注重數(shù)學(xué)思想方法 提升推理論證能力

貴州 胡道成

物理學(xué)是一門定量的精密科學(xué)，物理學(xué)的許多概念既有質(zhì)的規(guī)定性，又往往表現(xiàn)為特定的可以測量和計算的物理量。物理學(xué)的基本定律與公式，正是物理量之間函數(shù)關(guān)系在一定條件下的規(guī)律性反映，這說明物理學(xué)和數(shù)學(xué)的關(guān)系極為密切。數(shù)學(xué)作為研究物理學(xué)的一種重要方法和工具，為物理學(xué)提供了描述物理概念和規(guī)律的簡潔、精確的表達(dá)式，促進(jìn)了物理規(guī)律和理論的建立，為分析和解決具體的物理問題提供了運(yùn)算工具。高考評價體系出臺后，原考試大綱中提出的“分析綜合能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題能力”的相關(guān)要求已融入到了“推理論證能力”之中，也就是“物理運(yùn)算能力”現(xiàn)在已被“推理論證能力”所取代。在高考命題從“能力立意”轉(zhuǎn)變?yōu)椤澳芰α⒁夂退仞B(yǎng)導(dǎo)向”的背景下，高考二輪復(fù)習(xí)必須高度關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法，只有順利跨越物理運(yùn)算障礙，才能切實提升學(xué)生的推理論證能力。本文結(jié)合具體實例談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法在物理推理論證過程中的應(yīng)用，以期拋磚引玉。

一、用遞推法實現(xiàn)推理論證

遞推法在物理運(yùn)算中經(jīng)常被用來解決物體與物體發(fā)生多次相互作用后的問題。即當(dāng)問題中涉及的相互作用過程較多、且有某種規(guī)律時，可根據(jù)相互作用的特點(diǎn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想將所研究的問題進(jìn)行歸納，然后找出通式，再根據(jù)通式進(jìn)行推理論證，得出正確結(jié)論。具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結(jié)論，再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn)，把結(jié)論進(jìn)行推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解。用遞推法解題的關(guān)鍵是找出相鄰幾次作用的遞推關(guān)系式，所以不能盲目埋頭計算，而要善于抬頭思考，以便發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的基本規(guī)律，及時走出繁雜運(yùn)算的泥潭。

【例1】(2020·全國卷Ⅱ·21)水平冰面上有一固定的豎直擋板，一滑冰運(yùn)動員面對擋板靜止在冰面上，他把一質(zhì)量為4.0 kg的靜止物塊以大小為5.0 m/s的速度沿與擋板垂直的方向推向擋板，運(yùn)動員獲得退行速度；物塊與擋板彈性碰撞，速度反向，追上運(yùn)動員時，運(yùn)動員又把物塊推向擋板，使其再一次以大小為5.0 m/s的速度與擋板彈性碰撞?？偣步?jīng)過8次這樣推物塊后，運(yùn)動員退行速度的大小大于5.0 m/s，反彈的物塊不能再追上運(yùn)動員，不計冰面的摩擦力，該運(yùn)動員的質(zhì)量可能為

( )

A.48 kg B.53 kg C.58 kg D.63 kg

【答案】BC

二、用圖像法通過數(shù)形結(jié)合實現(xiàn)推理論證

圖像作為一種重要的物理語言貫穿在整個物理學(xué)知識體系中。圖像作為信息的載體和處理信息的重要工具，能清晰地表達(dá)出各物理量之間的邏輯關(guān)系，反映物理量隨時間或空間的變化規(guī)律及發(fā)展趨勢，可以承載定量計算或定性與半定量分析類物理問題，歷來是高考命題的主要信息呈現(xiàn)方式，容易實現(xiàn)對學(xué)生理解能力、創(chuàng)新能力、推理能力的考查。近年來命題專家通過創(chuàng)設(shè)新情境而命制出一些學(xué)生從未見過的非常規(guī)圖像問題，以便在信息的提取與處理中考查學(xué)生的理解能力、創(chuàng)新能力與推理能力。備考對策是把圖像法作為一種重要的推理論證方法來看待，引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個方面進(jìn)行突破：一看軸(弄清坐標(biāo)軸表示的物理量)，二看線(弄清物理量變化趨勢)，三看斜率(斜率的物理意義)，四看面(面積的物理意義)，五看截距(橫軸和縱軸上的交點(diǎn))，六看點(diǎn)(圖線交點(diǎn)與轉(zhuǎn)折點(diǎn))。從圖像中準(zhǔn)確地提取有用信息，并與題目所給的具體物理情境和物理過程相對應(yīng)，以便結(jié)合實際運(yùn)用物理規(guī)律進(jìn)行綜合分析，既重視定量計算，也重視定性和半定量分析，實現(xiàn)嚴(yán)密而快捷地推理論證。

【例2】(2020·全國卷Ⅰ·17)圖1(a)所示的電路中，K與L間接一智能電源，用以控制電容器C兩端的電壓UC。如果UC隨時間t的變化如圖1(b)所示，則下列描述電阻R兩端電壓UR隨時間t變化的圖像中，正確的是

( )

(a)

A

【答案】A

三、用一次函數(shù)處理實驗題的推理論證

【例3】某興趣小組設(shè)計如圖(b)所示的電路測金屬絲的電阻率和定值電阻的阻值。

(1)用螺旋測微器測量金屬絲的直徑如圖(a)所示，其讀數(shù)為________mm；

(a)

(2)請用筆畫線代替導(dǎo)線，按實驗電路圖(b)，完成圖(c)的實物連線；

圖4

四、用分類討論的數(shù)學(xué)思想來實現(xiàn)推理論證

近年來高考物理題出現(xiàn)了一些“結(jié)構(gòu)不良”問題，由于試題的情境內(nèi)容、初始條件、目標(biāo)結(jié)論和解題途徑等具有一定的不明確性或開放性，或沒有足夠的信息來解決問題，這類試題需要學(xué)生充分利用思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性，以物理知識為依據(jù)，對研究對象或過程形成猜想與假設(shè)并進(jìn)行分類討論，從而使充滿不確定性的復(fù)雜問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答，這樣既有利于引導(dǎo)學(xué)生深入了解物理現(xiàn)象，理解物理概念和規(guī)律，掌握物理公式的使用條件，同時還可以消除頭腦中的一些片面或錯誤的認(rèn)識，以考查學(xué)生的物理想象能力和發(fā)散思維能力。在解決具體的物理問題時，一般可以從研究對象、已知條件、物理過程、物理狀態(tài)和所得結(jié)果等方面去進(jìn)行分類討論，結(jié)合物理原理和規(guī)律對問題進(jìn)行求解。

( )

圖5

【答案】C

圖6

五、利用三角形相關(guān)知識實現(xiàn)直觀、簡捷的推理論證

在高中物理解題過程中，常常要用到三角形的有關(guān)知識，如三角函數(shù)關(guān)系、勾股定理、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形，尤其處理矢量(力、速度、電場強(qiáng)度等)的合成與分解問題時，只有通過畫出矢量三角形圖示將問題直觀形象地展示出來，才能進(jìn)行具體的分析與運(yùn)算。常見的帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動問題、幾何光學(xué)問題、小船渡河問題、平拋運(yùn)動(類平拋運(yùn)動)問題、地面上接收衛(wèi)星信號問題等都需要進(jìn)行作圖，然后利用解三角形的方法結(jié)合相應(yīng)的物理規(guī)律進(jìn)行求解。熟練運(yùn)用三角形知識解題具有直觀、簡捷的優(yōu)點(diǎn)，矢量運(yùn)算中的平行四邊形定則最終也會轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，所以這是高考解題過程中最常用的數(shù)學(xué)方法，我們要高度重視三角形知識在物理解題中的靈活運(yùn)用。

【例5】如圖7所示，在光滑定滑輪C正下方與C相距h的A處固定一電荷量為Q(Q>0)的點(diǎn)電荷，電荷量為+q的帶電小球B用絕緣細(xì)線拴著，細(xì)線跨過定滑輪，另一端用適當(dāng)大小的力F拉住，使B處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時B與A點(diǎn)的距離為R，B和C之間的細(xì)線與AB垂直，BC長為L。若B所受的重力為G，緩慢拉動細(xì)線(始終保持B平衡)直到B接近A的正上方，靜電力常量為k，環(huán)境可視為真空，電荷量為Q的點(diǎn)電荷與B均可視為質(zhì)點(diǎn)，則下列說法正確的是

( )

圖7

A.F逐漸減小

B.F逐漸增大

C.B受到的庫侖力大小不變

D.B受到的庫侖力逐漸增大

【答案】AC

圖8

六、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求物理極值進(jìn)行推理論證

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求物理極值問題可以拓展學(xué)生的解題思路，開闊視野，展示物理和數(shù)學(xué)的密切關(guān)系，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力，還可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的工具性和實用性，加強(qiáng)學(xué)科間的滲透，強(qiáng)化對物理運(yùn)算能力的考查。而且有些題目不通過求導(dǎo)數(shù)根本無法解答，所以復(fù)習(xí)階段有必要引入一些用導(dǎo)數(shù)求物理極值的具體問題，以便學(xué)生能熟悉這種解題思路，提高學(xué)生的推理論證能力。

【例6】如圖9所示，豎直放置的光滑“T”形架上，物塊A、B分別套在水平桿和豎直桿上，且用一根長為L的不可伸長的輕繩相連，A、B質(zhì)量相等且均可看作質(zhì)點(diǎn)。開始時細(xì)繩水平伸直，A、B靜止。現(xiàn)由靜止釋放B，則當(dāng)物塊A運(yùn)動到豎直桿位置的過程中，物塊B的最大速率為

( )

圖9

【答案】D

總之，數(shù)學(xué)思想方法是解決物理問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。將數(shù)學(xué)知識熟練的應(yīng)用到物理解題過程中是新高考對學(xué)生推理論證能力的必然要求，在二輪復(fù)習(xí)階段，教師有必要準(zhǔn)備一些典型的、能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在物理解題中應(yīng)用的問題，通過教師的點(diǎn)撥、啟發(fā)引導(dǎo)讓學(xué)生積極地將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到物理解題中，充分進(jìn)行交流、討論、拓展思路，逐漸形成解決方案，基于證據(jù)和嚴(yán)密的推理得出結(jié)論。注重“對稱法”“逆向思維法”“假設(shè)法”“極值法”“討論法”“估算法”“近似法”等物理方法與數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)結(jié)合，建構(gòu)起解決物理問題的基本思維圖式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力、物理運(yùn)算能力和推理論證能力。

本文為2019年貴州教育科學(xué)規(guī)劃立項課題“核心素養(yǎng)視域下高中學(xué)生物理能力培養(yǎng)的實踐研究”(編號：2019B025)的課題研究成果之一。