數(shù)學(xué)抽象視角下的高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容分析
——以《三角函數(shù)》一章為例

徐恩佳 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴(lài)的最重要的基本思想也就是抽象”．[1]數(shù)學(xué)抽象反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，它包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的聯(lián)系，以及從事物與事物之間的聯(lián)系、事物內(nèi)部要素之間的聯(lián)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征．[2]數(shù)學(xué)抽象同時(shí)也作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，占據(jù)著十分重要的地位．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下文簡(jiǎn)稱(chēng)《新課標(biāo)》)中指出教材編寫(xiě)應(yīng)“在數(shù)學(xué)內(nèi)容的表述中體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，編寫(xiě)出數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融為一體的教材．”[3]數(shù)學(xué)教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的重要教學(xué)資源，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體．基于此，本文將著眼于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，對(duì)依據(jù)《新課標(biāo)》編寫(xiě)的人教A版高中數(shù)學(xué)新教材中《三角函數(shù)》這一章節(jié)內(nèi)容展開(kāi)分析，探討相關(guān)教材內(nèi)容與數(shù)學(xué)抽象的吻合性，以期能為教材編寫(xiě)落實(shí)核心素養(yǎng)及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供借鑒與啟示．

1 研究設(shè)計(jì)

1.1 研究對(duì)象

函數(shù)是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具來(lái)描述客觀(guān)世界中的變量關(guān)系和規(guī)律，因此函數(shù)具有典型的抽象性特征．本研究選取函數(shù)主線(xiàn)下的必修一第五章《三角函數(shù)》，對(duì)相關(guān)教材內(nèi)容進(jìn)行具體分析．《新課標(biāo)》中對(duì)三角函數(shù)這一章節(jié)的內(nèi)容要求是：“借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會(huì)引入弧度制的必要性……利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題．”本章結(jié)構(gòu)框架如圖1所示．

圖1 三角函數(shù)教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖

1.2 分析思路

《新課標(biāo)》指出數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)主要有四種表現(xiàn)形式：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、提出數(shù)學(xué)命題和模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系．朱立明在學(xué)科核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)構(gòu)建中提出數(shù)學(xué)抽象具有概念獲取、符號(hào)表征、通性通法創(chuàng)造、特征概括等形式[4]．駱洪才等人認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)形式有層次性、模型化、理想化、形式化和符號(hào)化等．其中“模型化”具體表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)內(nèi)容模型化的結(jié)果，通過(guò)經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)約化和數(shù)學(xué)化的抽象過(guò)程，提取共同信息和本質(zhì)特征，從而提煉、概括、形成形式化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也即數(shù)學(xué)模型；二是數(shù)學(xué)模型的可遷移性，即利用該模型進(jìn)行一般化的實(shí)踐應(yīng)用，在應(yīng)用的過(guò)程中進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，感知其本質(zhì)特征，以達(dá)到靈活運(yùn)用的水平．“理想化”就是運(yùn)用思維抽象的力量創(chuàng)造出理想的客體，如數(shù)學(xué)中所理解的點(diǎn)、線(xiàn)、面就是理想化的基本概念，在現(xiàn)實(shí)生活中是找不到的，這是一種更為深刻和高層次的抽象表現(xiàn)．[5]結(jié)合上述內(nèi)容并借鑒有關(guān)分析框架，本研究將以獲得數(shù)學(xué)概念和形式、數(shù)學(xué)模型化與理想化、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系和形成數(shù)學(xué)方法與思想4個(gè)方面作為教材內(nèi)容的分析維度[6]．

2 教材內(nèi)容分析結(jié)果

2.1 獲得數(shù)學(xué)概念和形式

數(shù)學(xué)概念是抽象的重要產(chǎn)物之一，且概念知識(shí)本質(zhì)的提取過(guò)程也反映了數(shù)學(xué)抽象邏輯性、層次性的發(fā)展過(guò)程．史寧中將數(shù)學(xué)抽象劃分為三個(gè)階段：一是簡(jiǎn)約階段，即把握事物的本質(zhì)，把繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化表達(dá)；二是符號(hào)階段，即去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的事物在內(nèi)的一類(lèi)事物；三是普適階段，即通過(guò)假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般的意義上解釋具體事物．[1]在教材的章引言部分，介紹了許多現(xiàn)實(shí)生活中周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，使學(xué)生體會(huì)圓周運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)實(shí)背景．進(jìn)一步引到單位圓上點(diǎn)P的圓周運(yùn)動(dòng)，給出任意角和弧度制等預(yù)備知識(shí)．接下來(lái)是三角函數(shù)概念形成的抽象過(guò)程，具體如下：

·簡(jiǎn)約階段

為表示點(diǎn)P的位置變化情況，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線(xiàn)OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系(圖2)，射線(xiàn)OA從x軸的非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，終止位置為OP．這一階段是從真實(shí)的情境轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)情境，是數(shù)學(xué)抽象過(guò)程的第一步也是最重要的一步，其關(guān)鍵在于將單位圓置于直角坐標(biāo)系之中．這不僅以簡(jiǎn)馭繁，抓住了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，并且也為進(jìn)一步的研究打下基礎(chǔ)．

圖2

·符號(hào)階段

·普適階段

2.2 數(shù)學(xué)模型化與理想化

教材中的“數(shù)學(xué)模型化和理想化”包括數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或模型形成的抽象過(guò)程和數(shù)學(xué)模型的遷移應(yīng)用兩個(gè)方面．針對(duì)三角函數(shù)概念的形成，教材設(shè)置了三個(gè)探究活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷完整的抽象過(guò)程，以獲得數(shù)學(xué)模型[7]．具體如下：

如圖5.2-1，單位圓上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況．

探究2：一般地，任意給定一個(gè)角α，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？

引入部分是將具體實(shí)例轉(zhuǎn)化為抽象情境，即利用直角坐標(biāo)系探究圓周運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置變化情況，并通過(guò)探究1、2的計(jì)算結(jié)果及分析概括最終得到三角函數(shù)的嚴(yán)格定義和形式化表達(dá)．這樣就形成了“具體實(shí)例—共同特征—概念符號(hào)—性質(zhì)與應(yīng)用”的基本模式[8]．而設(shè)置探究3的目的是為了與已有知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系與區(qū)別，以豐富和深化三角函數(shù)的概念．教材先利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)，再與初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)進(jìn)行異同點(diǎn)比較，其目的在于明確兩者雖然在計(jì)算結(jié)果上保持一致，但并不是簡(jiǎn)單的拓展與延伸的關(guān)系，其本質(zhì)差別在于初中所學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)屬于“幾何量定義法”，它所討論的是三角形各種幾何量之間的函數(shù)關(guān)系；而任意角的三角函數(shù)屬于“坐標(biāo)定義法”，它是研究現(xiàn)實(shí)中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來(lái)的一個(gè)周期函數(shù)[9]．

在三角函數(shù)的應(yīng)用部分，以我國(guó)古代發(fā)明的水利灌溉工具筒車(chē)為背景，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，利用筒車(chē)運(yùn)動(dòng)規(guī)律建立形如y=Asin(ωx+φ)的三角函數(shù)模型．該數(shù)學(xué)模型具有可遷移性，既可解決理想化的周期運(yùn)動(dòng)變化一類(lèi)問(wèn)題，如摩天輪、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、交變電流問(wèn)題等，也可用于近似地表示溫度變化、潮起潮落等現(xiàn)實(shí)生活中的周期變化特點(diǎn)．

2.3 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系

從整體上來(lái)看，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)一章之前所學(xué)的是函數(shù)的概念與性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，這樣集中安排函數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)有利于函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用、函數(shù)知識(shí)的系統(tǒng)構(gòu)建；從章節(jié)內(nèi)部來(lái)看，教材是按照“背景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”的邏輯呈現(xiàn)，通過(guò)波動(dòng)、簡(jiǎn)諧振動(dòng)等典型而豐富的周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)變化進(jìn)行引入，讓學(xué)生感知周期變化的普遍存在，以說(shuō)明研究三角函數(shù)的必要性，這是“來(lái)龍”；將抽象的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中以解決周期運(yùn)動(dòng)一類(lèi)的問(wèn)題，這是“去脈”，同時(shí)三角函數(shù)也是后續(xù)研究幾何問(wèn)題的重要工具．這樣的編排方式有利于形成數(shù)學(xué)知識(shí)縱向和橫向的完整結(jié)構(gòu)，既符合學(xué)科知識(shí)邏輯，又關(guān)注到了學(xué)生的心理發(fā)展，與學(xué)生能力發(fā)展的漸進(jìn)性和持續(xù)性相一致，有利于學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程中抽象出基本規(guī)律和一般方法，明白知識(shí)的來(lái)龍去脈，構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系．

2.4 形成數(shù)學(xué)方法與思想

數(shù)學(xué)方法與思想的形成既是抽象的重要產(chǎn)物，又有助于對(duì)抽象過(guò)程的理解，兩者是相輔相成的．在三角函數(shù)定義形成的過(guò)程中體現(xiàn)了抽象與概括、特殊與一般、對(duì)應(yīng)等思想；在利用“單位圓”這一腳手架推導(dǎo)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的過(guò)程中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、對(duì)稱(chēng)性與不變性的思想．教材在呈現(xiàn)三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)，是從概念中要素的關(guān)系、概念間的聯(lián)系到與其他知識(shí)的聯(lián)系，循序漸進(jìn)的編排方式有助于學(xué)生自然地理解借助幾何直觀(guān)、從特殊到一般的基本過(guò)程；且在三角函數(shù)公式的推導(dǎo)和證明中都用到了單位圓，反復(fù)利用的目的在于形成一般化的研究路徑和研究方法，使學(xué)生體會(huì)理解基本的知識(shí)形成過(guò)程及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的方法和著眼點(diǎn)，培養(yǎng)鍛煉應(yīng)用的能力、邏輯推理的能力、想辦法的能力．[10]在函數(shù)模型y=Asin(ωx+φ)的應(yīng)用中也滲透了建模的思想方法．

3 思考與建議

從數(shù)學(xué)抽象的4種表現(xiàn)形式對(duì)三角函數(shù)一章的內(nèi)容具體分析后發(fā)現(xiàn)，教材較好地落實(shí)了《新課標(biāo)》對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的要求．主要集中體現(xiàn)在：設(shè)置逐級(jí)抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容以使學(xué)生在探究之中獲得數(shù)學(xué)概念及簡(jiǎn)約化、一般化的形式表征；整體性的編排將單元內(nèi)部各元素間、外部單元間等有機(jī)聯(lián)結(jié)，有利于構(gòu)建有邏輯的完整知識(shí)樣態(tài)．但教材仍有改進(jìn)之處：其一，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用問(wèn)題仍是以數(shù)學(xué)情境為主，需加強(qiáng)與其他知識(shí)、學(xué)科和社會(huì)生活之間的關(guān)聯(lián)；其二，教材在傳遞數(shù)學(xué)方法與思想的基礎(chǔ)上，對(duì)于提供鍛煉和發(fā)展數(shù)學(xué)探究、遷移創(chuàng)新能力的機(jī)會(huì)需進(jìn)一步加強(qiáng)，如增加不同難易程度的綜合性實(shí)踐活動(dòng)或結(jié)構(gòu)不良、答案不唯一的開(kāi)放性習(xí)題等．基于上述分析，下面針對(duì)教材內(nèi)容也給出相應(yīng)的培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)建議．

3.1 深化數(shù)學(xué)概念認(rèn)知以涵育抽象思維素養(yǎng)

抽象和概括是獲得數(shù)學(xué)概念的主要思維方式，概念教學(xué)則是培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要路徑．?dāng)?shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)包括觀(guān)察客觀(guān)現(xiàn)象并提出研究問(wèn)題，通過(guò)比較、概括等方式提取事物的本質(zhì)特征，在抽象形成必要的概念基礎(chǔ)之上探索事物的內(nèi)在規(guī)律，應(yīng)用定理、性質(zhì)等解決問(wèn)題；在此基礎(chǔ)上，應(yīng)著力深化學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵與知識(shí)意義的認(rèn)知，促使概念知識(shí)和思維能力進(jìn)一步升華為抽象思維素養(yǎng)．[11]因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)上，主題式單元課程設(shè)計(jì)一方面可以體現(xiàn)概念學(xué)習(xí)的基本路徑，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的全方面認(rèn)識(shí)，形成完整的概念知識(shí)脈絡(luò)；另一方面，也可促進(jìn)學(xué)生基本經(jīng)驗(yàn)的形成與積累，包括概念學(xué)習(xí)的必要經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)抽象過(guò)程的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

3.2 豐富模型應(yīng)用情境以提升抽象概括能力

基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)應(yīng)重視情境的創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題的提出，因?yàn)樵O(shè)計(jì)情境和提出問(wèn)題的目的是啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生有效參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)．在課堂教學(xué)中，除了提供數(shù)學(xué)情境以及教材所給的問(wèn)題情境外，可以設(shè)計(jì)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)相吻合的個(gè)人情境、反映時(shí)代氣息的社會(huì)情境以及與其他學(xué)科融合的科學(xué)情境下的問(wèn)題等，以豐富學(xué)生的模型應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，提高靈活應(yīng)用的水平；也可考慮設(shè)置相互之間具有聯(lián)系、相互統(tǒng)領(lǐng)的問(wèn)題情境背景以增強(qiáng)內(nèi)容間的關(guān)聯(lián)性．在實(shí)踐中，學(xué)生需要將新情境、新問(wèn)題與已學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型后加以解決.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的抽象概括能力能得到充分鍛煉，也可進(jìn)一步培養(yǎng)其綜合應(yīng)用、實(shí)踐探究的能力．

3.3 訓(xùn)練抽象思維以發(fā)展探究意識(shí)和創(chuàng)新精神

近年來(lái)高考日益重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科思維的考查，探究性問(wèn)題成為常見(jiàn)的考查方式之一，其主要目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否在問(wèn)題解決中抓住所用方法的本質(zhì)，進(jìn)行拓展延伸，從而有所創(chuàng)新．探究性問(wèn)題的解決能有效地訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維，因?yàn)榫C合利用所學(xué)知識(shí)和技能對(duì)不同情境下的復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行概括探究的過(guò)程，也是抽象思維不斷強(qiáng)化的過(guò)程．在探究活動(dòng)中充分思考、合理設(shè)問(wèn)、主動(dòng)探索，能激活學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，也有助于創(chuàng)造能力的形成．教師在傳遞數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生理性思維的基礎(chǔ)上，還需進(jìn)一步提供創(chuàng)造性、開(kāi)放性的探究學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)以提高學(xué)生思維的創(chuàng)新性和靈活性．