃的火種．”數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不同于新授課，本課中問(wèn)題鏈的研究也不是知識(shí)與方法的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是通過(guò)從課本原型出發(fā)的整體建構(gòu)過(guò)程，來(lái)實(shí)現(xiàn)全等三角形的知識(shí)點(diǎn)重現(xiàn)，真正落實(shí)了數(shù)學(xué)教學(xué)的核心——“讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考”．