m法和有限元法對橋梁樁基的計算探討

高能祥，方 健

[同濟大學建筑設(shè)計院（集團）有限公司，上海市 200092]

0 引言

樁基是指設(shè)置在地面以下一定深度的圓柱狀或管狀的基礎(chǔ)構(gòu)件，是橋梁等其他各種構(gòu)筑物中最常用的基礎(chǔ)形式。樁基對地質(zhì)條件廣泛適用，基礎(chǔ)承載力高，不均勻沉降較小；且當?shù)卣鸢l(fā)生時，樁基整體破壞的概率小，能夠防止構(gòu)筑物倒塌，減少人員傷亡和財產(chǎn)損失。隨著施工機械化和檢測技術(shù)的發(fā)展，樁基的施工速度和施工質(zhì)量得到大幅提升，樁應(yīng)用愈加廣泛。

在承受水平荷載作用下，樁基的工作原理是樁-土的相互作用問題[1]。此時，樁基依靠樁基周圍土的抗力來承擔其所受的水平荷載。樁基承受水平力作用下，導(dǎo)致樁基發(fā)生水平位移，此時樁基壓迫樁周土產(chǎn)生相同方向的變形，迫使樁周土產(chǎn)生反向抵抗力，此反向抗力會阻止樁基位移的繼續(xù)發(fā)展。

1 m 法計算簡介

樁基在水平力作用下，最常用的計算方法是地基反力系數(shù)法。地基反力系數(shù)指的是地基反應(yīng)模量，即土對樁基產(chǎn)生的反向抗力與土的位移的比值。地基反力系數(shù)采用的是Winkler 地基模型[2]。它將樁側(cè)土離散為一個個相互獨立的彈簧，且彈簧所產(chǎn)生的抗力與其發(fā)生的位移成正比例關(guān)系。

式中：p 為樁基所承受的單位壓力；Cz為地基反力系數(shù)；yz為相應(yīng)的土體位移。

根據(jù)式（1）建立Winkler 彈性地基梁模型如下：

式中：EI 為樁基抗彎剛度；y 為樁基軸線撓曲位移；z為樁基對應(yīng)深度；b 為樁基計算寬度。

根據(jù)地基反力系數(shù)Cz沿樁基深度不同的分布圖示，形成了Cz不同的幾種求解方法。

式中：k 比例系數(shù)；n 為指數(shù)。

如圖1（b）所示，n=0 時，Cz=k，此方法被稱為張（有齡）氏法。該方法認為地基反力系數(shù)為常數(shù)，不隨樁的深度變化。

圖1 地基反力系數(shù)沿樁基深度的分布圖示

如圖1（c）所示，n=0.5 時，Cz=kz0.5，此方法被稱為C 法。該方法認為地基反力系數(shù)沿樁的深度成凸形拋物線變化。

如圖1（d）所示，n=1.0 時，Cz=kz，此方法被稱為m 法。該方法認為地基反力系數(shù)沿樁的深度成線性變化，令k=m，則Cz=mz。

如圖1（e）所示，n=2.0 時，Cz=kz2，此方法被稱為k 法。該方法認為地基反力系數(shù)沿樁的深度成凹形拋物線變化。此方法由于計算出的樁身彎矩結(jié)果比實際偏大較多，故較少采用。

上述中的m 法是我國計算樁基在水平荷載作用下的常用方法，也是《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》（JTG 3363—2019）[3]中計算樁基的水平位移和作用效應(yīng)的指導(dǎo)方法。根據(jù)Cz=mz，重新建立Winkler彈性地基梁模型公式如下：

式中：m 為地基反力系數(shù)的比例系數(shù)；z 為樁基對應(yīng)深度。

上述公式可寫為：

式中：α 為樁基的變形系數(shù)，其值為：

當樁基樁頭承受水平推力H0和水平彎矩M0的情況下，根據(jù)式（5）可推導(dǎo)出彈性樁的內(nèi)力和位移公式，如下：

式中：yz為樁的水平變形位移；φz為樁的轉(zhuǎn)角位移；Mz為樁截面的彎矩；Qz為樁截面的剪力；σz為樁周圍的土壓力；A、B、C、D 為無量綱系數(shù)，可通過查詢《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》（JTG 3363—2019）[3]表L.0.8 取用。

2 樁基有限元法模擬簡介

有限元分析是目前結(jié)構(gòu)設(shè)計計算的常用方法。它利用結(jié)構(gòu)材料本身的本構(gòu)關(guān)系和結(jié)構(gòu)自身的邊界條件建立結(jié)構(gòu)受力與位移的變形協(xié)調(diào)方程[4]，求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移。有限元分析同樣適用于樁基計算分析，采用彈性地基梁理論建立樁基有限元模型，將樁基用梁單元模擬，采用土彈簧模擬土對樁基的約束作用。在樁基的有限元建模中，需遵循如下假設(shè)條件：

（1）將土體視為線彈性體，土彈簧剛度隨深度線性增加。

（2）同一深度的彈簧剛度為定值，不隨樁基位移變化[5]。

（3）忽略土體對樁基的摩擦力和黏結(jié)力等作用。

根據(jù)以上假設(shè)，土彈簧剛度計算公式如下：

式中:Kz為深度z 處的土彈簧剛度；b 為樁基計算寬度；m 為地基反力比例系數(shù)；hz為深度z 處的土層厚度。

3 算例簡介

本文采用兩個算例進行分析對比，分別為單樁模型和群樁模型。算例簡介如下：

3.1 算例一

算例一為單樁模型，如圖2 所示。采用樁徑為1.0 m 的摩擦鉆孔灌注樁基，樁長20 m。樁端處土性為可塑性黏土，取地基反力系數(shù)m=5 000 kN/m4。樁基的計算寬度b 按《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》（JTG 3363—2019）[3]L.0.1 條計算。經(jīng)計算，b=1.8 m。則由式（12）可計算出樁基各深度處的土彈簧剛度。

圖2 算例一單樁模型圖示

樁頂施加豎向力N、水平力H 和彎矩M，分別為N=1 000 kN，H=500 kN，M=1 000 kN·m。其中，彎矩與水平力產(chǎn)生的位移效應(yīng)同向。

3.2 算例二

算例二為群樁模型，如圖3 所示。承臺為2 m高，承臺下設(shè)置12 根樁徑為1.2 m 的摩擦鉆孔灌注樁基，樁間距均取3.0 m，樁長20 m。樁端處土性為可塑性黏土，取地基反力系數(shù)m=5 000 kN/m4。樁基的計算寬度b 按《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》（JTG 3363—2019）[3]L.0.1 條計算。經(jīng)計算，b=1.386 m。則由式（12）可計算出樁基各深度處的土彈簧剛度。

圖3 算例二群樁模型樁基平面（單位：cm）

在承臺中心施加豎向力N、水平力H 和彎矩M，分別為N=20 000 kN，H=1 000 kN，M=10 000 kN·m。其中，彎矩與水平力產(chǎn)生的位移效應(yīng)同向。

4 算例結(jié)果對比

采用上節(jié)的兩個算例進行分析對比，分別采用m 法和Midas Civil 有限元模型計算樁身的各反應(yīng)結(jié)果，包括樁基水平位移、樁身彎矩、樁身剪力和樁周土應(yīng)力。

4.1 算例一

單樁模型采用m 法計算的樁身各反應(yīng)結(jié)果見表1。

表1 單樁模型m 法計算結(jié)果

單樁模型采用有限元法計算的樁身各反應(yīng)結(jié)果見表2。

表2 單樁模型有限元法計算結(jié)果

單樁模型采用m 法和有限元法計算的樁身各反應(yīng)結(jié)果對比如圖4～圖7 所示，最大值差距見表3。

表3 單樁模型樁身結(jié)果差距分析

圖4 單樁模型樁基位移結(jié)果對比（單位：mm）

圖5 單樁模型樁身彎矩結(jié)果對比（單位：kN·m）

圖6 單樁模型樁身剪力結(jié)果對比（單位：kN）

圖7 單樁模型樁周土應(yīng)力結(jié)果對比（單位：kP a）

根據(jù)以上計算結(jié)果，單樁模型中兩種方法計算出的樁身各反應(yīng)結(jié)果最大值差距均小于5.0%，且除樁周土應(yīng)力結(jié)果外，其他反應(yīng)結(jié)果趨勢較一致。

4.2 算例二

群樁模型采用m 法計算的樁身各反應(yīng)結(jié)果見表4。

表4 群樁模型m 法計算結(jié)果

群樁模型采用有限元法計算的樁身各反應(yīng)結(jié)果見表5。

表5 群樁模型有限元法計算結(jié)果

群樁模型采用m 法和有限元法計算的樁身各反應(yīng)結(jié)果對比如圖8～圖11 所示，最大值差距見表6。

表6 群樁模型樁身結(jié)果差距分析

圖8 群樁模型樁基位移結(jié)果對比（單位：mm）

圖9 群樁模型樁身彎矩結(jié)果對比（單位：kN·m）

圖10 群樁模型樁身剪力結(jié)果對比（單位：kN）

圖11 群樁模型樁周土應(yīng)力結(jié)果對比（單位：kP a）

根據(jù)以上計算結(jié)果，群樁模型中兩種方法計算出的樁身各反應(yīng)結(jié)果最大值差距均小于3.0%，且除樁周土應(yīng)力結(jié)果外，其他反應(yīng)結(jié)果趨勢較一致。

5 結(jié)論

（1）m 法和有限元法在計算的樁身各反應(yīng)結(jié)果差距均較小，且除樁周土應(yīng)力外，其他反應(yīng)結(jié)果趨勢基本一致，說明兩種方法計算樁身效應(yīng)均較準確、可靠。

（2）對于樁基水平位移和樁周土應(yīng)力兩項反應(yīng)結(jié)果，在樁基入土深度較大時，m 法和有限元法計算出的差距較大，且趨勢不太一致。這主要是因為m 法在計算過程中未準確計算深度z≥4.0/α（對于單樁模型z≥10.61 m，群樁模型z≥12.94 m）的樁基位移，導(dǎo)致樁基位移計算結(jié)果失真；由于樁周土應(yīng)力σz=mzyz，進而m 法樁周土應(yīng)力計算結(jié)果失真。所以，在樁基深度z≥4.0/α 的樁基位移和樁周土應(yīng)力計算結(jié)果應(yīng)以有限元法計算為準。

（3）在樁基計算有限元建模過程中，應(yīng)注意需將樁基梁單元劃分較細，一般樁基梁單元長度應(yīng)小于等于1.0 m 為宜；否則會因為樁頭彈簧剛度的模擬不準確導(dǎo)致計算結(jié)果與m 法相差較大，導(dǎo)致有限元計算結(jié)果失真。