設(shè)計思維視角下高中數(shù)學(xué)“問題鏈”的建構(gòu)

王飛 王 翔

摘? ? 要：設(shè)計思維具有綜合處理問題能力的性質(zhì)，有助于理解問題產(chǎn)生的背景、催生洞察力及解決方法，并理性地分析和找出最合適的解決方案.以設(shè)計思維為視角建構(gòu)高中數(shù)學(xué)“問題鏈”，需要根據(jù)高中數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，堅持以同理心為核心、以核心知識為主體、以學(xué)生認(rèn)知能力為基礎(chǔ)等原則，整合類別，精準(zhǔn)建構(gòu).如此，可以引領(lǐng)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、設(shè)計問題、構(gòu)建問題、解決問題，從而有效達(dá)成預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)任務(wù).

關(guān)鍵詞：設(shè)計思維;“問題鏈”;高中數(shù)學(xué)

設(shè)計思維具有綜合處理問題能力的性質(zhì)，有助于理解問題產(chǎn)生的背景、催生洞察力及解決方法，并理性地分析和找出最合適的解決方案[1].設(shè)計思維為21世紀(jì)的教育創(chuàng)新提供了一種具有可操作性的實踐框架，它主張面向全員、以生為本，引導(dǎo)學(xué)生踴躍探索知識和知識之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生綜合運(yùn)用多元知識解決問題，高度關(guān)注形象與抽象的平衡、斂聚與發(fā)散的交替、分析與綜合的統(tǒng)一、邏輯與直觀的辯證.那么，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何在設(shè)計思維視角下建構(gòu)數(shù)學(xué)“問題鏈”，根據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識素養(yǎng)和數(shù)學(xué)問題解析能力，將若干相關(guān)數(shù)學(xué)問題經(jīng)過比較、提煉、打磨、整合、建構(gòu)，形成一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的問題鏈條，引領(lǐng)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、設(shè)計問題、構(gòu)建問題、解決問題，從而有效達(dá)成預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)任務(wù)呢？

一、堅持原則，科學(xué)建構(gòu)“問題鏈”

高中數(shù)學(xué)教師建構(gòu)“問題鏈”，要同學(xué)生的數(shù)學(xué)知識素養(yǎng)、思維發(fā)展水平和發(fā)展趨勢相契合，要堅持科學(xué)的建構(gòu)原則，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的積極性、主動性和創(chuàng)造性.建構(gòu)數(shù)學(xué)“問題鏈”一般需要遵循以下原則：

（一）堅持以同理心為核心原則

同理心是以人為中心的設(shè)計思維的核心環(huán)節(jié)，它是定義和解決問題的基礎(chǔ).同理心是“和諧發(fā)展的一般基礎(chǔ)”，要求教師換位思考，將自己設(shè)想成學(xué)生，從學(xué)生的角度建構(gòu)“問題鏈”.因此，授課教師需深入研究學(xué)生認(rèn)知特性的同理、學(xué)困生行為的同理，培育學(xué)生的同理心，注重促進(jìn)學(xué)生知識、思維和情感的統(tǒng)一，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

（二）堅持以核心知識為主體原則

高中數(shù)學(xué)每節(jié)課都有教學(xué)重點(diǎn)，教師在建構(gòu)“問題鏈”時，要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行全面的分析、比較、篩選，確立教學(xué)核心知識，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)核心原理、規(guī)律、思維策略、解決問題的對策等.因此，教師在建構(gòu)“問題鏈”以前，必須充分吃透教材內(nèi)容、認(rèn)真?zhèn)湔n、深入研究.在確定每節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)，明晰學(xué)生學(xué)習(xí)的核心知識點(diǎn)后，再將這些知識點(diǎn)整合為系統(tǒng)式問題，注意必須確保相關(guān)數(shù)學(xué)問題能夠環(huán)環(huán)相套、鏈?zhǔn)竭B接，以便進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考、合作、探究.實驗證明，以問題為導(dǎo)向、以核心知識為主體建構(gòu)的“問題鏈”，能更有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（三）堅持以學(xué)生認(rèn)知能力為基礎(chǔ)原則

認(rèn)知能力是每個人成功完成活動最重要的心理條件.高中數(shù)學(xué)“問題鏈”不是系列數(shù)學(xué)問題的簡單拼湊或疊加，而是根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知水平和知識結(jié)構(gòu)，從大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知能力出發(fā)，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行的系統(tǒng)性、整體性建構(gòu).其目的是激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在潛能，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機(jī)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)期望值，幫助學(xué)生在解決實際問題的過程中，不斷實現(xiàn)個人數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的預(yù)設(shè)目標(biāo).然后再以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步深入理解和熟練破解數(shù)學(xué)“問題鏈”，不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（四）堅持喚醒學(xué)生“認(rèn)知沖突”原則

認(rèn)知沖突是指學(xué)生在認(rèn)知發(fā)展的過程中，因原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與現(xiàn)實情境不相符而導(dǎo)致的心理矛盾或沖突.面對新知識或新問題，學(xué)生能夠利用已有知識經(jīng)驗去解決時，心理上就處于一種平衡狀態(tài);一旦學(xué)生發(fā)現(xiàn)用已有的知識經(jīng)驗無法解決，或新知識與已有知識經(jīng)驗不一致，就會產(chǎn)生認(rèn)知沖突.在教學(xué)過程中，最好運(yùn)用直觀的數(shù)學(xué)實驗、現(xiàn)實生活中的實例來建構(gòu)“問題鏈”.對學(xué)生來說，真實的情境有一種熟悉感、現(xiàn)實感和親切感，能有效地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)欲望，讓他們產(chǎn)生解決問題的興趣.因此，教師應(yīng)盡量創(chuàng)造喚醒學(xué)生“認(rèn)知沖突”的“問題鏈”學(xué)習(xí)情境，讓他們大膽質(zhì)疑并提問，以此引發(fā)深層思考，使其對質(zhì)疑的問題進(jìn)行探索、推理、論證，讓他們真正體驗從生疑到解疑再到獲得能力的經(jīng)驗過程，從而實現(xiàn)建構(gòu)“問題鏈”所要達(dá)成的教學(xué)目的.

（五）堅持啟發(fā)性原則

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是要發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，而不是僅僅讓學(xué)生學(xué)會做題，在各類考試中取得理想的成績.正因為此，基于設(shè)計思維的“問題鏈”，其建構(gòu)的目的也不僅僅是讓學(xué)生學(xué)會分析問題和解決問題，而是要提升學(xué)生的邏輯推理能力，拓寬學(xué)生的思維視角，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，形成更高層次的理性思維.因此，教師在建構(gòu)“問題鏈”前應(yīng)參悟《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求，深入研讀教學(xué)參考章節(jié)，把握教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)，深刻認(rèn)識問題的意義和價值，精準(zhǔn)提煉問題、區(qū)分梯度，要問在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上.教師高度關(guān)注系列問題的簡和繁、松和緊、深和廣、散和聚等區(qū)別與聯(lián)系，按照數(shù)學(xué)思維運(yùn)動的規(guī)律啟發(fā)學(xué)生，就會使“問題鏈”的建構(gòu)具有啟發(fā)性.簡言之，建構(gòu)“問題鏈”要順應(yīng)知識形成和發(fā)展的規(guī)律，不應(yīng)局限于簡單的描述性、記憶性問題，而應(yīng)更多關(guān)注思考性、挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性問題，使學(xué)生能夠在發(fā)現(xiàn)問題、探究問題中得到啟發(fā)，在思維沖突中激起智慧的火花.

（六）堅持開放性原則

毋庸置疑，應(yīng)該建構(gòu)具有開放性的高中數(shù)學(xué)“問題鏈”.因為它既是教學(xué)內(nèi)容的載體，又是推進(jìn)教學(xué)任務(wù)完成的手段;既是展開教學(xué)活動的重要環(huán)節(jié)，又是體現(xiàn)信息傳輸與信息加工的過程.建構(gòu)的開放性的“問題鏈”有時會偏離預(yù)設(shè)的教學(xué)軌道，導(dǎo)致偏差產(chǎn)生的原因是多元的：師生對話與參悟的不精準(zhǔn)，學(xué)生對知識的理解和運(yùn)用不全面，學(xué)生解題或思維的謬誤，學(xué)生對信息加工的紕漏，教師的教學(xué)失誤等.面對可能出現(xiàn)的教學(xué)突發(fā)事件，教師在建構(gòu)“問題鏈”時就必須考慮“問題鏈”的開放性，運(yùn)用教學(xué)智慧和應(yīng)變能力，根據(jù)實際情況靈活調(diào)整預(yù)設(shè)問題，完善或者重新建構(gòu)“問題鏈”，并在保持主要教學(xué)目標(biāo)不變的前提下，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、問題和方法，靈活多變地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

二、整合類別，精準(zhǔn)建構(gòu)“問題鏈”

高中數(shù)學(xué)教師建構(gòu)“問題鏈”，需要基于教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)、教學(xué)手段等，對不同的教學(xué)問題按照不同的類別加以系統(tǒng)整合.這樣才能精準(zhǔn)建構(gòu)不同類別的“問題鏈”.

（一）建構(gòu)引入型“問題鏈”

引入型“問題鏈”是以數(shù)學(xué)的核心知識為基礎(chǔ)，遵循教學(xué)規(guī)律，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，利用生活實例或情景建構(gòu)的.它能夠建立模型，使知識點(diǎn)之間的銜接更加流暢自然，增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知能力，激活并拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而有效地引導(dǎo)教學(xué)的高效推進(jìn).

【案例1】三角函數(shù)起始課“任意角”的教學(xué)

問題1：經(jīng)過小學(xué)和初中對角的學(xué)習(xí)，你們是怎樣理解角的？你們學(xué)過哪些角？請舉例說明.

問題2：從旋轉(zhuǎn)角度去刻畫角的過程中，會新出現(xiàn)什么角？用不等式能表示這些角的范圍嗎？

問題3：現(xiàn)在我有兩塊手表不知什么原因時間出現(xiàn)了誤差，與北京時間相比，分別快、慢10分鐘，你會校正嗎？

問題4：在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會遇到這樣的情景：腳踏動感單車轉(zhuǎn)了100圈，摩天輪在空中轉(zhuǎn)了20圈，機(jī)器的齒輪轉(zhuǎn)動，擰動螺絲的扳手轉(zhuǎn)動等.從數(shù)學(xué)建模的角度看，如何用角去刻畫表征？

問題5：圓周運(yùn)動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象.假如“圓O：x2+y2=r2”上的點(diǎn)P以A（r，0）為起點(diǎn)做逆時針方向的旋轉(zhuǎn)，如何刻畫點(diǎn)P的位置變化？

引入型“問題鏈”需要設(shè)計出學(xué)生耳熟能詳?shù)那榫?，并層層鋪墊與遞進(jìn)，讓學(xué)生體會提煉新知識的過程，從而理解新知識、新概念、新模型的建立背景和適用范圍.

（二）建構(gòu)探究型“問題鏈”

探究型“問題鏈”是為引導(dǎo)學(xué)生自主探索數(shù)學(xué)解題規(guī)律、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)原理，而精心建構(gòu)的富有挑戰(zhàn)性的、蘊(yùn)含創(chuàng)新思維的系列問題.建構(gòu)探究型“問題鏈”，能提升學(xué)生的思維素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與探究能力.

【案例2】“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí)教學(xué)

已知橢圓[C ： x23+y22=1]，直線[l ： y=kx+b（k， b∈R）].

問題1：我們知道直線和橢圓的位置關(guān)系有相離、相切和相交.你能具體給出k，b一組對應(yīng)值，使直線[l]與橢圓[C]相交嗎？

問題2：當(dāng)直線[l]和橢圓[C]相交時，探究k，b應(yīng)滿足什么關(guān)系式？

問題3：若[k+b=1]，直線[l]與橢圓[C]的位置關(guān)系能判斷嗎？

問題4：在問題3的前提下，你能否再添加一個合適的條件，求出直線[l]的方程.

問題5：在問題4的條件下，設(shè)直線[l]與橢圓交于[A]，[B]兩點(diǎn)，你能求出線段[AB]的長嗎？

問題6：問題5中線段[AB]中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率與直線[AB]斜率的積是定值嗎？

探究型“問題鏈”的設(shè)計目的：一是為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力;二是為了解決那些難度較大或靈活性較強(qiáng)的問題.案例2中，把直線與圓錐曲線的核心問題分解成6個相互獨(dú)立，又存在一定交集的問題鏈，能更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度、深度、高度和遠(yuǎn)度，進(jìn)而拓寬學(xué)生做人的胸懷、眼界、意識與格局。

（三）建構(gòu)遷移型“問題鏈”

建構(gòu)遷移型“問題鏈”必須關(guān)注兩個關(guān)鍵因素：一是數(shù)學(xué)語言表達(dá)的內(nèi)在思維遷移;二是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科融合的跨學(xué)科思維遷移.教師建構(gòu)并實施遷移型“問題鏈”，能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)運(yùn)用所學(xué)知識的應(yīng)用環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生從橫向和縱向兩方面解決問題，從而提升學(xué)生的知識遷移能力.

【案例3】以案例2為基礎(chǔ)進(jìn)行變式設(shè)問及追問[2]

問題7：在[△ABC]中，[B（-6， 0）， C（6， 0）]，直線[AB， AC]的斜率之積為[-49]，求頂點(diǎn)[A]的軌跡方程.

問題8：設(shè)[B（-a， 0）， C（a， 0）， a>0]，直線[AB， AC]相交于點(diǎn)[A]，且它們的斜率之積為

問題9：設(shè)[B（-a， 0）， C（a， 0） ， a>0]，直線[AB， AC]相交于點(diǎn)[A]，且它們的斜率之積為[λ（λ≠0）]，求點(diǎn)[A]的軌跡方程.

問題10：若[B，C]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]長軸的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)[A]是橢圓上異于[B， C]兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線[AB]與[AC]的斜率分別為[kAB， kAC]，求[kAB?kAC]的值.（待學(xué)生求出[kAB?kAC]的值后，再追問其與橢圓的離心率有何關(guān)系.）

問題11：橢圓方程為[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，若過原點(diǎn)的一條直線與橢圓交于[B， C]兩點(diǎn)，點(diǎn)[A]為橢圓上異于[B， C]兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線[AB]與[AC]的斜率分別為[kAB，kAC]，求[kAB?kAC]的值.

問題12：點(diǎn)[A， B， C]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上任意的三個點(diǎn)，若[kAB?kAC=-b2a2]（追問時改成[e2-1， e]為橢圓的離心率），問直線[BC]是否恒經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？

問題13：已知橢圓方程為[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于[B， C]兩點(diǎn)，其中點(diǎn)[B]在第一象限，過點(diǎn)[B]作[x]軸的垂線，垂足為[D]，連結(jié)[CD]并延長交橢圓于點(diǎn)[A]，求[kAB?kBC]的值，并指出它與問題10，11中的[kAB?kAC]的大小關(guān)系？

問題14：你知道圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)嗎？請課后分組研究，從是什么、為什么、生活中的應(yīng)用這三個維度展開自己的研究.

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考必考內(nèi)容，也是一個重難點(diǎn)內(nèi)容，它既能考查學(xué)生對直線與圓錐曲線位置關(guān)系的理解層次，又能考查學(xué)生的計算能力，還能發(fā)展學(xué)生的思維遷移能力.范例中構(gòu)建的“問題鏈”立足基礎(chǔ)，步步遷移加深：由直線方程遷移到斜率積，再遷移至離心率等諸多數(shù)學(xué)內(nèi)部知識規(guī)律，最后遷移至生活實踐應(yīng)用.

（四）建構(gòu)歸納型“問題鏈”

歸納型“問題鏈”主要是為喚醒學(xué)生的知識記憶、形成系統(tǒng)知識結(jié)構(gòu)而建構(gòu)的“問題鏈”，目的是幫助學(xué)生梳理和整合各章節(jié)中零散的知識點(diǎn)，讓學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行過程性或階段性的重新組合、歸類和總結(jié)，從而建構(gòu)出一個更加完善的系統(tǒng)化知識網(wǎng)絡(luò).

【案例4】“三角形”復(fù)習(xí)課（第一課時）

問題1：三角形三條邊有怎樣的關(guān)系？

問題2：三角形三個角之間有怎樣的關(guān)系？

問題3：三角形的邊與角有怎樣的關(guān)系？

問題4：正弦定理是如何敘述的？你能證明嗎？

問題5：什么類型的斜三角形適合用正弦定理去解？試舉例說明.

[追問]在[△ABC]中，[AD]是[∠BAC]的平分線，你能得到什么樣的等量關(guān)系？

問題6：余弦定理是如何敘述的？你能證明嗎？

問題7：什么類型的斜三角形適合用余弦定理去解？試舉例說明.

[追問] 1.你能用余弦定理推導(dǎo)三角形中線長度公式嗎？2.你能敘述并證明三角形中的射影定理嗎？

問題8：你能用正余弦定理推導(dǎo)三角形面積公式嗎？

問題9：你了解數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)的“三斜求積”和古希臘數(shù)學(xué)家海倫的求三角形面積公式嗎？

問題10：完成本章的思維導(dǎo)圖.

正余弦定理是解決三角形問題的核心知識，是整個三角函數(shù)模塊的重要內(nèi)容，其定理有很多應(yīng)用，且各定理之間密切相關(guān).如果能把這類問題梳理清楚，重新建構(gòu)各知識點(diǎn)之間的相互關(guān)系，學(xué)生就可以系統(tǒng)、全面地理解知識之間的關(guān)系，提高分析、歸納、整合、建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)的能力，形成解決數(shù)學(xué)問題的能力.

德國數(shù)學(xué)家希爾伯特說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂.”思想源于思維，“設(shè)計思維走進(jìn)校園”是由斯坦福大學(xué)提出的基礎(chǔ)教育倡議項目，目前國內(nèi)外對于設(shè)計思維在教育領(lǐng)域的應(yīng)用研究尚處于起步階段.基于設(shè)計思維的高中數(shù)學(xué)“問題鏈”的建構(gòu)，需要堅持“問題鏈”的建構(gòu)原則，強(qiáng)化“問題鏈”類型的研究和剖析，高效整合數(shù)學(xué)課程資源，拓展數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的容量，提高學(xué)生明辨、慎思、探究、應(yīng)用等學(xué)習(xí)的質(zhì)量，努力讓每個學(xué)生都成為心智自由的學(xué)習(xí)者，實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)持續(xù)、健康、高質(zhì)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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