一節(jié)意外生成的數(shù)學(xué)課

崔豪東 (江蘇省南京市溧水區(qū)第一初級(jí)中學(xué) 211200)

課堂是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，無(wú)論教師課前準(zhǔn)備多充分，預(yù)設(shè)多完美，課堂也未必會(huì)按照預(yù)設(shè)的教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行．課堂常常會(huì)和“意外”邂逅，面對(duì)“意外”，教師要開(kāi)啟教育智慧，發(fā)現(xiàn)這些“意外”的價(jià)值，挖掘其背后的教學(xué)資源，讓“意外”在課堂“開(kāi)花”．

1 “精心”的預(yù)設(shè)

在學(xué)完蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“2.4絕對(duì)值和相反數(shù)”后，學(xué)生對(duì)絕對(duì)值的概念及其性質(zhì)有了初步認(rèn)識(shí)，但學(xué)生對(duì)絕對(duì)值的認(rèn)識(shí)還只是局限在代數(shù)運(yùn)算層面，并不能從絕對(duì)值的概念中領(lǐng)悟絕對(duì)值的深層內(nèi)涵，對(duì)絕對(duì)值的認(rèn)識(shí)還未上升到絕對(duì)值幾何意義的高度．于是，筆者準(zhǔn)備上一節(jié)絕對(duì)值的幾何意義專(zhuān)題課，旨在提升學(xué)生對(duì)絕對(duì)值的距離內(nèi)涵的深層認(rèn)識(shí)．課前，筆者作了充分的準(zhǔn)備，設(shè)計(jì)好教學(xué)環(huán)節(jié)，選好典型例題和針對(duì)練習(xí)，用心制作PPT課件，悉心編制課堂學(xué)習(xí)單．筆者預(yù)設(shè)的課堂教學(xué)分三個(gè)環(huán)節(jié)：概念學(xué)習(xí)，典例精析，鞏固練習(xí)．

2 短暫的“順利”

課上第一環(huán)節(jié)是概念學(xué)習(xí)，筆者提出了以下三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：|-2|，|5-0|和|-3-0|分別表示數(shù)軸上哪兩個(gè)點(diǎn)之間的距離？

問(wèn)題2：|4-2|和|-3-(-2)|分別表示數(shù)軸上哪兩個(gè)點(diǎn)之間的距離？

問(wèn)題3：|a-b|表示數(shù)軸上哪兩個(gè)點(diǎn)之間的距離？(絕對(duì)值的幾何意義)

學(xué)生通過(guò)自主思考和合作交流得出|a-b|指的是數(shù)軸上表示a的點(diǎn)與表示b的點(diǎn)之間的距離，掌握了絕對(duì)值的幾何意義．

課上第二環(huán)節(jié)，筆者出示例1：利用絕對(duì)值的幾何意義，求|x-1|+|x-3|的最小值．

題目出示后，學(xué)生迅速拿起筆進(jìn)入思考狀態(tài)．最先舉手的是生1，筆者讓她來(lái)講臺(tái)上展示自己的結(jié)果，她一邊畫(huà)圖一邊說(shuō)道：“我畫(huà)了數(shù)軸，在數(shù)軸上標(biāo)出表示1和3的兩個(gè)點(diǎn)，分別記為A和B，把表示x的點(diǎn)記為P．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，|x-1|+ |x-3|=PA+PB=AB=2；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，|x-3|=PB>2，|x-1|+|x-3|>2；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，|x-1|=PA>2，|x-1|+|x-3|>2．所以|x-1|+|x-3|的最小值是2．”她的思路很清晰，表達(dá)也非常準(zhǔn)確．她的話(huà)音剛落，黑板上已經(jīng)呈現(xiàn)出圖1．

圖1

學(xué)生們對(duì)生1投以贊許的目光，當(dāng)她走下講臺(tái)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)有學(xué)生默許地點(diǎn)點(diǎn)頭，還有學(xué)生忍不住感嘆道“哦”“我會(huì)了”“原來(lái)如此”……

3 突來(lái)的“意外”

課堂看似很順利，一直按照筆者的預(yù)設(shè)進(jìn)行著．在絕大多數(shù)學(xué)生理解了例1后，筆者準(zhǔn)備出示例2，突然，“意外”發(fā)生了．一個(gè)聲音出現(xiàn)了，這聲音來(lái)自生2，他說(shuō)：“老師，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，|x-2|的最小值是0，在x=2時(shí)|x-2|=0．所以說(shuō)|x-1|+ |x-2|+|x-3|有最小值，最小值是0+2=2，在x=2時(shí)有最小值．”生2的話(huà)贏得了全班的一致贊同．筆者對(duì)課堂上出現(xiàn)這樣的回答有些震驚，看來(lái)筆者的課前預(yù)設(shè)太粗淺．

但這場(chǎng)“意外”為絕對(duì)值幾何意義的深層學(xué)習(xí)提供了很好的契機(jī)．好吧，那我們就來(lái)個(gè)“深入虎穴”，把“意外”之效放大、變強(qiáng)！“要是4個(gè)絕對(duì)值、5個(gè)絕對(duì)值的和呢？是不是也有最小值呢？”筆者問(wèn)道．

圖2

x

P

然后生3接著說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn)P在A，D兩點(diǎn)之間時(shí) |x-1|+|x-4|有最小值3，當(dāng)點(diǎn)P在B，C兩點(diǎn)之間時(shí)|x-2|+|x-3|有最小值是1，所以|x-1|+ |x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值，最小值是 1+3=4，在x介于2和3之間時(shí)有最小值．”

圖3

生4繼續(xù)說(shuō)道：“以|x-1|+|x-2|+|x-3|+ |x-4|+|x-5|為例，在數(shù)軸上依次標(biāo)出表示1，2，3，4，5的點(diǎn)，分別記為A，B，C，D，E，把表示x的點(diǎn)記為P．當(dāng)點(diǎn)P在A，E兩點(diǎn)之間時(shí)|x-1|+ |x-5|有最小值4，當(dāng)點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)之間時(shí) |x-2|+|x-4|有最小值是2，當(dāng)點(diǎn)P在C處也就是x=3時(shí)|x-3|有最小值0．所以|x-1|+ |x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值是0+2+4=6．”

“好像有規(guī)律”，有學(xué)生似乎發(fā)現(xiàn)了什么．

“要是99個(gè)絕對(duì)值、100個(gè)絕對(duì)值的和呢？是不是也有最小值呢？”筆者繼續(xù)把“意外”之效推向深入．

“如果有99個(gè)絕對(duì)值相加，那么它們的和也是有最小值的．以|x-1|+|x-2|+…+|x-99|為例，在數(shù)軸上依次標(biāo)出表示1，2，3，…，99的點(diǎn)，99是一個(gè)奇數(shù)，最中間的點(diǎn)是表示50的點(diǎn)，當(dāng)x=50時(shí)，|x-1|+|x-2|+…+|x-99|取得最小值”，一向不愛(ài)說(shuō)話(huà)的生5居然開(kāi)口了，而且從言語(yǔ)之中能夠感受到他的自信．

“如果有100個(gè)絕對(duì)值相加呢？|x-1|+ |x-2|+…+|x-100|有最小值嗎？”又有學(xué)生提出疑問(wèn)．

“有最小值．在數(shù)軸上依次標(biāo)出表示1，2，3，…，100的點(diǎn)，100是一個(gè)偶數(shù)，最中間的兩個(gè)點(diǎn)是表示50和51的點(diǎn)，當(dāng)x介于50和51之間時(shí)，|x-1|+ |x-2|+…+|x-100|取得最小值”，坐在最后一排的生6竟有此感悟．

“求幾個(gè)絕對(duì)值的和的最小值，如果有奇數(shù)個(gè)絕對(duì)值，那么當(dāng)x取正中間的數(shù)值時(shí)，絕對(duì)值的和最??；如果有偶數(shù)個(gè)絕對(duì)值，那么當(dāng)x介于正中間兩個(gè)數(shù)之間(含這兩個(gè)數(shù))時(shí)，絕對(duì)值的和最小．”學(xué)生們經(jīng)過(guò)討論得出了一致結(jié)論．

看到孩子們的集體成果，筆者雖然非常意外，因?yàn)檫@完全超出了預(yù)設(shè)，但是內(nèi)心深處卻是非常喜悅．

4 深刻的“教訓(xùn)”

課后，筆者回顧這次“意外”課堂的整個(gè)過(guò)程，并進(jìn)行深深的反思．雖然沒(méi)有完成課前預(yù)設(shè)的教學(xué)內(nèi)容，例2沒(méi)有來(lái)得及講，更沒(méi)有針對(duì)性練習(xí)，上了一節(jié)結(jié)構(gòu)不完整的課，但換個(gè)角度思考，這節(jié)課巧借“意外”，使課堂乘著“意外”之風(fēng)破浪前行．

當(dāng)課堂和“意外”邂逅，教師要借“意外”之契機(jī)，將課堂推向深入，讓“意外”在課堂“開(kāi)花”．這是這次“意外”課堂給筆者帶來(lái)的深刻“教訓(xùn)”．