等截面波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁自振特性

張紫辰，王根會(huì)，樊 江，金學(xué)軍

（1.蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070；2.甘肅省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院股份有限公司，甘肅蘭州 730070）

自1986年法國(guó)建成世界上第1座波紋鋼腹板組合箱梁橋—Cognac 橋以來(lái)，波紋鋼腹板組合梁橋在各國(guó)公路、鐵路以及城市軌道交通建設(shè)領(lǐng)域得到了長(zhǎng)足的發(fā)展［1-3］，如日本黑部川鐵路橋即為該類(lèi)結(jié)構(gòu)［4］。然而，傳統(tǒng)波紋鋼腹板組合箱梁在正彎矩作用下，易出現(xiàn)混凝土底板受拉開(kāi)裂的病害。為此，國(guó)內(nèi)學(xué)者提出了波紋腹板鋼箱組合梁橋，這種新型組合結(jié)構(gòu)采用平鋼板取代了傳統(tǒng)波紋鋼腹板組合箱梁的混凝土底板，充分利用了混凝土頂板抗壓、鋼底板抗拉以及波紋鋼腹板抗剪屈服強(qiáng)度高等優(yōu)點(diǎn)，有效解決了溫度應(yīng)力和收縮、徐變等因素帶來(lái)的結(jié)構(gòu)病害，進(jìn)一步減輕了結(jié)構(gòu)自重，增大了橋梁的跨越能力［5］。由于我國(guó)地形復(fù)雜、幅員遼闊，因而該類(lèi)橋型在我國(guó)公路和鐵路建設(shè)中具有廣闊的應(yīng)用前景。但是由于受剪力滯后、剪切變形和褶皺效應(yīng)的影響，波紋鋼腹板組合橋梁的受力非常復(fù)雜。近年來(lái)，通過(guò)眾多學(xué)者的不懈努力，傳統(tǒng)波紋鋼腹板組合橋梁靜、動(dòng)力學(xué)性能的研究日趨完善，許多成果已應(yīng)用于該類(lèi)橋梁的設(shè)計(jì)中［6-10］。但是針對(duì)這種新型的波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁橋自振特性的研究還不多見(jiàn)［11-12］，由于該類(lèi)新型組合結(jié)構(gòu)質(zhì)量主要集中在箱梁的頂板，因而其中性軸上移，與傳統(tǒng)波紋鋼腹板組合箱梁相比，新型組合結(jié)構(gòu)的自振特性與之存在較大差異［13］，因此，波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁橋自振特性的研究就顯得更為重要。

本文基于能量變分原理，綜合考慮剪力滯、褶皺效應(yīng)、剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，推導(dǎo)波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁橋的動(dòng)力學(xué)彈性控制微分方程和自然邊界條件，結(jié)合模型試驗(yàn)和有限元數(shù)值模擬對(duì)波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁橋的自振特性進(jìn)行分析。

1 振動(dòng)方程的建立與求解

圖1 為波紋鋼腹板的波折形狀圖。其中：tw為波紋腹板厚度；hw為波紋腹板高度；L1為平板長(zhǎng)度；L2為斜板長(zhǎng)度；δ 為波折角。波形鋼腹板有效剪切模量Gw計(jì)算式［14］為

圖1 波紋鋼腹板形狀示意圖

式中：Es為鋼材彈性模量；υs鋼材泊松比。

新型波紋腹板鋼箱組合梁由混凝土頂板、鋼底板以及波紋鋼腹板組成，如圖2 所示。圖中：b2為懸臂板寬度；t1為上翼板混凝土厚度；2b1為混凝土頂板寬度；t2為鋼底板厚度；h1和h2分別為頂板和底板的中心到形心軸的距離；z 軸為組合箱梁的高度方向；y軸為組合箱梁的寬度方向。

圖2 波紋鋼腹板組合箱梁

理論計(jì)算時(shí)，采用換算截面法將組合箱梁混凝土頂板換算為等效鋼板，換算后的等效頂板厚度td和換算后等效頂板材料質(zhì)量密度ρd分別為

式中：Ec為混凝土彈性模量；ρc為混凝土質(zhì)量密度。

在對(duì)稱彎曲狀態(tài)下設(shè)結(jié)構(gòu)的跨度為l，截面豎向動(dòng)撓度為w(x，t)，為準(zhǔn)確描述其位移，引入截面軸向動(dòng)位移函數(shù)Z(x，y，z，t)；考慮剪切變形的影響，則箱梁頂板軸向位移Z1(x，y，z，t)、箱梁懸臂板軸向位移Z2(x，y，z，t) 和底板軸向位移Z3(x，y，z，t)可分別表示為

式中：v1(x，t)為自由振動(dòng)時(shí)頂、底板的縱向動(dòng)位移差函數(shù)；v2(x，t)為自由振動(dòng)時(shí)懸臂板的縱向動(dòng)位移差函數(shù)；θ(x，t)為箱形截面相對(duì)于y軸的豎向動(dòng)轉(zhuǎn)角。

頂板、懸臂板以及底板的應(yīng)變能Uk為

式中：Gs為鋼材剪切模量。

組合箱梁振動(dòng)時(shí)的外力勢(shì)能Up為

式中：M(x，t)為x截面的動(dòng)彎矩。

波紋鋼腹板剪切應(yīng)變能Uf為

式中：Aw為波形鋼腹板的橫截面積。

組合箱梁總勢(shì)能U為

結(jié)構(gòu)總動(dòng)能T為

其中，

式中：A1和A2分別為U 形鋼槽和等效鋼頂板的橫截面積；Isu1，Isu2和Isb分別為組合箱梁頂板、懸臂板和底板對(duì)中性軸的慣性矩；ρs為鋼材的質(zhì)量密度。

式中：I 為組合箱梁上下翼板對(duì)中性軸的慣性矩；I1為組合箱梁頂板和底板對(duì)中性軸的慣性矩；I2為組合箱梁懸臂板對(duì)中性軸的慣性矩；字母上的“·”表示對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)；字母上的“'”“″”表示對(duì)x求偏導(dǎo)。

同理，可得組合箱梁自然邊界條件方程為

根據(jù)組合箱梁的自由振動(dòng)特點(diǎn)，令

式中：W(x)為豎向撓度的廣義位移函數(shù)；Ο(x)為豎向動(dòng)轉(zhuǎn)角的廣義位移函數(shù)；V1(x)為頂、底板縱向位移差函數(shù)的廣義位移函數(shù)；V2(x)為懸臂板縱向位移差函數(shù)的廣義位移函數(shù)；ω 和φ 分別為組合箱梁自由振動(dòng)的圓頻率和初始相位角。

將式（14）代入式（12）后整理可得

其中，

對(duì)式（15）求解可知，其特征方程的解為

式中：α1，α2，α3和α4為解的實(shí)部；β1，β2，β3和β4為解的虛部。

根據(jù)微分方程的性質(zhì)，可得式（15）的解為

式中：C1—C8為積分待定常數(shù)，由相應(yīng)邊界條件確定。

由常微分方程組性質(zhì)和恒等式原理，最終得到Ο(x)和Vj(x)（j=1，2）的解為

其中，

如圖3 所示的等截面連續(xù)組合箱梁，若n 跨連續(xù)組合箱梁的跨距分別為l1，···，li，···，ln，且每跨的剛度和質(zhì)量分布均勻，則有

圖3 等截面連續(xù)組合箱梁

式中：Vi-1(1)(x)為第i-1 跨的組合箱梁頂、底板縱向位移差函數(shù)的廣義位移函數(shù)；Vi-1(2)(x)為第i-1 跨的組合箱梁懸臂板縱向位移差函數(shù)的廣義位移函數(shù)。

將W(x)，Ο(x)，V1(x)和V2(x)及其求導(dǎo)式代入連續(xù)梁邊界條件得到關(guān)于積分待定常數(shù)的特征矩陣方程

式中：δn為對(duì)應(yīng)邊界條件下積分待定常數(shù)矩陣；Bn為與積分待定常數(shù)相對(duì)應(yīng)的關(guān)于ω的函數(shù)矩陣。

式（21）要有非零解，由于δn不恒為零，則要|Bn|=0，利用MATLAB軟件對(duì)其行列式求解，即可得到連續(xù)組合箱梁對(duì)應(yīng)各階豎向振動(dòng)的圓頻率。

波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁豎向振動(dòng)的圓頻率ω轉(zhuǎn)化成豎向振動(dòng)頻率f的計(jì)算式為

2 驗(yàn) 證

2.1 模型梁試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁振動(dòng)方程及其閉合解的有效性，設(shè)計(jì)制作了2 跨等截面波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁模型，其橫截面形狀如圖1所示。梁高0.45 m，跨徑為（3+3） m，b1=0.3 m，b2=0.25 m，t1=0.05 m，t2=4 mm。組合箱梁頂板混凝土材料按照C50混凝土設(shè)計(jì)，波形鋼腹板和底板均采用Q345 鋼，共設(shè)置了2 道端橫隔板和5道中橫隔板，模型試驗(yàn)梁如圖4所示。波紋鋼腹板厚度為3 mm，波紋鋼腹板構(gòu)造示意圖如圖5所示。

圖4 模型試驗(yàn)梁立面布置圖（單位：cm）

圖5 模型試驗(yàn)梁（單位：mm）

采用瞬態(tài)激振法對(duì)連續(xù)組合梁自振特性進(jìn)行測(cè)試，在沖擊錘端部配置不同硬度的錘頭進(jìn)行錘擊，沖擊力錘與錘擊點(diǎn)的接觸時(shí)間不同，其范圍為0.001～0.005 s。采樣頻率為512 Hz。為避免所關(guān)心頻率的丟失，沖擊荷載的位置根據(jù)結(jié)構(gòu)的振型確定，應(yīng)避免敲擊點(diǎn)設(shè)置在結(jié)構(gòu)前幾階模態(tài)振型的結(jié)點(diǎn)上。根據(jù)本試驗(yàn)?zāi)Ｐ驼裥偷挠?jì)算分析結(jié)果，豎向拾振器及激振點(diǎn)布置如圖6所示。

圖6 模型試驗(yàn)梁豎向拾振器及激振點(diǎn)布置圖（單位：cm）

試驗(yàn)中保持激勵(lì)位置不變，調(diào)節(jié)量程范圍，使用適當(dāng)?shù)那脫袅υ诩?lì)位置進(jìn)行多次敲擊，利用DH5922 動(dòng)態(tài)信號(hào)采集儀采集測(cè)點(diǎn)位置的加速度響應(yīng)信號(hào)，通過(guò)東華DHDAS信號(hào)測(cè)試分析系統(tǒng)進(jìn)行FFT 譜分析后得到試驗(yàn)梁的自振特性，模型試驗(yàn)梁動(dòng)力測(cè)試圖如圖7所示。

圖7 模型試驗(yàn)梁動(dòng)力測(cè)試圖

2.2 模型梁的有限元模型建立

采用有限元分析軟件ANSYS 建立波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁有限元模型［16］，如圖8 所示，其中混凝土頂板及橫隔板采用SOLID65 單元模擬，波紋鋼腹板和鋼底板選用SHELL63 單元模擬，波形鋼腹板和混凝土板的連接利用MPC（Multipoint Constraints）技術(shù)進(jìn)行處理，波紋鋼腹板和鋼底板的連接利用布爾操作的GLUE 命令粘接；波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁有限元模型的邊界條件為：模型2 端采用活動(dòng)鉸支座，即對(duì)2 端鋼箱最底下的1 排節(jié)點(diǎn)的Y和Z方向位移進(jìn)行約束；中間采用固定鉸支座，即對(duì)中間鋼箱最底下的一排節(jié)點(diǎn)的X，Y 和Z方向位移進(jìn)行約束。

圖8 組合箱梁有限元模型

2.3 結(jié)果對(duì)比

波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁的頻率測(cè)試結(jié)果如圖9 所示。運(yùn)用本文閉合解計(jì)算該連續(xù)組合箱梁前4 階豎向彎曲振動(dòng)頻率f1，所得結(jié)果與鐵摩辛柯梁理論解f2、有限元解f3和模型試驗(yàn)值f4進(jìn)行對(duì)比，由于ANSYS 模型中鋼板選用SHELL63單元模擬，在計(jì)算豎向彎曲頻率中高階振型夾雜了鋼板局部振動(dòng)的因素，根據(jù)有限元分析結(jié)果，選取局部振動(dòng)影響較小的前3 階組合箱梁豎向頻率，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 連續(xù)組合箱梁振動(dòng)頻率對(duì)比

圖9 頻率測(cè)試結(jié)果

從表1 可以看出：本文閉合解計(jì)算所得2 跨連續(xù)組合箱梁彎曲振動(dòng)頻率與有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值吻合較好，說(shuō)明本文振動(dòng)方程及其閉合解的建立是正確性，考慮剪力滯效應(yīng)影響后組合箱梁豎向各階固有頻率值皆呈減小趨勢(shì)，且對(duì)高階頻率影響較大，連續(xù)組合箱梁第4 階頻率的剪力滯貢獻(xiàn)達(dá)11.76%，因而在計(jì)算此類(lèi)結(jié)構(gòu)高階頻率時(shí)剪力滯效應(yīng)不可忽略。

為進(jìn)一步驗(yàn)證采用換算截面法分析波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁橋自振特性的可行性，將文中模型試驗(yàn)組合梁的鋼底板按照等剛度法換算為混凝土板，利用本文閉合解結(jié)合其他方法計(jì)算波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁與傳統(tǒng)波紋鋼腹板組合連續(xù)梁（底板為混凝土板）的自振頻率和模態(tài)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 2種波紋腹板組合連續(xù)梁豎向自振特性對(duì)比

從表2 可以看出：按照等剛度法得到的傳統(tǒng)波紋鋼腹板組合連續(xù)梁與波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁豎向振型特征完全一致，但其各階頻率值均小于波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁，這主要是由于剛度相同時(shí)，采用混凝土底板的組合箱梁質(zhì)量大于鋼底板組合箱梁，因而相應(yīng)自振頻率也會(huì)減小，說(shuō)明采用換算截面法分析波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁橋的自振特性在理論上是可行的。

3 等截面波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁的自振特性影響

3.1 寬跨比

為研究寬跨比（2b1/l）對(duì)波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁橋自振特性的影響，選取上述2 跨連續(xù)組合箱梁模型，控制其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，當(dāng)跨徑l 分別取2，3（模型尺寸），4 和5 m 時(shí)，對(duì)應(yīng)的寬跨比（2b1/l）分別為0.30，0.20，0.15，0.12。按照本文理論及鐵摩辛柯梁理論計(jì)算模型梁前4階豎向彎曲振動(dòng)頻率f1和f2隨寬跨比的變化情況，結(jié)果如圖10所示。

圖10 2跨連續(xù)組合箱梁在不同寬跨比下的頻率對(duì)比

從圖10 可以看出：剪力滯效應(yīng)對(duì)連續(xù)組合箱梁各階頻率的影響隨寬跨比（2b1/l）的增大而變大，當(dāng)寬跨比2b1/l=0.30 時(shí)，組合箱梁1～4 階豎向自振頻率的差值比由5.48%增至15.54%，說(shuō)明剪力滯效應(yīng)對(duì)其自振頻率的影響隨階數(shù)的升高而趨強(qiáng)；當(dāng)2b1/l 在0.12～0.30 時(shí)，僅考慮剪切變形的鐵摩幸柯理論與本文理論方法所得組合箱梁基頻結(jié)果基本一致，最大誤差為5.84%，說(shuō)明此時(shí)在實(shí)際工程中計(jì)算其豎向基頻時(shí)直接采用鐵摩幸柯理論即可。

3.2 褶皺效應(yīng)

考慮褶皺效應(yīng)對(duì)組合箱梁自振特性的影響，將如圖1 所示組合箱梁的波紋腹板變?yōu)榈群穸鹊钠戒摳拱?，其他結(jié)構(gòu)尺寸不變，運(yùn)用本文理論計(jì)算不同腹板類(lèi)型組合箱梁的自振頻率，結(jié)果見(jiàn)表3。表中：fp為平鋼腹板組合箱梁頻率值；fb為波紋腹板組合箱梁頻率值；η為褶皺效應(yīng)。

表3 褶皺效應(yīng)對(duì)連續(xù)組合箱梁振動(dòng)頻率的影響

褶皺效應(yīng)的計(jì)算式為

從表3 可以看出：波紋腹板組合箱梁前4 階豎向振動(dòng)頻率均小于平鋼腹板組合箱梁，1 階—4 階豎向自振頻率的褶皺效應(yīng)由5.04%增至8.03%，說(shuō)明受褶皺效應(yīng)的影響，波紋腹板組合箱梁的豎向剛度減小，且頻率階數(shù)越高，褶皺效應(yīng)的影響越大。

3.3 鋼底板厚度

以本文制作的2 跨連續(xù)組合箱梁為例，控制其他結(jié)構(gòu)參數(shù)及跨度不變，分別將其鋼底板的厚度取為2，3，4 模型尺寸），5，6，7 和8 mm，按照本文理論計(jì)算前4階豎向自振頻率值隨鋼底板厚度的變化情況，結(jié)果如圖11所示。

圖11 連續(xù)組合箱梁振動(dòng)頻率隨鋼底板厚度變化

從圖11可以看出：增加鋼底板厚度，2跨連續(xù)組合箱梁各階頻率值逐漸增大，說(shuō)明增加鋼底板厚度有利于提升結(jié)構(gòu)整體剛度，底板厚度從2 mm 增至8 mm 時(shí)，結(jié)構(gòu)前4 階頻率依次增大了11.34%，10.27%，10.02%，9.83%，9.66%，9.32% 和8.78%。由此可見(jiàn)底板厚度的變化對(duì)2 跨連續(xù)組合箱梁1階頻率的影響較大，對(duì)其高階頻率的影響趨勢(shì)減弱，所以工程實(shí)際中應(yīng)結(jié)合經(jīng)濟(jì)性合理選擇鋼底板厚度，以改善組合橋梁自振特性。

4 本文解析法與現(xiàn)行規(guī)范比較

根據(jù)規(guī)范［18］中關(guān)于連續(xù)梁橋豎向基頻的規(guī)定，當(dāng)計(jì)算連續(xù)梁的沖擊力引起的正彎矩效應(yīng)時(shí)，基頻f11估算公式為

當(dāng)計(jì)算連續(xù)梁的沖擊力引起的負(fù)彎矩效應(yīng)時(shí)，基頻f22估算公式為

式中：E 為結(jié)構(gòu)材料的彈性模量；Ic為結(jié)構(gòu)跨中截面的截面慣性距；mc為結(jié)構(gòu)跨中處的單位長(zhǎng)度質(zhì)量。

以本文制作的2 跨連續(xù)組合箱梁為例，采用式（24）和式（25）分別計(jì)算其基頻f11和f22，并將計(jì)算結(jié)果與本文解析法所得頻率f1進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 連續(xù)組合箱梁豎向基頻對(duì)比Hz

從表4 可以看出：采用規(guī)范公式計(jì)算2 跨連續(xù)組合箱梁基頻與本文理論計(jì)算的基頻相差較大，差值分別為57.69%和173.91%，顯然，用規(guī)范公式計(jì)算波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁的自振頻率偏大，但這樣計(jì)算所得的沖擊效應(yīng)也會(huì)偏大，對(duì)于橋梁設(shè)計(jì)將偏于安全。

5 結(jié) 論

（1）以能量變分法和Hamilton 原理為基礎(chǔ)，提出一種能夠準(zhǔn)確分析波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁自振特性的解析法，計(jì)算結(jié)果與模型試驗(yàn)值和有限元數(shù)值解吻合良好，進(jìn)而驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

（2）按照等剛度法得到的傳統(tǒng)波紋鋼腹板PC組合連續(xù)梁與波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁豎向振型特征完全一致，但其各階頻率值均小于波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁，表明采用換算截面法計(jì)算波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁的自振特性在理論上是可行的。

（3）忽略剪力滯效應(yīng)時(shí)，波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁各階頻率值普遍較大，說(shuō)明剪力滯效應(yīng)降低了組合箱梁的豎向剛度，隨著頻率階數(shù)升高，剪力滯效應(yīng)的影響增大；剪力滯效應(yīng)對(duì)連續(xù)組合箱梁自振頻率的影響隨寬跨比的增大而變大，實(shí)際工程中當(dāng)組合箱梁寬跨比在0.12～0.30 時(shí)，可直接采用鐵摩幸柯理論計(jì)算其豎向基頻。

（4）受褶皺效應(yīng)的影響，波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁的自振頻率減小，且階數(shù)越高，褶皺效應(yīng)的影響越大；底板厚度的增加對(duì)2 跨連續(xù)組合箱梁1 階頻率的影響較大，對(duì)其高階頻率的影響趨勢(shì)減弱；采用規(guī)范公式計(jì)算波紋腹板鋼箱組合連續(xù)梁的自振頻率將偏于安全。