高中數(shù)學教學中抽象能力的培養(yǎng)*

王紅芳 魏志英 (江蘇省沙溪高級中學 215421)

在高中數(shù)學的教學過程中，教師特別需要關注學生抽象能力的培養(yǎng)．本文從四個方面對該能力的理解和實施進行探討．

1 數(shù)學抽象的深度建立

在概念理解過程中，需要關注理解的深度.理解深度與理論落實息息相關.數(shù)學抽象應當超越既有經(jīng)驗，自深度角度對數(shù)學內(nèi)容展開研究.數(shù)學抽象特點體現(xiàn)在多個層次，表現(xiàn)的是符號化及形式化內(nèi)容，其結(jié)果具有可靠性．

案例1三角函數(shù)的概念．

人教A版教材從一個引例開始：單位圓上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個數(shù)學模型，刻畫點P的位置變化情況．

教材把單位圓放在直角坐標系中，把射線OA從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，到OP位置終止，研究角α取一些特殊角時點P的坐標，意在揭示結(jié)論：對于任意給定一個角α，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標能唯一確定，進而得出點P的橫、縱坐標均為角α的函數(shù)，隨即給出了三角函數(shù)定義．

應該說，教材這樣編寫凸顯了角變化中的函數(shù)特征，并包含有問題探究環(huán)節(jié)，但是不易為多數(shù)學生所理解．僅是這樣開展教學，從發(fā)展學生思維來衡量顯然是有所欠缺的，需要教師依據(jù)學生原有的認知去設計相應的問題，幫助學生明白這個抽象性比較強的“任意角”．為此，在教學設計時，應把特殊的角α推廣到一般情形，即一般情況下如何用角α表示點P的坐標？可以引導學生先著手研究角α為銳角的情形，再推廣到鈍角和終邊在第三象限、第四象限的角等其他一般情形，使學生能夠借助初中學習的直角三角形的邊角關系來探索研究．這樣，不僅可以引發(fā)學生思辨、形成協(xié)作探究的教學氛圍，更能把新舊知識進行有機整合，形成完整的知識鏈，突破對于任意角的三角函數(shù)的概念理解和坐標表示．基于這些特點，數(shù)學抽象的教育教學價值可體現(xiàn)在以下幾個方面．

首先，是認知數(shù)學抽象知識發(fā)展史.學生研究數(shù)學發(fā)展史能對數(shù)學有深刻認識，建立對數(shù)學抽象知識的認知．數(shù)學抽象自古希臘時期提出，古代哲學家將抽象作為數(shù)學研究對象，現(xiàn)階段，數(shù)學家強調(diào)數(shù)學知識學習應當在經(jīng)驗基礎上對事物有抽象認識，可作為生活中的抽象．在符號論證基礎上再認知為數(shù)學抽象，可見數(shù)學抽象無法完全脫離生活，高中數(shù)學抽象是兩者的有機結(jié)合．

其次，數(shù)學抽象可促進人的成長.數(shù)學抽象是人利用數(shù)學思維進行抽象的過程，在此過程中人的數(shù)學抽象思維本領得以培養(yǎng).數(shù)學抽象也是核心素養(yǎng)中的關鍵，有利于培養(yǎng)學生能力．

最后，數(shù)學抽象認知機制中，從經(jīng)驗角度出發(fā)，自形象角度對生活對象進行數(shù)學研究，并認為自形象過渡到抽象后數(shù)學抽象得以完成，但學生在學習過程中的心理變化還需要教師不斷研究．部分群體認為心理認知角度涵蓋不同階段，比如，知覺抽象及圖形抽象、數(shù)量抽象、類別抽象對應不同認知階段，也是高中生數(shù)學知識學習的重點階段，在認知角度下對數(shù)學抽象作深刻理解具有不可替代的價值．

2 深度理解下的數(shù)學抽象知識學習

在高中數(shù)學教學過程中，對從認知角度理解數(shù)學抽象還需不斷研究.通過研究會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學抽象的心理學過程包括認知及內(nèi)化、應用等不同階段.教師在教學模式上，可利用翻轉(zhuǎn)課堂及項目學習展開實驗探究，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力.這種方式具有顯著性、系統(tǒng)性特點，比如，在函數(shù)知識教學過程中，需要幫助學生建立函數(shù)概念，對應的法則是數(shù)學抽象關鍵詞，教師著力點需放在關鍵詞上.在實際教學過程中，函數(shù)作為高中數(shù)學知識中的重要內(nèi)容，在教學過程中需關注相應的教學設計．讓學生對生活中的函數(shù)關系進行分析，使其對函數(shù)概念有初步認識后，思路得到有效拓展；生活中似乎沒有關系的事物，多數(shù)也是存在函數(shù)關系的.比如，對于傳染病患者人數(shù)及時間關系，部分學生認為患病與細菌感染相關，但流行病學研究發(fā)現(xiàn)傳染人數(shù)與時間具有密切的關聯(lián)，建立這種認知關系后也能構(gòu)建高中數(shù)學知識體系．

在建立函數(shù)概念之后，應引導學生對過程進行反思．函數(shù)概念的建立過程是用數(shù)學語言進行描述的過程，與傳統(tǒng)定義教學相關，此間無需進行贅述.從學習反思角度看，以上兩個教學環(huán)節(jié)需要讓學生不斷反省，比如，針對函數(shù)知識展開教學，應當從集合及對應法則角度進行分析.從認知角度看，情景素材有利于刺激學生認知，學生自覺對函數(shù)關系進行加工，自信息通道角度讓學生完成基礎函數(shù)思維的對應．比如，學生對傳染病感染人數(shù)及時間函數(shù)關系展開分析，能認識到實際生活中的函數(shù)描述關系并理解函數(shù)，其中包括知覺抽象及圖象抽象、數(shù)量抽象等．

3 深度教學中的理解到實施過程

教師在教學過程中從認知角度對數(shù)學抽象展開分析往往存在難度，但從核心素養(yǎng)角度上看，展開數(shù)學抽象教育相對必要.人們在探究核心素養(yǎng)過程中，還需認識到深度教學的途徑、深度學習與教師角色關系的對應，從而轉(zhuǎn)變?yōu)樯疃冉虒W.在數(shù)學知識理解的教學過程中，需要教師超越對原有知識的認識，對數(shù)學核心素養(yǎng)(包括數(shù)學抽象素養(yǎng))進行深度解讀，因而教學模式研究較為重要.對此，在構(gòu)建形式化的教學過程中，可以關注數(shù)學抽象的基本原則，讓學生對抽象建構(gòu)模式進行理解，從實際角度讓學生認識到抽象過程，形成認知理解，以此提升模式化思路及學習能力．

案例2函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象．

人教A版教材研究了φ,ω,A三者對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響．其中，學生最難理解的是ω對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響．學生借助函數(shù)知識，不難知道f(x+φ)與f(x)的圖象之間是左右平移關系．但為了便于后續(xù)問題研究，教師可以追問：能否借助單位圓去論證這種平移關系？

經(jīng)過一番認真又不乏爭辯的熱烈探討之后，學生達成了一個共識，也弄清了這個抽象問題的本質(zhì)．教師進一步啟發(fā)思考：知道了兩個函數(shù)圖象上對應點之間的關系，如何由函數(shù)y=sinx去求出另外一個函數(shù)解析式呢？

這個問題雖然教材并未作出要求，但其能夠培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和數(shù)學抽象素養(yǎng)，也為今后學習研究解析幾何打下思想方法的基礎.教學時必須抓住這樣的有利時機，充分用足、用好這個教學素材．

4 數(shù)學抽象素養(yǎng)落實方法

教師的任務和目標是通過教學來落實核心素養(yǎng)，但部分研究人員認為，核心素養(yǎng)無法教授.對此，如何在教學實踐過程中落實核心素養(yǎng)是教師應當關注的問題．針對上述觀點，還需對問題進行研究，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)是長遠發(fā)展目標，教師無法在課堂上直接教授，但也不表示教師不可有所作為．相反，素養(yǎng)是學生在學習過程中的積淀，需教師精心開展教學設計，讓學生有效將知識內(nèi)化．也有研究人員認為可以從理解角度出發(fā)對數(shù)學抽象概念進行分析，并理解抽象的數(shù)學內(nèi)涵及數(shù)學抽象的變化過程，從數(shù)學抽象的角度培養(yǎng)學生的抽象能力．比如，在圓與圓的位置關系探究過程中，需立足學生角度對問題進行分析及建構(gòu).教師可選擇直接邏輯建構(gòu)圓與圓的位置關系，學生根據(jù)兩個圓的半徑之和(差)與圓心距離的關系，判斷圓與圓的關系.教學過程中能發(fā)現(xiàn)，部分學生在學習這種關系過程中容易發(fā)生障礙，出現(xiàn)這種問題的原因是學生沒有形成清晰表象，沒有形象的表象支撐，學生的思維就無法變得清晰，對后續(xù)的學習產(chǎn)生消極影響．為幫助學生建立表象，教師還需為學生設計逐步數(shù)學抽象的學習過程.表象及生活經(jīng)驗是學生的認知基礎，讓學生在畫圖中積累經(jīng)驗，并從位置關系中提取經(jīng)驗，學生在大腦中形成純粹的數(shù)學過程，但并非是將圓變成數(shù)學意義上的圓，而是將腦海中圓與圓的位置關系及認知經(jīng)驗轉(zhuǎn)變?yōu)槟軌蛴脙蓚€圓的半徑之和(差)及圓心距離關系展開描述的對象.經(jīng)過上述過程，學生腦海中能清晰呈現(xiàn)圓與圓的對應位置關系，并能夠根據(jù)兩個圓半徑之和(差)及圓心距離關系對這種對應關系進行排序.該教學過程時間較短，但學生腦海中能分析不同的位置關系，這種學習過程較為清晰，表示數(shù)學抽象過程具有有效性．