活動引領(lǐng)探究 激發(fā)深度學(xué)習(xí)
——以蘇科版八年級上“一次函數(shù)圖象(1)”為例

王春梅 (江蘇省沭陽如東實(shí)驗(yàn)學(xué)校 223600)

1 基本情況

(1)學(xué)情分析

八年級的學(xué)生觀察能力逐步增強(qiáng)，但深入性不夠；動手能力逐漸提高，但穩(wěn)定性不足；具體形象思維發(fā)展迅速，抽象思維優(yōu)勢凸顯.教學(xué)中要充分把握這些特征．函數(shù)學(xué)習(xí)標(biāo)志著數(shù)學(xué)由常量世界進(jìn)入變量世界，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一次質(zhì)的飛躍，對學(xué)生思維能力提出了嚴(yán)峻考驗(yàn)．在蘇科版教材八上第六章的前兩節(jié)，學(xué)生已經(jīng)掌握了有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，認(rèn)識了函數(shù)圖象的描述性定義，具備由數(shù)到點(diǎn)、由數(shù)到形的較為簡單的知識經(jīng)驗(yàn)．

(2)教材分析

函數(shù)是刻畫研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要模型，一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的一種基本函數(shù)．一次函數(shù)的圖象建立在有序?qū)崝?shù)對與平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系基礎(chǔ)之上，是函數(shù)概念與圖象第一次完美結(jié)合．本節(jié)課是函數(shù)圖象的教學(xué)起始課，是認(rèn)識了一次函數(shù)概念后對一次函數(shù)內(nèi)容的進(jìn)一步研究，是研究一次函數(shù)圖象性質(zhì)的橋梁，是以后學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象的基礎(chǔ)，其研究方法具有一般性和代表性．

本課教學(xué)中安排一系列探究活動，如觀察操作、嘗試畫圖象、分析圖象、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生明確知道一次函數(shù)的圖象是一條直線，在實(shí)踐中主動獲取運(yùn)用“兩點(diǎn)法”畫出一次函數(shù)的圖象．在操作中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)感知、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)概括能力，在活動中感悟函數(shù)思想、模型思想，初步形成數(shù)形結(jié)合觀念，發(fā)展幾何直觀，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的信心和興趣．本課的教學(xué)重點(diǎn)是重視學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)的獲得，體驗(yàn)每一步“做什么”“怎么做”“為什么要這么做”，自主探索出一次函數(shù)圖象的畫法，歸納概括出畫函數(shù)圖象的一般步驟；教學(xué)難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生在作圖過程中感知有序數(shù)對到點(diǎn)再到線的演變過程，探討數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，體會畫函數(shù)圖象過程中各個(gè)步驟中的注意要點(diǎn)．

2 教學(xué)過程

2.1 情境引入，先行預(yù)設(shè)

情境引學(xué)：生活中的變化現(xiàn)象．

師：同學(xué)們，我們生活的世界時(shí)刻充滿變化．今天清晨，同學(xué)們從甜美的夢中醒來，感受到氣溫隨著時(shí)間的變化而變化；你爸爸開車送你上學(xué)，假設(shè)車速保持不變，行駛路程隨著時(shí)間的變化而變化，車?yán)锏挠嘤土侩S著行駛路程的變化而變化……從第六章開始，我們用一種新的數(shù)學(xué)知識來揭示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，這種新的數(shù)學(xué)知識是什么呢？

(學(xué)生齊聲回答“函數(shù)”，教師板書“函數(shù)”)

師：函數(shù)是揭示事物變化規(guī)律的有效手段，是研究運(yùn)動變化的數(shù)學(xué)模型.函數(shù)有哪幾種表示方法？

生：圖象法、列表法、函數(shù)表達(dá)式法．

(教師繼續(xù)板書“圖象”)

師：什么叫函數(shù)的圖象？

生：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)的自變量的值為橫坐標(biāo)、對應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)所組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖象．

師：上節(jié)課，我們認(rèn)識了一次函數(shù).大家猜猜看，今天這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)什么內(nèi)容呢？

生：一次函數(shù)的圖象．

(教師板書，補(bǔ)全課題“一次函數(shù)的圖象”)

師：請同學(xué)們根據(jù)課題，預(yù)設(shè)一下本節(jié)課你想研究哪些內(nèi)容？

師生共同預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)內(nèi)容(教師板書“預(yù)設(shè)內(nèi)容”)：(1)如何畫一次函數(shù)的圖象？(2)一次函數(shù)的圖象的形狀是怎樣的？(3)利用一次函數(shù)的圖象可以解決哪些相關(guān)的問題？

教學(xué)分析結(jié)合學(xué)生的日常生活經(jīng)歷，充分感知生活中的變化現(xiàn)象與變化過程中兩個(gè)變量間的變化關(guān)系，一步步引入課題“一次函數(shù)的圖象”，并組織學(xué)生圍繞課題自主預(yù)設(shè)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，激發(fā)好奇心和求知欲的同時(shí)指明學(xué)習(xí)方向．

2.2 自主探究，直觀感知

活動1 點(diǎn)燃一支香，感受它的長度隨時(shí)間的變化而變化，將觀察結(jié)果填在表格內(nèi)(屏幕展示課本中的圖片和表格)．

問題1這幅圖片反映了一個(gè)怎樣的變化過程？你能獲得哪些信息？

問題2如果用y(cm)表示香的長度、x(min)表示香燃燒的時(shí)間，你能寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式嗎？

問題3依次連接圖片中香的頂端，你有什么發(fā)現(xiàn)？

活動2 建立平面直角坐標(biāo)系，揭示圖片中的信息．

問題1如何建立平面直角坐標(biāo)系？

問題2圖片中香燃燒過程中五個(gè)時(shí)刻的頂端(點(diǎn))分別可用哪些坐標(biāo)(有序數(shù)對)來表示？

問題3這支香在實(shí)際燃燒過程中，這樣的時(shí)刻有多少個(gè)？這些時(shí)刻香的頂端的連線有怎樣的特征？

問題4這些頂端組成的圖形與函數(shù)表達(dá)式有怎樣的聯(lián)系？猜想一次函數(shù)圖象的形狀是怎樣的？

教學(xué)分析組織學(xué)生觀察圖片，概括變化過程，將獲得的信息填入表格，獲得五組對應(yīng)的數(shù)值，并讓學(xué)生知曉所填表格即為此一次函數(shù)的表格法，y=-0.8x+16(0≤x≤20)為它的函數(shù)表達(dá)式法，從而設(shè)想“香在燃燒過程中頂端所在的這條直線”可能是此函數(shù)的圖象法．再通過活動2的實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)可以把香的頂端用有序數(shù)對對應(yīng)的點(diǎn)表示出來，初步感知函數(shù)表達(dá)式與圖形的對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)學(xué)的角度直觀感知一次函數(shù)的圖象可能是一條直線．

2.3 合作探究，理性認(rèn)知

活動3 嘗試作出一次函數(shù)y=2x+1的圖象．

問題1結(jié)合活動2的經(jīng)驗(yàn)，請同學(xué)們討論交流“作出一次函數(shù)圖象一般可能經(jīng)歷哪些步驟？”

組織學(xué)生交流合作，小組代表展示，共同得出可能經(jīng)歷的步驟有：列出表格、建立坐標(biāo)系、描出點(diǎn)的坐標(biāo)、把點(diǎn)順次連接．

問題2以一次函數(shù)y=2x+1為例，如何畫出此函數(shù)的圖象？

學(xué)生以4人小組為單位，開始嘗試作圖，5分鐘后小組代表展示探究成果．

小組展示：首先列出表格(表1)，再建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，取5組對應(yīng)的x,y的值分別作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出這5個(gè)點(diǎn)，最后把這些點(diǎn)連接起來．

圖1

表1

問題3對上述過程，大家有哪些補(bǔ)充意見？

小組補(bǔ)充1：自變量x的取值應(yīng)分別取正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，這樣更有代表性；

小組補(bǔ)充2：自變量x的取值應(yīng)便于計(jì)算，此函數(shù)中可盡量取整數(shù)并從小到大排列；

小組補(bǔ)充3：這里的自變量x的取值可以是一切實(shí)數(shù)，表格中應(yīng)有“…”予以體現(xiàn)，所以圖象是直線而不是線段；

小組補(bǔ)充4：在坐標(biāo)系中應(yīng)寫出此一次函數(shù)的表達(dá)式表示其名稱．

根據(jù)上述補(bǔ)充內(nèi)容，完善這一作圖象的過程．

解列表(表2)．

表2

描點(diǎn)，連線，如圖2所示．

圖2

活動4 交流討論：作一次函數(shù)圖象的過程中，每一步做什么？怎么做？為什么這么做？

根據(jù)小組交流的結(jié)果，得出如圖3所示的板書．

圖3

問題1觀察發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)圖象的形狀是什么？如何驗(yàn)證？

問題2由上述驗(yàn)證過程我們可以得出基本事實(shí)：一次函數(shù)的圖象是一條直線．活動1中的香的長度y(cm)與香燃燒的時(shí)間x(min)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-0.8x+16(0≤x≤20)的圖象的形狀是什么？為什么？

問題3作一次函數(shù)圖象是否有簡捷的方法？根據(jù)是什么？

教學(xué)分析組織學(xué)生根據(jù)香的燃燒過程中獲得的經(jīng)驗(yàn)嘗試畫函數(shù)圖象，通過小組展示、補(bǔ)充、糾錯(cuò)，經(jīng)歷一次函數(shù)圖象的形成過程，通過幾何畫板演示，運(yùn)用密集取點(diǎn)的方法讓學(xué)生感知這些點(diǎn)在同一條直線上，也有學(xué)生通過證明兩個(gè)三角形全等對應(yīng)角相等從而驗(yàn)證其中的三點(diǎn)共線，系統(tǒng)強(qiáng)化學(xué)生對一次函數(shù)圖象的畫法、依據(jù)、注意點(diǎn)的理性認(rèn)知．

2.4 展示設(shè)計(jì)，綜合提升

活動5 在平面直角坐標(biāo)系中，畫一次函數(shù)y=-x+2的圖象．

問題1通常情形下，我們可以取哪兩個(gè)點(diǎn)？為什么？作圖過程如何描述？

問題2若設(shè)一次函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B，你可以設(shè)計(jì)出怎樣的數(shù)學(xué)問題？如何求解？

活動6 在直角坐標(biāo)系中，畫一次函數(shù)y= -3x+3的圖象．

試判斷：在點(diǎn)A(2,-4),B(-1,6),C(3,12),D(-2,3),E(5,-12)中，哪些點(diǎn)在此函數(shù)的圖象上？

活動7 在上述同一坐標(biāo)系中，畫一次函數(shù)y=-3x,y=-3x-3,y=-3x+3的圖象．

問題1觀察這3個(gè)函數(shù)的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？得出怎樣的猜想？

問題2觀察函數(shù)的圖象，可以設(shè)計(jì)出哪些與圖象有關(guān)的數(shù)學(xué)問題？

教學(xué)分析學(xué)生根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”獲得“兩點(diǎn)法”畫一次函數(shù)的圖象的方法，掌握判斷一個(gè)點(diǎn)是否在某條直線上的方法.組織學(xué)生在同一坐標(biāo)系中熟練畫出幾個(gè)k值相等的一次函數(shù)圖象，為下節(jié)課繼續(xù)研究一次函數(shù)的性質(zhì)作好鋪墊．引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖象設(shè)計(jì)出常見的求線段長、三角形面積等數(shù)學(xué)問題，自主完成知識建構(gòu)．

2.5 總結(jié)概括，目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？掌握了哪些學(xué)習(xí)的方法？目標(biāo)達(dá)成情況如何？

在回顧預(yù)測學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)匦薷年P(guān)鍵詞，完成板書：

學(xué)習(xí)目標(biāo)：(1)會畫一次函數(shù)的圖象；(2)知道一次函數(shù)圖象的形狀是一條直線，并能判斷一個(gè)點(diǎn)是否在這條直線上；(3)能利用一次函數(shù)的圖象解決三角形相關(guān)的問題．

教學(xué)分析首尾呼應(yīng)，結(jié)合課前預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容概括出本課應(yīng)達(dá)成的學(xué)習(xí)目標(biāo)，幫學(xué)生理清學(xué)習(xí)內(nèi)容與研究思路．

3 回顧與反思

本課為函數(shù)圖象學(xué)習(xí)的第一課，應(yīng)組織學(xué)生充分觀察感知、嘗試操作、實(shí)踐體驗(yàn)、歸納概括，體會函數(shù)圖象的形成過程，總結(jié)一次函數(shù)圖象的作圖步驟，體驗(yàn)由數(shù)到形的演變歷程．不宜采用簡單的自學(xué)課本、模仿作圖的形式，不能僅僅滿足于讓學(xué)生掌握簡單的作圖技能．因此，巧妙安排探究活動，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)顯得尤為重要．

3.1 重視經(jīng)驗(yàn)積累——深層體驗(yàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中明確指出:學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程．活動是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)獲得與積累的重要來源，本課教學(xué)中，先組織學(xué)生獲得直接經(jīng)驗(yàn)，比如先通過觀察香頂端的位置，用直尺靠一靠，獲得香燃燒過程中頂端可能在一條直線上的直觀感知，再取幾個(gè)香的頂端，再次感知它們在同一直線上；再比如直接組織學(xué)生嘗試作圖，雖然學(xué)生可能出現(xiàn)各種不科學(xué)的地方：如列表取值都是正數(shù)、列表取值不按順序排列、連線呈線段等，但是這些經(jīng)驗(yàn)都是真實(shí)的、深刻的．在直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生糾錯(cuò)、交流、補(bǔ)充，體驗(yàn)作一次函數(shù)圖象完整規(guī)范的過程，觀察教師運(yùn)用幾何畫板演示密集取點(diǎn)，積累間接經(jīng)驗(yàn)，深刻體驗(yàn)“一次函數(shù)圖象是一條直線”這一客觀事實(shí)．

3.2 強(qiáng)化思考交流——深入探究

課本例題清晰完整地展示了一次函數(shù)y=-x+2圖象的作圖過程，如果讓學(xué)生先自學(xué)課本，那學(xué)生后續(xù)的作圖就成為一種簡單的模仿，形成的也只是一種機(jī)械的作圖技能．因此筆者執(zhí)教本課時(shí)沒有要求學(xué)生提前預(yù)習(xí)，而是在課堂教學(xué)中通過現(xiàn)場設(shè)置探究活動，先組織學(xué)生觀察圖片，

從香燃燒的過程中頂端的具體位置啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考：如何從數(shù)學(xué)的角度描述香頂端的位置？讓學(xué)生聯(lián)想到可以用有序數(shù)對來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，主動發(fā)現(xiàn)畫一次函數(shù)圖象首先必須列表．教學(xué)實(shí)際表明，學(xué)生在初次列表時(shí)會受到香燃燒過程的影響而列出如表1的樣表．如何規(guī)范列表？組織學(xué)生交流合作、主動展示，通過小組間的相互補(bǔ)充，發(fā)現(xiàn)應(yīng)該取正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)這樣具有代表性的數(shù)字，逐步規(guī)范列表．進(jìn)一步補(bǔ)充描點(diǎn)、連線的注意要點(diǎn)，圍繞“做什么、怎么做、為什么這么做”逐層探究，探索出作一次函數(shù)圖象的完整過程，真正落實(shí)“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然”的深入探究．

3.3 突出主體建構(gòu)——深刻理解

深度學(xué)習(xí)是學(xué)生對核心課程知識的深度理解以及在真實(shí)的問題和情境中應(yīng)用這種理解的能力.學(xué)生已有認(rèn)知中，數(shù)與形是相互獨(dú)立的，如何建立數(shù)與形間的聯(lián)系是學(xué)生理解上的難點(diǎn)．因此，對香燃燒過程中頂端的描述、理解是建立數(shù)形聯(lián)系的起點(diǎn)，教學(xué)時(shí)要充分利用好這一教學(xué)資源．同樣，在嘗試作圖的過程中，當(dāng)學(xué)生完成列表后，教師設(shè)問引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知困惑：如何把表格中的數(shù)轉(zhuǎn)化為有序數(shù)對？為何要將表格中的有序數(shù)對轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的點(diǎn)？如何將表格中的有序數(shù)對轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的點(diǎn)？如何描點(diǎn)，為什么要描點(diǎn)？如何連線，為什么要連線？讓學(xué)生充分理解與接受“數(shù)—有序數(shù)對—點(diǎn)(無數(shù)點(diǎn))—形(直線)”建立的全過程，生動詮釋“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”．對于小組補(bǔ)充的內(nèi)容，教學(xué)過程中教師引導(dǎo)學(xué)生批判性地理解，引發(fā)質(zhì)疑并釋疑．

3.4 培養(yǎng)高階思維——深化思考

深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)定位是培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力，包括應(yīng)用、分析、評價(jià)、創(chuàng)造．本課中，在學(xué)生確認(rèn)“一次函數(shù)圖象是一條直線”的基礎(chǔ)上，啟迪學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)：依據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線得出簡捷的方法即兩點(diǎn)法作出一次函數(shù)的圖象．繼續(xù)設(shè)問：通常取哪兩個(gè)點(diǎn)？依據(jù)這兩個(gè)點(diǎn)可以設(shè)計(jì)出哪些典型的數(shù)學(xué)問題？引發(fā)學(xué)生及時(shí)將新知內(nèi)容融入已有認(rèn)知，及時(shí)進(jìn)行同化、內(nèi)化與順應(yīng)，并及時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”．在最后的環(huán)節(jié)，通過回顧小結(jié)的形式，幫助學(xué)生梳理建構(gòu)，總結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成情況并進(jìn)行分析評價(jià)，將本課所學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化．