基于余弦翹曲位移函數(shù)的薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)分析

宋愛(ài)明，李志聰，周 鵬，萬(wàn) 水，蘇 強(qiáng)

(1.鹽城工學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051； 2.東南大學(xué) 交通學(xué)院，江蘇 南京 211189； 3.河北省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院，河北 石家莊 050011)

0 引言

薄壁箱梁以其自重小、跨越能力大、抗彎和抗扭性能強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)在橋梁建設(shè)中得到廣泛使用[1]。當(dāng)箱梁橋采用較大的腹板間距和懸挑長(zhǎng)度時(shí)，恒載、活載、預(yù)加力等均會(huì)在結(jié)構(gòu)橫截面上引起顯著的剪力滯效應(yīng)[2]。翼板剪切變形是薄壁箱梁產(chǎn)生剪力滯效應(yīng)的本質(zhì)原因，受到對(duì)稱荷載時(shí)，由于箱梁頂、底板發(fā)生剪切變形，剪力流在橫向傳遞過(guò)程呈現(xiàn)滯后現(xiàn)象，使得橫截面上的翼板拉應(yīng)力不再均勻分布，這時(shí)按照初等梁理論的平截面假定不再適用。當(dāng)板肋交界處的法向彎曲應(yīng)力高于(或低于)橫截面翼板中部應(yīng)力時(shí)，即產(chǎn)生正剪應(yīng)力滯效應(yīng)(或負(fù)剪應(yīng)力滯效應(yīng))。在國(guó)內(nèi)外箱梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和建造史上因不考慮剪力滯效應(yīng)而發(fā)生的結(jié)構(gòu)破壞事故不在少數(shù)[3]，因此近些來(lái)，學(xué)者們針對(duì)箱梁剪力滯問(wèn)題開(kāi)展了一系列的試驗(yàn)研究[4]、理論解析[5]和有限元分析[6]。

能量變分法作為計(jì)算箱梁剪力滯效應(yīng)行之有效的近似計(jì)算方法，由REISSNER[7]在1946年最先提出，其以矩形截面的薄壁箱梁為研究對(duì)象，并假定縱向翹曲位移沿箱梁截面橫向按二次拋物線的線型分布。ZHANG[8]等基于二次拋物線型翹曲位移函數(shù)，分析了計(jì)入剪力滯效應(yīng)的結(jié)構(gòu)附加變形，繼而以該附加變形為廣義位移，提出了剪力滯效應(yīng)的改進(jìn)分析方法，并對(duì)翹曲函數(shù)的階數(shù)精度進(jìn)行了評(píng)價(jià)，最后采用有機(jī)玻璃模型試驗(yàn)對(duì)理論解析結(jié)果進(jìn)行了試驗(yàn)論證。郭金瓊[9-10]等國(guó)內(nèi)研究者基于REISSNER的研究成果，分別將二次拋物線型翹曲位移函數(shù)變換為三次和四次拋物線的形式，進(jìn)而對(duì)薄壁箱梁的剪力滯問(wèn)題做了較為深入的理論解析和試驗(yàn)論證。倪元增[11-12]等研究者最早將余弦函數(shù)形式引入到剪滯翹曲位移函數(shù)中，并分別以槽型截面和箱形截面梁為研究對(duì)象，驗(yàn)證了采用余弦函數(shù)進(jìn)行剪力滯效應(yīng)分析的合理性和準(zhǔn)確性。總的來(lái)說(shuō)，翹曲位移函數(shù)的合理選擇是基于能量變分法的薄壁箱型梁剪力滯效應(yīng)分析的重點(diǎn)，目前采用多次拋物線型縱向翹曲位移函數(shù)的文獻(xiàn)頗多，而采用余弦函數(shù)形式的文獻(xiàn)較少。此外，學(xué)者們的研究成果在理論應(yīng)用和指導(dǎo)設(shè)計(jì)方面具有重要意義，但在求解控制微分方程時(shí)往往為了簡(jiǎn)化計(jì)算方法而在箱梁各翼板間取一致的縱向位移差值函數(shù)，這樣的簡(jiǎn)化方法忽略了各翼板因受力不同而產(chǎn)生的變形或剪力滯差異，與真實(shí)結(jié)構(gòu)相比顯然有所不符。

鑒于此，本文將選取余弦函數(shù)為薄壁箱型梁翼板剪滯翹曲位移函數(shù)，通過(guò)在橫截面不同翼板處分別引入剪切轉(zhuǎn)角最大差值u1(x)、u2(x)和u3(x)(即對(duì)應(yīng)底板、頂板和懸臂板3個(gè)位置)，建立二階常系數(shù)非齊次線性方程組，進(jìn)一步求解得到薄壁箱梁任意截面法向彎曲應(yīng)力以及無(wú)剪力滯效應(yīng)時(shí)橫向荷位的計(jì)算公式，并通過(guò)有限元分析軟件ANSYS對(duì)受對(duì)稱均布荷載作用下的簡(jiǎn)支箱梁進(jìn)行數(shù)值分析，與本文理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

1 基本假定

選取圖1所示的薄壁箱型梁橫截面為分析對(duì)象，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)置在截面形心位置處，箱梁體系的縱向、橫向以及豎向分別對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的x、y以及z方向。在箱梁頂板的某處(y0點(diǎn))作用有z軸方向的荷載，分別引入不同翼板處的3個(gè)剪切轉(zhuǎn)角最大差值函數(shù)ui(x)(i=1，2，3，下標(biāo)i分別對(duì)應(yīng)底板、頂板和懸臂板三個(gè)位置)，并且采用余弦函數(shù)形式來(lái)表示縱向位移ui(x，y)(i=1，2，3)沿箱梁橫向的分布特征，那么不同翼板處的縱向位移有如下形式：

圖1 箱梁橫截面尺寸示意圖

(1)

式中：w(x)是梁肋位置處的z軸方向撓度；h1、h2和h3是形心位置處與各翼板中軸線之間的距離；b1、b2和b3分別是各翼板的半寬。

假設(shè)箱梁截面在變形后仍與x軸方向的纖維相互垂直，那么翼板在x軸方向的變形ui(x)和z軸方向的變形Wi(x，y)可建立下述關(guān)系：

(2)

那么考慮橫向位置(y方向)影響的z軸方向變形也可表述為按余弦函數(shù)分布的形式，如下式所示：

(3)

式(1)和式(3)是坐標(biāo)x和y的連續(xù)函數(shù)，符合變形協(xié)調(diào)關(guān)系。在本文分析中有以下的假定：在計(jì)算截面應(yīng)變時(shí)忽略剪切變形的影響，箱梁腹板仍遵循平截面假定；假定箱梁截面翼板z軸方向的纖維不發(fā)生擠壓行為，那么有εz=0；此外，不考慮箱梁截面翼板、腹板等板平面外的橫向應(yīng)變及剪切變形，那么有γxz=γyz=εy=0。

2 微分控制方程的推導(dǎo)

根據(jù)最小勢(shì)能原理，當(dāng)受到外部荷載作用時(shí)，結(jié)構(gòu)體系處于平衡狀態(tài)。產(chǎn)生虛位移時(shí)，結(jié)構(gòu)體系的總體能一階變分為零，那么可記為：

(4)

當(dāng)有外部荷載作用于頂板時(shí)(0≤|y0|≤b2)，薄壁箱梁受彎曲而產(chǎn)生的外力勢(shì)能可表述為：

(5)

結(jié)構(gòu)各部位應(yīng)變能表達(dá)式分別為：

梁肋：

(6)

翼板：

(7)

式中：E、G分別為結(jié)構(gòu)的彈性模量和剪切模量；t1、t2和t3為各翼板的厚度。

根據(jù)彈性力學(xué)平面問(wèn)題的幾何方程有：

(8)

將式(1)代入式(8)得到如下形式：

(9)

把上述式(8)和式(9)代入各翼板應(yīng)變能表達(dá)式(7)可得到如下形式：

(10)

(11)

將式(11)得到的薄壁箱梁體系總勢(shì)進(jìn)行變分求解，并令其等于零，即δΠ=0，得到如下控制微分方程組：

(12)

其邊界條件為：

(13)

3 二階微分控制方程組的求解

上述內(nèi)容根據(jù)能量變分法推導(dǎo)出了基于余弦翹曲位移函數(shù)的控制微分方程組，本節(jié)將對(duì)其進(jìn)行求解分析。將式(12)中第一個(gè)等式對(duì)變量x進(jìn)行求導(dǎo)并整理得到如下形式：

(14)

將式(14)代入式(12)其它3個(gè)微分控制方程可得：

(15)

將方程組(15)轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃囆问剑?/p>

Au″-Bu=β

(16)

為方便推導(dǎo)，記：

C=A-1B；t=A-1β。

那么，則式(16)可轉(zhuǎn)化為如下形式：

u″-Cu=t

(17)

計(jì)算A-1得：

(18)

則有：

(19)

(20)

式(17)為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程組，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，得到該微分方程組的通解形式為：

U(x)=V[exp(-Λx)C′1+exp(Λx)C′2]

(21)

令u*為上述二階常系數(shù)非齊次線性方程組的特解，該解只和結(jié)構(gòu)剪力M′(x)的分布形式有關(guān)，那么進(jìn)一步得到該方程組的通解表達(dá)式如下：

u(x)=V[exp(-Λx)C′1+exp(Λx)C′2]+u*

(22)

4 箱梁結(jié)構(gòu)翼板中的應(yīng)力計(jì)算

以上通過(guò)微分方程組解出了薄壁箱梁翼板剪切轉(zhuǎn)角的3個(gè)最大差值式(22)，從而可進(jìn)一步得到箱梁任意截面翼板各部分法向彎曲應(yīng)力表達(dá)式為：

(23)

本文采用圖2所示承受對(duì)稱均布荷載的簡(jiǎn)支梁為算例，基于上述理論分析來(lái)進(jìn)一步推導(dǎo)箱梁截面底板、頂板及翼緣板法向彎曲應(yīng)力的表達(dá)式。

圖2 簡(jiǎn)支梁承受均布荷載

箱梁任意截面x處的內(nèi)力為：

x截面處的剪力是x的一次多項(xiàng)式，則微分方程組有特解：

(24)

將式(24)代入式(22)并對(duì)變量x求導(dǎo)得到：

u′=VΛ[-exp(-Λx)C′1+exp(Λx)C′2]+

(25)

簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的邊界條件為：u′i|x=0=0，u′i|x=l=0，則解得：

(26)

那么，可進(jìn)一步由式(1)、式(23)和式(25)聯(lián)合求解，得到對(duì)稱均布荷載下簡(jiǎn)支箱梁結(jié)構(gòu)截面彎曲法向應(yīng)力表達(dá)式為：

(27)

5 算例分析及橫向荷位確定

采用圖2所示的單室梯形簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)為算例來(lái)分析翼板各部位在采用余弦翹曲位移函數(shù)時(shí)，荷載橫向作用位置(文中簡(jiǎn)稱為：橫向荷位)對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響規(guī)律。

a.箱梁截面采用圖1所示形式，滿跨對(duì)稱作用均布荷載q=8 kN/m，材料及截面具體參數(shù)取值如下：泊松比ν=0.2，混凝土彈性模量E=3.5×104MPa，剪切模量G=E/(2+2ν)=1.46×104MPa；跨度l=40 m，腹板厚度tw=50 cm，腹板與翼板夾角θ=14°，翼板各部分厚度及寬度(半寬)分別為t1=50 cm，t2=t3=30 cm，b1=206.5 cm，b2=b3=300 cm，上板寬b=1 200 cm，箱梁高度H=415 cm，上下板壁厚中心距離h=375 cm，上板底至下板頂距離h′=335 cm。

上翼板壁厚中心面積矩按下式計(jì)算：

截面面積為A，則形心至上翼板壁厚中心的距離h2=S/A=160.11 cm，形心至下翼板壁厚中心距離h1=h-h2=214.89 cm。

其他參數(shù)計(jì)算結(jié)果如下：Iw=4.536 9 m4,Is1=9.535 5 m4,Is2=4.614 5 m4,Is3=4.614 5 m4,I=23.301 4 m4，α1=0.165 9,α2=0.080 3,α3=0.080 3,α=-0.173 5。

b.根據(jù)初等梁理論，薄壁箱型梁在任意截面上的應(yīng)力計(jì)算方法如下：

(28)

取薄壁箱梁的跨中截面頂板為研究對(duì)象，那么截面彎矩為M(x)=ql2/8，則按式(28)得出σ1=0.147 6 MPa，σ2=σ3=-0.109 9 MPa。

當(dāng)均布荷載對(duì)稱作用于梁肋，即y0=b2，由數(shù)學(xué)軟件分析MATLAB按式(27)解得：σ1x=0.155 5 MPa，σ2x=σ3x=-0.115 5 MPa，此時(shí)跨中梁截面表現(xiàn)為正剪力滯效應(yīng)；當(dāng)均布荷載對(duì)稱作用于翼板中心，即y0=0，由MATLAB解得：σ1x=-0.001 8 MPa，σ2x=σ3x=-0.010 0 MPa，此時(shí)跨中梁截面表現(xiàn)為非常明顯的負(fù)剪力滯效應(yīng)現(xiàn)象；因此當(dāng)均布荷載對(duì)稱作用于梁肋與翼板中心之間，頂板上一定存在橫向荷位y0=e，使得梁截面上σi=σix，即不產(chǎn)生剪力滯效應(yīng)，這與文獻(xiàn)[14]所得規(guī)律相似，說(shuō)明本文方法具有可行性。為解得該橫向荷位e，令：

U′=[U′1U′2U′3]T=

VΛ[-exp(-Λx)C′1+exp(Λx)C′2]

(29)

令σi=σix，且y=bi(i=3時(shí)，y=b2)，則可以解得式(30)：

(30)

當(dāng)e

6 有限元數(shù)值分析

對(duì)上述算例通過(guò)ANSYS有限元軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)稱均布荷載作用于梁肋處(即y0=±b2)。為保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，采用精度較高的六面體單元solid65來(lái)模擬全梁結(jié)構(gòu)；箱梁一端支座處約束水平及豎直向位移，另一端約束豎直向位移；整個(gè)模型采用映射網(wǎng)格劃分方式，單元數(shù)共計(jì)42 880個(gè)，計(jì)算模型如圖3所示。

圖3 箱梁有限元模型

采用本文方法計(jì)算得到的理論解與ANSYS數(shù)值解的對(duì)比結(jié)果列于表1，底板、頂板和翼緣板上各計(jì)算點(diǎn)位|y|均取自各板截面中心軸線上。

由表1數(shù)據(jù)分析可知，除了計(jì)算點(diǎn)位|y|=b1，通過(guò)本文方法得到的其它各點(diǎn)位的彎曲應(yīng)力與ANSYS數(shù)值解誤差均小于4%；計(jì)算位置|y|=b1處于腹板和底板交界點(diǎn)附近，腹板傳遞的剪力流在該點(diǎn)引起的剪切變形較為復(fù)雜，從而導(dǎo)致理論解與數(shù)值解之間的誤差大于其它各點(diǎn)，在跨中和1/4跨截面分別達(dá)到了5.85%和6.91%。但總體來(lái)看，本文所采用的基于余弦翹曲位移函數(shù)的剪力滯效應(yīng)變分解析方法與有限元數(shù)值解能夠較好地吻合，表明本文方法具有一定的準(zhǔn)確性，可為該類型橋梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、分析提供理論依據(jù)。

表1 箱梁截面法向應(yīng)力理論計(jì)算值與數(shù)值解比較Table1 Comparisonoftheoreticalandnumericalvaluesofnormalstressinboxgirdersection計(jì)算點(diǎn)位|y|/m跨中截面1/4跨截面本文方法解/MPaANSYS數(shù)值解/MPa相對(duì)誤差/%本文方法解/MPaANSYS數(shù)值解/MPa相對(duì)誤差/%b10.15550.14645.850.11860.11046.91底板2b1/30.14900.14482.820.11210.10892.85b1/30.14470.14390.550.10780.1079-0.0900.14310.1435-0.280.10620.1076-1.320-0.1039-0.1060-2.02-0.0765-0.0789-3.14頂板b2/3-0.1054-0.1065-1.04-0.0780-0.0795-1.922b2/3-0.1097-0.10821.37-0.0822-0.08121.22b2-0.1155-0.11450.87-0.0880-0.08760.45b2+b3/3-0.1085-0.10800.46-0.0810-0.08070.37懸臂板b2+2b3/3-0.1034-0.1057-2.22-0.0759-0.0781-2.90b2+b3-0.1015-0.1045-2.96-0.0741-0.0768-3.64

7 結(jié)論

本文通過(guò)引入余弦翹曲位移函數(shù)分析了薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)的變分解析方法，并進(jìn)行了算例分析和有限元驗(yàn)證。主要結(jié)論有：

a.假設(shè)箱梁翼板剪滯翹曲位移函數(shù)為余弦函數(shù)形式，并分別引入頂、底板和懸臂板的剪切變形最大差值，建立了薄壁箱梁體系總勢(shì)能函數(shù)表達(dá)式，應(yīng)用變分原理推導(dǎo)出3個(gè)微分控制方程，通過(guò)對(duì)二階常系數(shù)微分方程組的求解，得到了薄壁箱梁任意截面位置頂、底板以及懸臂板法向彎曲應(yīng)力的計(jì)算公式。

b.以單室梯形截面簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)為算例，分析了翼板各部位采用余弦翹曲位移函數(shù)時(shí)，荷載橫向位置對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響，并進(jìn)一步給出了箱梁截面無(wú)剪力滯效應(yīng)時(shí)橫向荷位的計(jì)算方法。

c.通過(guò)有限元分析表明，按照本文方法得到的箱梁截面彎曲應(yīng)力理論解與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合度較高，驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性。