結論不同,孰是孰非
——對一道高三模擬試題的解法探究

陜西省漢中市教研室(723000)馮云

數(shù)學解題猶如打仗,解題者的兵力就是數(shù)學基礎知識,解題者的兵器就是數(shù)學基本思想方法,然而要打勝仗,即正確的解決數(shù)學問題,不僅需要解題者對數(shù)學知識與思想方法的深刻理解,還需要注重細節(jié)、邏輯嚴密等,否則就會不可避免的出現(xiàn)一些似乎很“正確”的錯誤.

筆者在2021年全市高三調研過程中,就發(fā)現(xiàn)了一些似乎很“正確”的錯誤,現(xiàn)整理成文,希望能起到一定的警示作用,并供高三師生復習備考時選用.

一、試題呈現(xiàn)

題目已知f(x)=ax?lnx.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;

(2)若f(x+1)>a對任意x∈[1,2]恒成立,求參數(shù)a的取值范圍.

二、錯解展示

三、錯因分析

上述解法一、二、三都是錯誤的,詳細理由如下:

解法一錯因不等式ln(x+1)≤x的幾何解釋如下圖1:

圖1

顯然,當且僅當x=0 時,取等號,然而x=0 /∈[1,2],即“等號”取不到,從而導致了參數(shù)a的范圍錯誤.

解法二錯因 將g(x)>h(x)恒成立轉化為g(x)min>h(x)max時,當兩函數(shù)的最大值與最小值在同一自變量處取得時,是正確的,如圖2所示.

圖2

然而,當兩函數(shù)的最大值與最小值不在同一自變量處取得時,將g(x)>h(x)恒成立轉化為g(x)min>h(x)max是不等價的,如圖3所示.

圖3

四、正確解法

點評上述正確解法主要通過變參分離后,將恒成立問題轉化為函數(shù)最值問題,然而兩次構造函數(shù)是此解法的難點所在.

在日常的數(shù)學學習中,學生解答出錯并不可怕,重要的是要有辨析錯誤的能力和改正錯誤的勇氣,錯解是一種重要的學習資源,應該善于剖析錯誤,找到錯誤的根源,加深對數(shù)學基本知識與技能的掌握程度,挖掘題目的數(shù)學本質,從而鍛煉自己的數(shù)學意志品質,提高學生辨別錯誤和解決問題的能力,促進學生數(shù)學素養(yǎng)與創(chuàng)新能力的發(fā)展.