用等溫分態(tài)公式 解決變質(zhì)量問題

廣東 林東星

理想氣體狀態(tài)方程是歷年高考選考題必考的知識點(diǎn)，以計(jì)算題的方式出現(xiàn)。理想氣體狀態(tài)方程，通常都是以一定質(zhì)量的氣體為研究對象。也就是說，對一定質(zhì)量的氣體變化的過程進(jìn)行分析，學(xué)生容易理解。但是，生活中又常有涉及氣體的變質(zhì)量問題，學(xué)生不容易解決。例如2016年全國卷Ⅱ、2017年全國卷Ⅰ、2019年全國卷Ⅰ、2020年全國卷Ⅰ、2021年廣東省普通高考適應(yīng)性測試卷中的熱學(xué)考題，都有涉及變質(zhì)量問題。在解題中，學(xué)生如果能理解玻意耳定律等溫分態(tài)公式，并運(yùn)用等溫分態(tài)公式解決問題，就能變得簡潔高效。學(xué)生也可以從中體驗(yàn)到物理與生活息息相關(guān)，提高自身的核心素養(yǎng)。本文以試題為例，探討如何利用等溫分態(tài)公式，快速準(zhǔn)確地解決理想氣體的變質(zhì)量問題。

玻意耳定律是英國科學(xué)家玻意耳和法國科學(xué)家馬略特各自通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的，即一定質(zhì)量的某種氣體，在溫度不變的情況下，壓強(qiáng)P與體積V成反比，寫成公式pV=C，或者p1V1=p2V2，其中C為常量，p1、V1、p2、V2分別是該氣體在1、2兩個狀態(tài)的壓強(qiáng)、體積狀態(tài)參量。玻意耳定律只是理想氣體狀態(tài)方程一個方面的內(nèi)容，而理想氣體狀態(tài)方程的另一種表達(dá)式為pV=nRT，其中：p為壓強(qiáng)，V為氣體體積，T為熱力學(xué)溫度，n為氣體的物質(zhì)的量，R為摩爾氣體常數(shù)。因此，我們可以把一定質(zhì)量的理想氣體，根據(jù)問題情境的需要，在溫度不變的情況下分成若干份不同狀態(tài)的氣體，推導(dǎo)出玻意耳定律等溫分態(tài)公式，即pV=n1RT+n2RT+n3RT+…+nnRT=p1V1+p2V2+p3V3+…+pnVn。該公式常被用于處理氣體的變質(zhì)量問題，具體的問題情境一般分為三類：氣體分裝問題、充氣問題和放氣問題，本文在此分別加以分析與點(diǎn)評。

一、用等溫分態(tài)公式解決氣體分裝問題

(ⅰ)兩罐中氣體的壓強(qiáng)；

(ⅱ)甲罐中氣體的質(zhì)量與甲罐中原有氣體的質(zhì)量之比。

【解析】(ⅰ)常規(guī)解法：氣體發(fā)生等溫變化，對甲、乙兩罐中的氣體，可認(rèn)為甲罐中原氣體由體積V變成3V，乙罐中原氣體體積由2V變成3V，則根據(jù)玻意耳定律分別有

pV=p1·3V

(ⅱ)常規(guī)解法：若調(diào)配后將甲罐中氣體再等溫壓縮到氣體原來的壓強(qiáng)為p，則p′V=pV′

等溫分態(tài)公式法：將甲罐中原有的氣體看成一個整體，調(diào)配的過程相當(dāng)于將甲中原有的氣體分裝后壓強(qiáng)為p′，一部分氣體留在甲罐中，另一部分氣體調(diào)配到乙罐中，總體積變?yōu)閂甲總。用等溫分態(tài)公式求解，即pV=p′·V甲總

【點(diǎn)評】相比于常規(guī)解法，學(xué)生用等溫分態(tài)公式法解題時(shí)，要會將變質(zhì)量問題看成整體質(zhì)量不變來處理。本題中，如果只看甲罐或者乙罐，那么單一罐中的氣體在調(diào)配的過程中，就是一個變質(zhì)量問題。但是，如果能把甲罐和乙罐看成一個整體，從這個角度來思考，氣體整體的總質(zhì)量卻是不變的，溫度也是保持不變的。只是分裝在不同罐中的原有氣體，有不同的壓強(qiáng)和體積。這就是氣體分裝問題，可以使用等溫分態(tài)公式求解。由此題可見，等溫分態(tài)公式雖然需要通過玻意耳定律推導(dǎo)而來，但直接被運(yùn)用到等溫變質(zhì)量的問題情境中，有一定的便利性，計(jì)算量少，不易出錯。

二、用等溫分態(tài)公式解決充氣問題

【例2】(2021·廣東省普通高考適應(yīng)性測試卷)輪胎氣壓是行車安全的重要參數(shù)，某型號汽車輪胎容積V0為25 L，安全氣壓范圍為2.4～3.0 atm。汽車行駛一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)胎壓下降到p1=2.0 atm，用車載氣泵給其充氣，氣泵每秒鐘注入0.5 L壓強(qiáng)為p0=1.0 atm的空氣。忽略輪胎容積與氣體溫度的變化。為使氣壓回到安全范圍求氣泵工作的時(shí)間范圍。

【解析】常規(guī)解法：已知汽車輪胎容積V0=25 L，發(fā)現(xiàn)胎壓下降到p1=2.0 atm，胎內(nèi)空氣相當(dāng)于壓強(qiáng)為p0=1.0 atm，體積為V1的空氣。根據(jù)玻意耳定律有

p1V0=p0V1

當(dāng)氣泵給輪胎充氣到安全氣壓最小值pmin=2.4 atm時(shí)，胎內(nèi)空氣相當(dāng)于壓強(qiáng)為p0=1.0 atm，體積設(shè)為Vmin的空氣。根據(jù)玻意耳定律有pminV0=p0Vmin

由于氣泵每秒鐘注入ΔV=0.5 L，壓強(qiáng)為p0=1.0 atm的空氣，所以此充氣過程需要時(shí)間為

代入數(shù)據(jù)得tmin=20 s

當(dāng)氣泵給輪胎充氣到安全氣壓最大值pmax=3.0 atm時(shí)，胎內(nèi)空氣相當(dāng)于壓強(qiáng)為p0=1.0 atm，體積設(shè)為Vmax的空氣。根據(jù)玻意耳定律有pmaxV0=p0Vmax

此充氣過程需要時(shí)間為

代入數(shù)據(jù)得tmax=50 s

因此，氣泵工作的時(shí)間范圍為20 s≤t≤50 s

等溫分態(tài)公式法：從輪胎外部向內(nèi)部充氣的過程，設(shè)已知條件每秒鐘注入空氣體積V=0.5 L，氣泵工作t秒后輪胎內(nèi)的壓強(qiáng)為p。充氣前后，由等溫分態(tài)公式有

p1V0+t·p0V=pV0

代入數(shù)據(jù)得p=0.02t+2 (atm)

由于安全氣壓范圍為2.4 atm≤p≤3.0 atm

代入解得氣泵工作的時(shí)間范圍為20 s≤t≤50 s

【點(diǎn)評】本題提供了給輪胎充氣這種常見的生活現(xiàn)象，讓學(xué)生思考如何應(yīng)用物理知識解決生活中的問題。這體現(xiàn)了理論要運(yùn)用到實(shí)踐當(dāng)中的思想，讓學(xué)生形成科學(xué)的物理觀念和思維，體驗(yàn)到物理與生活息息相關(guān)，從而提高自身的學(xué)科核心素養(yǎng)。對于充氣過程，學(xué)生容易陷入輪胎內(nèi)氣體質(zhì)量變大，不能對輪胎內(nèi)空氣直接運(yùn)用理想氣體狀態(tài)方程求解的困境中。但是，如果學(xué)生能夠?qū)⒆⑷氲目諝馀c輪胎內(nèi)原有的空氣，看成一個整體，那么，變質(zhì)量問題就可以轉(zhuǎn)變?yōu)橐欢ㄙ|(zhì)量的問題，學(xué)生再運(yùn)用玻意耳定律等溫分態(tài)公式，就能快速準(zhǔn)確地列方程求解。

【例3】(2019·全國卷Ⅰ)熱等靜壓設(shè)備廣泛用于材料加工中。該設(shè)備工作時(shí)，先在室溫下把惰性氣體用壓縮機(jī)壓入到一個預(yù)抽真空的爐腔中，然后爐腔升溫，利用高溫高氣壓環(huán)境對放入爐腔中的材料加工處理，改善其性能。一臺熱等靜壓設(shè)備的爐腔中某次放入固體材料后剩余的容積為0.13 m3，爐腔抽真空后，在室溫下用壓縮機(jī)將10瓶氬氣壓入到爐腔中。已知每瓶氬氣的容積為3.2×10-2m3，使用前瓶中氣體壓強(qiáng)為1.5×107Pa，使用后瓶中剩余氣體壓強(qiáng)為2.0×106Pa；室溫溫度為27℃。氬氣可視為理想氣體。

(ⅰ)求壓入氬氣后爐腔中氣體在室溫下的壓強(qiáng)；

(ⅱ)將壓入氬氣后的爐腔加熱到1 227℃，求此時(shí)爐腔中氣體的壓強(qiáng)。

【解析】(ⅰ)常規(guī)解法：設(shè)初始時(shí)每瓶氣體的體積為V0，壓強(qiáng)為p0；使用后氣瓶中剩余氣體的壓強(qiáng)為p1。假設(shè)體積為V0、壓強(qiáng)為p0的氣體壓強(qiáng)變?yōu)閜1時(shí)，其體積膨脹為V1。由玻意耳定律得

p0V0=p1V1

被壓入到爐腔的氣體在室溫和p1條件下的體積為

V′=V1-V0

設(shè)10瓶氣體壓入完成后爐腔中氣體的壓強(qiáng)為p2，體積為V2。由玻意耳定律得

p2V2=10p1V′

聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得

p2=3.2×107Pa

等溫分態(tài)公式法：將10瓶氣體看成一個整體，部分氣體經(jīng)過壓縮機(jī)壓入爐腔中，另外剩余部分留在10個氣瓶中。由等溫分態(tài)公式得

10p0V0=p2V2+10p1V0

代入數(shù)據(jù)得

p2=3.2×107Pa

結(jié)合第一問并代入數(shù)據(jù)得

p3=1.6×108Pa

【點(diǎn)評】本題第(1)問中，壓入氬氣的過程實(shí)際上就是充氣過程，充氣前、后兩個狀態(tài)，溫度都是室溫。因此，可以運(yùn)用玻意耳定律、等溫分態(tài)公式。相比常規(guī)解法，學(xué)生運(yùn)用等溫分態(tài)公式法，只需要列一個算式，即可解得問題答案，方便快捷，且不易算錯。特別是學(xué)生在考試過程中，能準(zhǔn)確快速地解基礎(chǔ)題，提高做題效率，剩余足夠的時(shí)間，對于攻克難題，尤為重要。本題第(2)問是等容變化過程，體積保持不變，適用查理定律，顯然不滿足玻意耳定律、等溫分態(tài)公式的適用條件。

三、用等溫分態(tài)公式解決放氣問題

【例4】(2016·全國卷Ⅱ)一氧氣瓶的容積為0.08 m3，開始時(shí)瓶中氧氣的壓強(qiáng)為20個大氣壓。某實(shí)驗(yàn)室每天消耗1個大氣壓的氧氣0.36 m3。當(dāng)氧氣瓶中的壓強(qiáng)降低到2個大氣壓時(shí)，需重新充氣。若氧氣的溫度保持不變，求這瓶氧氣重新充氣前可供該實(shí)驗(yàn)室使用多少天。

【解析】常規(guī)解法：設(shè)氧氣在開始時(shí)的壓強(qiáng)為20個大氣壓20p0，體積為V1，假設(shè)瓶中全部氧氣在2個大氣壓2p0下的體積為V2。由于氧氣的溫度保持不變，根據(jù)玻意耳定律得

20p0V1=2p0V2

用去的氧氣在2p0壓強(qiáng)下的體積為

V3=V2-V1

設(shè)這些用去的氧氣，在1個大氣壓p0下的體積為V0，根據(jù)玻意耳定律得

2p0V3=p0V0

每天消耗氧氣體積，設(shè)為ΔV，則用去的氧氣體積換算成可用的天數(shù)為

聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得

N=4(天)

等溫分態(tài)公式法：設(shè)氧氣可用的天數(shù)為N天，1個大氣壓為p0。由于瓶中原有的全部氧氣，最終變成為兩部分，即剩余在瓶中的氧氣和消耗掉的氧氣。消耗過程中，氧氣的溫度保持不變，由等溫分態(tài)公式有

20p0V1=2p0V1+p0N·ΔV

代入題給數(shù)據(jù)得N=4(天)

【點(diǎn)評】本題主要考查玻意耳定律的應(yīng)用；學(xué)生使用常規(guī)解法解題，每一步都要明確研究的氣體是什么，并且找到該氣體在初末狀態(tài)下的體積、壓強(qiáng)等狀態(tài)參量，然后列方程求解。如果使用等溫分態(tài)公式解題，也要先明確研究的氣體，只不過要將瓶中原有的氧氣看成一個整體，最終變?yōu)閮刹糠?。其中消耗氧氣可以看成放氣過程，而且題目中強(qiáng)調(diào)氧氣的溫度保持不變，即暗示該過程滿足玻意耳定律、等溫分態(tài)公式。對比兩種解法發(fā)現(xiàn)，等溫分態(tài)公式簡潔明了，是較為優(yōu)化的解法。

【例5】(2017·全國卷Ⅰ)如圖，容積均為V的氣缸A、B下端有細(xì)管(容積可忽略)連通，閥門K2位于細(xì)管的中部，A、B的頂部各有一閥門K1、K3；B中有一可自由滑動的活塞(質(zhì)量、體積均可忽略)。初始時(shí)，三個閥門均打開，活塞在B的底部；關(guān)閉K2、K3，通過K1給氣缸充氣，使A中的氣體壓強(qiáng)達(dá)到大氣壓p0的3倍后關(guān)閉K1。已知室溫為27℃，氣缸導(dǎo)熱。

(ⅰ)打開K2，求穩(wěn)定時(shí)活塞上方氣體的體積和壓強(qiáng)；

(ⅱ)接著打開K3，求穩(wěn)定時(shí)活塞的位置；

(ⅲ)再緩慢加熱氣缸內(nèi)的氣體使其溫度升高20℃，求此時(shí)活塞下方氣體的壓強(qiáng)。

【解析】(ⅰ)設(shè)打開K2后，穩(wěn)定時(shí)活塞上方氣體的壓強(qiáng)為p1，體積為V1。依題意可知，兩個氣缸內(nèi)的氣體都經(jīng)歷等溫變化過程。

常規(guī)解法：由玻意耳定律可知

對B中的氣體有p0V=p1V1

對A中的氣體有(3p0)V=p1(2V-V1)

等溫分態(tài)公式解法：打開K2后，就是A中氣體往B中充氣的過程，由玻意耳定律等溫分態(tài)公式，

對整體有：3p0V+p0V=p1·2V

對B中的氣體有：p0V=p1V1

(ⅱ)打開K3后，由(ⅰ)問可知，活塞會上升。設(shè)在活塞下方氣體與A中氣體的體積之和為V2(V2≤2V)時(shí)，活塞下方氣體壓強(qiáng)為p2，由玻意耳定律得

(3p0)V=p2V2

因此，打開K3后活塞上升直到B的頂部為止，此時(shí)

代入數(shù)據(jù)得p3=1.6p0

【點(diǎn)評】本題考查理想氣體的狀態(tài)方程，審題時(shí)要注意“氣缸導(dǎo)熱”這一條件，即第(ⅰ)小題所指的過程為等溫變化過程。對于本題而言，兩種解法列出來的方程，只有形式上的細(xì)微差別，優(yōu)劣不分伯仲。所以說，對于封閉空間內(nèi)的氣體，經(jīng)過等溫變化后變成另外一個單一壓強(qiáng)狀態(tài)，用玻意耳定律常規(guī)表達(dá)式解題即可。在多種壓強(qiáng)、體積狀態(tài)的變質(zhì)量問題中，使用等溫分態(tài)公式的優(yōu)勢才比較明顯。

四、結(jié)束語

從以上列舉的五個例題中可以看到，等溫分態(tài)公式在解決氣體變質(zhì)量問題時(shí)，具有方便快捷、簡潔明了、不易算錯等優(yōu)勢，特別是在分裝氣體、充氣與放氣問題上。等溫分態(tài)公式實(shí)際上是玻意耳定律的內(nèi)容，也是理想氣體狀態(tài)方程的內(nèi)容。教師單獨(dú)提出來講解，讓學(xué)生練習(xí)相關(guān)題型，并在生活現(xiàn)象中加以運(yùn)用，解釋生活現(xiàn)象，解決新問題。這樣，有助于學(xué)生認(rèn)識理想氣體，形成物理觀念，鍛煉思維能力，提高物理核心素養(yǎng)。