一類雙變量幾何概型題的探究

中山市桂山中學(xué)(528463)蔡曉波

幾何概型中的雙變量類型的題目是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點,本文以人教版必修3 第142 頁[1]的一道習(xí)題為例對其進(jìn)行變式探究.

一、課本題目與解答

題目甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？? 個小時,假定他們在一晝夜的時間段中隨機(jī)地到達(dá),試求這兩艘船中至少一艘在?？坎次粫r必須等待的概率.

分析1甲乙兩艘輪船均是隨機(jī)到達(dá),故將甲乙兩艘船到達(dá)時間分別視作x,y,故問題轉(zhuǎn)化為僅需根據(jù)題意列出x,y的約束條件和題目要求的關(guān)于x,y的目標(biāo)不等式即可求解.

解法1設(shè)甲到達(dá)泊位的時間為x,乙到達(dá)泊位的時間為y,依題意可得:而這兩艘船中至少一艘在?？坎次粫r必須等待等價于|x?y|<6,即?6

圖1

分析2此題有2 個變量,故我們可用主元的思想來達(dá)到降低變量的個數(shù),這兩艘船中至少一艘在?？坎次粫r必須等待實際上包含2 種情況:①乙船先到且甲必須等待;②甲船先于或者同于乙船到達(dá)且乙必須等待.且由對稱性可知這2 種情況概率相等,故僅需分析其中一種情況即可.古典概型中,我們可以把滿足要求的情況相加除以總情況得出,而幾何概型是連續(xù)不斷的,而積分正好是用于“連續(xù)不斷相加”的有力工具,故可以結(jié)合積分來解決該問題.

解法2設(shè)故這兩艘船中至少一艘在停靠泊位時必須等待的概率為P,乙船先到且甲必須等待的概率為P1

根據(jù)甲乙到達(dá)時間的對稱性可得P=2P1,設(shè)甲到達(dá)泊位的時間為x,乙到達(dá)泊位的時間為m,故0 ≤x <24,0 ≤m<24,當(dāng)0 ≤m≤18 時,則x∈[m,m+6)時必須等待,此時甲需等待的概率為當(dāng)18

此題既考查了學(xué)生的幾何概型的知識又考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的能力和線性規(guī)劃的相關(guān)知識,有一定的綜合性,故對于初學(xué)者有一定難度.筆者對此題做了如下的變式探究,供同行參考,望批評指正.

二、題目變式

約定:在下列解題過程中,均設(shè)甲到達(dá)泊位的時間為x,乙到達(dá)泊位的時間為y.

(一)兩船停靠時長的變式探究

思考1課本的題目是已知?？繒r長,求概率,那么如果知道概率能否求時長呢?為了方便理解,我們對概率賦予特定的已知值得到如下變式:

變式1甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？縨(0

圖2

圖3

根據(jù)變式2 可知滿足要求的m,n在以(24,24)為圓心半徑為24 的圓的外部,且在邊長為24 的正方形的內(nèi)部,故本變式可以進(jìn)一步做如下變式:

(二)到達(dá)時段的變式探究

思考2課本的題目規(guī)定了甲乙兩艘輪船都在同一晝夜的時間段中隨機(jī)到達(dá),且?？繒r間相同,那么如果兩艘船到達(dá)的時間段不同或者?？繒r間均不相同又該怎么解呢?如果已知等待的概率,對于兩艘船到達(dá)的時間段與?？繒r長又有何要求呢?筆者對以上問題做了探究,為了方便理解,我們均對已知條件相關(guān)數(shù)據(jù)賦予特殊值,得到如下變式:

變式4甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?甲需要?？? 小時,乙需要?？? 小時,假定甲船在凌晨8 點到下午14 點之間隨機(jī)到達(dá),乙船在同一晝夜的凌晨9 點到下午15點之間隨機(jī)到達(dá),求這兩艘船中至少一艘在停靠泊位時必須等待的概率.

圖4

圖5

一個自然的問題是:如果甲乙當(dāng)中一艘船可能到達(dá)的時間段固定,另一艘船可能到達(dá)的時間段不固定,那么兩艘船中至少一艘在?？坎次粫r必須等待的概率隨著另一艘船到達(dá)時間段的改變有何變化呢?基于以上思考,可得如下變式:

變式5甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?甲需要?？? 小時,乙需要?？? 小時,假定甲船在凌晨8 點到下午14 點之間隨機(jī)到達(dá),乙船在同一晝夜的24 小時內(nèi)的時間段[m,m+6)(0 ≤m<18)內(nèi)隨機(jī)到達(dá),求這兩艘船中至少一艘在停靠泊位時必須等待的概率的取值范圍.

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

注在本變式中,甲船與乙船可能到達(dá)的時間段長度均為6,此時x,y的總情況在坐標(biāo)軸中恰為一個正方形,因此使得對m分類情況不會過多.此外,通過改變甲船和乙船的等待時間亦可增加或者減少分類情況,讀者可以通過修改值和甲乙兩船等待時間去體驗一下.

變式6甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?甲需要?？? 小時,乙需要?？? 小時,假定甲船在24 小時內(nèi)的時間段[n,n+6)(0 ≤n <18)內(nèi)隨機(jī)到達(dá),乙船在同一晝夜24小時內(nèi)的時間段[m,m+6)(0 ≤m <18)內(nèi)隨機(jī)到達(dá),已知這兩艘船中至少一艘在?？坎次粫r必須等待的概率不超過,求m,n必須滿足的條件.

分析此時x,y的總情況為:是一個會“動”的正方形,且邊長均為6,故可以利用變式5 的結(jié)論來解決本變式.

解題意可得是一個邊長均為6 的正方形,設(shè)為正方形ABCD,且四點坐標(biāo)分別為:A(n,m),B(n+6,m),C(n+6,m+6),D(n,m+6),而這兩艘船中至少一艘在?？坎次粫r必須等待必須滿足:0 ≤y?x<2 或0

由變式5 可知ABCD與區(qū)域Q共有7 種位置關(guān)系.設(shè)這兩艘船中至少一艘在停靠泊位時必須等待的概率為P,故由變式5 可得當(dāng)點A,C恰好落在直線x?y+2=0 或者x?y?1=0 上時,當(dāng)點A,C在直線x?y?1=0下方或者點A,C在直線x?y+2=0 上方時.注意到AC的斜率與直線x?y+2=0 和x?y?1=0 斜率相同,故僅需保證點A不在直線x?y?1=0 上方或者點A不在直線x?y+2=0 下方時即可,故n?m?1 ≥0 或n?m+2 ≤0,即n?m≤?2 或n?m≥1.

變式7甲乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?甲需要?？? 小時,乙需要?？? 小時,假定甲乙兩船均在同一晝夜中某一時段長為6 小時的連續(xù)時間段內(nèi)隨機(jī)到達(dá),求這兩艘船中至少一艘在?？坎次粫r必須等待的概率不超過的可能性.

圖12

圖13

(三)題目背景變式

課本中此題為應(yīng)用題,故我們不禁思考能否通過改變該題的問題背景來進(jìn)一步考察學(xué)生呢,因此我們有如下變式:

變式8A,B兩地有且僅有1 條河,甲船在A地,乙船在B地,甲船和乙船在同一晝夜內(nèi)隨機(jī)出發(fā),且速度相同,并且都能夠在6 個小時內(nèi)走完全程,求甲乙兩船途中相遇的概率.

解設(shè)甲出發(fā)的時間為x,乙出發(fā)的時間為y則要使甲乙兩船途中相遇,則必須滿足兩艘船出發(fā)時間間隔不超過6 小時即可,故:|x?y| <6,故此題與本文開頭所探究的課本題目一樣,接下來的解法見本文開頭課本題目解法1.至此,我們對課本的這道幾何概型題目進(jìn)行了系統(tǒng)的變式探究,每類變式均循序漸進(jìn),由易到難,由“靜”到“動”.

教學(xué)中,要深入研究,挖掘出題目背后隱含的深刻含義以及豐富的變式形式;通過對題目進(jìn)行各類變形來訓(xùn)練學(xué)生,既能達(dá)到以“變”應(yīng)變的效果,又能讓學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)的美與數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性.