基于改進Jensen不等式的中立型時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

楊明明， 邵 荃，丁 嘯

（1.南京航空航天大學民航學院，南京 210016；2.上海農(nóng)村商業(yè)銀行總行，上海 201210）

時滯現(xiàn)象是引起系統(tǒng)振動和不穩(wěn)定的關鍵因素，在工業(yè)過程、神經(jīng)網(wǎng)絡等實際生產(chǎn)生活中隨處可見.近年來，許多學者對于時變時滯系統(tǒng)的區(qū)間顯著性過程進行了大量的研究.He等［1］推動了最初的區(qū)間變時滯的發(fā)展，確定了基本的穩(wěn)定性判據(jù)，并在文獻［2］通過自由權矩陣方法，提出了有關區(qū)間時變時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡更低保守性的研究成果.文獻［3-7］使用的自由權矩陣方法和Jensen積分不等式對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性進行進一步研究.文獻［8-11］通過結合構造新的Lyapunov函數(shù)進一步改善了時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性結論.彭丹和華長春［12］通過引入2-D Jensen不等式并結合Lyapunov函數(shù)給出了新的時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性準則.孫欣、高躍［13-14］將Writinger積分不等式應用于時滯系統(tǒng)，證明其與Jensen不等式相比有更低的保守性.

本文基于現(xiàn)有時滯系統(tǒng)的研究成果，通過將Jensen不等式轉化為保守性更低的Wirtinger型不等式，并構建新的Lyapunov-Krasovskii泛函，結合自由權矩陣得到了基于線性矩陣不等式形式（Linear matrix inequality，LMI）的時滯系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的新判據(jù)并進行了證明.

1 基本概念

1.1 Jensen不等式

Jensen不等式是反映凸函數(shù)的基本不等式，對于任意常數(shù)矩陣M∈Rm×m，M=MT>0，標量γ>0，向量函數(shù)[0 ,γ]→Rm有以下Jensen積分不等式：

1.2 Wirtinger型不等式

與Jensen不等式相比，Wirtinger不等式的保守性更?。?3］.因此本文對Jensen不等式進行改進，得到新的Wirtinger型不等式.

Wirtinger不等式的形式為：對于任意常數(shù)矩陣M∈Rm×m，M=MT>0，向量函數(shù)[0 ,γ]→Rm有：

1.3 自由權矩陣

利用Park不等式或Moon不等式結合模型變換是解決時滯問題的主要方法，即在穩(wěn)定性分析過程中用Leibniz-Newton公式來取代Lyapunov-Krasovskii泛函導數(shù)中的時滯項，即使用固定權矩陣來處理Leibniz-Newton公式間各項的關系，無法取代所有的時滯項，存在極大的局限性.

因此，為了克服固定權矩陣的保守性，自由權矩陣方法被引入用來表示Leibniz-Newton公式中各項的相互關系.通過求解LMI進行自由權矩陣優(yōu)化，獲得具有較低保守性的時滯相關穩(wěn)定條件.自由權矩陣方法在處理Lyapunov-Krasovskii泛函導數(shù)時，不利用交叉項界定技術或模型變換，而是將x?(t)用系統(tǒng)方程x?(t)=Ax(t)+Ad x(t-h(t))替換后將該式左側恒為零值的項加入Lyapunov-Krasovskii泛函導數(shù)中，從而得到時滯相關的穩(wěn)定條件：

其中N1,N2是自由的，其最優(yōu)值通過LMI的解求出，從而避免了固定權矩陣方法導致的高保守性.

2 穩(wěn)定性分析

2.1 問題描述

考察以下中立型時滯系統(tǒng)：

其中，x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)向量，0≤h1≤h(t)≤h2，h12=h2-h1，且φ(t)∈C1(h2)為連續(xù)可微函數(shù)，定義域為[- 2h2,0].

2.2 改進的Jensen不等式

證明

可以發(fā)現(xiàn)，

可推得：

即定理1得證.

2.3 時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

做如下定義：

相應地分塊矩陣如下：

則該時滯系統(tǒng)可寫作：

定理2 若存在矩陣P∈Rn×n，Q1∈Rn×n，Q2∈Rn×n，Q3∈Rn×n，R1∈Rn×n，R2∈Rn×n，滿足線性矩陣Ξ<0，那么中立型時滯系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的.

證明 構造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函：

依次求導后可得：

由定理1可推知：

構造線形矩陣Ξ：

可得：

當Ξ<0時，V?(t)<0，即時滯系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的.

引入自由權矩陣，定義

其相應的分塊矩陣如下：

那么時滯系統(tǒng)有如下自由權不等式：

其中M為任意的合適維數(shù)的矩陣.結合該自由權不等式及定理2，可得定理3.

定理3 若存在矩陣P∈Rn×n，Q1∈Rn×n，Q2∈Rn×n，Q3∈Rn×n，R1∈Rn×n，R2∈Rn×n以及任意的M∈R8n×n，滿足線性矩陣Ξ<0，時滯系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的.

其中：

3 結論

本文以中立型時滯系統(tǒng)作為研究對象，將Jensen不等式進一步構建成為保守性更低的Wirtinger型積分不等式，利用Lyapunov第二方法構造新的Lyapunov-Krasovskii泛函，并引入自由權矩陣來表示Leibniz-Newton公式中各項之間的關系，最終得到了保守性更低的時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù).