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    用等溫分態(tài)公式 解決變質(zhì)量問題

    2021-08-11 13:34:30廣東林東星
    教學(xué)考試(高考物理) 2021年3期

    廣東 林東星

    理想氣體狀態(tài)方程是歷年高考選考題必考的知識點,以計算題的方式出現(xiàn)。理想氣體狀態(tài)方程,通常都是以一定質(zhì)量的氣體為研究對象。也就是說,對一定質(zhì)量的氣體變化的過程進行分析,學(xué)生容易理解。但是,生活中又常有涉及氣體的變質(zhì)量問題,學(xué)生不容易解決。例如2016年全國卷Ⅱ、2017年全國卷Ⅰ、2019年全國卷Ⅰ、2020年全國卷Ⅰ、2021年廣東省普通高考適應(yīng)性測試卷中的熱學(xué)考題,都有涉及變質(zhì)量問題。在解題中,學(xué)生如果能理解玻意耳定律等溫分態(tài)公式,并運用等溫分態(tài)公式解決問題,就能變得簡潔高效。學(xué)生也可以從中體驗到物理與生活息息相關(guān),提高自身的核心素養(yǎng)。本文以試題為例,探討如何利用等溫分態(tài)公式,快速準(zhǔn)確地解決理想氣體的變質(zhì)量問題。

    玻意耳定律是英國科學(xué)家玻意耳和法國科學(xué)家馬略特各自通過實驗發(fā)現(xiàn)的,即一定質(zhì)量的某種氣體,在溫度不變的情況下,壓強P與體積V成反比,寫成公式pV=C,或者p1V1=p2V2,其中C為常量,p1、V1、p2、V2分別是該氣體在1、2兩個狀態(tài)的壓強、體積狀態(tài)參量。玻意耳定律只是理想氣體狀態(tài)方程一個方面的內(nèi)容,而理想氣體狀態(tài)方程的另一種表達式為pV=nRT,其中:p為壓強,V為氣體體積,T為熱力學(xué)溫度,n為氣體的物質(zhì)的量,R為摩爾氣體常數(shù)。因此,我們可以把一定質(zhì)量的理想氣體,根據(jù)問題情境的需要,在溫度不變的情況下分成若干份不同狀態(tài)的氣體,推導(dǎo)出玻意耳定律等溫分態(tài)公式,即pV=n1RT+n2RT+n3RT+…+nnRT=p1V1+p2V2+p3V3+…+pnVn。該公式常被用于處理氣體的變質(zhì)量問題,具體的問題情境一般分為三類:氣體分裝問題、充氣問題和放氣問題,本文在此分別加以分析與點評。

    一、用等溫分態(tài)公式解決氣體分裝問題

    (ⅰ)兩罐中氣體的壓強;

    (ⅱ)甲罐中氣體的質(zhì)量與甲罐中原有氣體的質(zhì)量之比。

    【解析】(ⅰ)常規(guī)解法:氣體發(fā)生等溫變化,對甲、乙兩罐中的氣體,可認(rèn)為甲罐中原氣體由體積V變成3V,乙罐中原氣體體積由2V變成3V,則根據(jù)玻意耳定律分別有

    pV=p1·3V

    (ⅱ)常規(guī)解法:若調(diào)配后將甲罐中氣體再等溫壓縮到氣體原來的壓強為p,則p′V=pV′

    等溫分態(tài)公式法:將甲罐中原有的氣體看成一個整體,調(diào)配的過程相當(dāng)于將甲中原有的氣體分裝后壓強為p′,一部分氣體留在甲罐中,另一部分氣體調(diào)配到乙罐中,總體積變?yōu)閂甲總。用等溫分態(tài)公式求解,即pV=p′·V甲總

    【點評】相比于常規(guī)解法,學(xué)生用等溫分態(tài)公式法解題時,要會將變質(zhì)量問題看成整體質(zhì)量不變來處理。本題中,如果只看甲罐或者乙罐,那么單一罐中的氣體在調(diào)配的過程中,就是一個變質(zhì)量問題。但是,如果能把甲罐和乙罐看成一個整體,從這個角度來思考,氣體整體的總質(zhì)量卻是不變的,溫度也是保持不變的。只是分裝在不同罐中的原有氣體,有不同的壓強和體積。這就是氣體分裝問題,可以使用等溫分態(tài)公式求解。由此題可見,等溫分態(tài)公式雖然需要通過玻意耳定律推導(dǎo)而來,但直接被運用到等溫變質(zhì)量的問題情境中,有一定的便利性,計算量少,不易出錯。

    二、用等溫分態(tài)公式解決充氣問題

    【例2】(2021·廣東省普通高考適應(yīng)性測試卷)輪胎氣壓是行車安全的重要參數(shù),某型號汽車輪胎容積V0為25 L,安全氣壓范圍為2.4~3.0 atm。汽車行駛一段時間后,發(fā)現(xiàn)胎壓下降到p1=2.0 atm,用車載氣泵給其充氣,氣泵每秒鐘注入0.5 L壓強為p0=1.0 atm的空氣。忽略輪胎容積與氣體溫度的變化。為使氣壓回到安全范圍求氣泵工作的時間范圍。

    【解析】常規(guī)解法:已知汽車輪胎容積V0=25 L,發(fā)現(xiàn)胎壓下降到p1=2.0 atm,胎內(nèi)空氣相當(dāng)于壓強為p0=1.0 atm,體積為V1的空氣。根據(jù)玻意耳定律有

    p1V0=p0V1

    當(dāng)氣泵給輪胎充氣到安全氣壓最小值pmin=2.4 atm時,胎內(nèi)空氣相當(dāng)于壓強為p0=1.0 atm,體積設(shè)為Vmin的空氣。根據(jù)玻意耳定律有pminV0=p0Vmin

    由于氣泵每秒鐘注入ΔV=0.5 L,壓強為p0=1.0 atm的空氣,所以此充氣過程需要時間為

    代入數(shù)據(jù)得tmin=20 s

    當(dāng)氣泵給輪胎充氣到安全氣壓最大值pmax=3.0 atm時,胎內(nèi)空氣相當(dāng)于壓強為p0=1.0 atm,體積設(shè)為Vmax的空氣。根據(jù)玻意耳定律有pmaxV0=p0Vmax

    此充氣過程需要時間為

    代入數(shù)據(jù)得tmax=50 s

    因此,氣泵工作的時間范圍為20 s≤t≤50 s

    等溫分態(tài)公式法:從輪胎外部向內(nèi)部充氣的過程,設(shè)已知條件每秒鐘注入空氣體積V=0.5 L,氣泵工作t秒后輪胎內(nèi)的壓強為p。充氣前后,由等溫分態(tài)公式有

    p1V0+t·p0V=pV0

    代入數(shù)據(jù)得p=0.02t+2 (atm)

    由于安全氣壓范圍為2.4 atm≤p≤3.0 atm

    代入解得氣泵工作的時間范圍為20 s≤t≤50 s

    【點評】本題提供了給輪胎充氣這種常見的生活現(xiàn)象,讓學(xué)生思考如何應(yīng)用物理知識解決生活中的問題。這體現(xiàn)了理論要運用到實踐當(dāng)中的思想,讓學(xué)生形成科學(xué)的物理觀念和思維,體驗到物理與生活息息相關(guān),從而提高自身的學(xué)科核心素養(yǎng)。對于充氣過程,學(xué)生容易陷入輪胎內(nèi)氣體質(zhì)量變大,不能對輪胎內(nèi)空氣直接運用理想氣體狀態(tài)方程求解的困境中。但是,如果學(xué)生能夠?qū)⒆⑷氲目諝馀c輪胎內(nèi)原有的空氣,看成一個整體,那么,變質(zhì)量問題就可以轉(zhuǎn)變?yōu)橐欢ㄙ|(zhì)量的問題,學(xué)生再運用玻意耳定律等溫分態(tài)公式,就能快速準(zhǔn)確地列方程求解。

    【例3】(2019·全國卷Ⅰ)熱等靜壓設(shè)備廣泛用于材料加工中。該設(shè)備工作時,先在室溫下把惰性氣體用壓縮機壓入到一個預(yù)抽真空的爐腔中,然后爐腔升溫,利用高溫高氣壓環(huán)境對放入爐腔中的材料加工處理,改善其性能。一臺熱等靜壓設(shè)備的爐腔中某次放入固體材料后剩余的容積為0.13 m3,爐腔抽真空后,在室溫下用壓縮機將10瓶氬氣壓入到爐腔中。已知每瓶氬氣的容積為3.2×10-2m3,使用前瓶中氣體壓強為1.5×107Pa,使用后瓶中剩余氣體壓強為2.0×106Pa;室溫溫度為27℃。氬氣可視為理想氣體。

    (ⅰ)求壓入氬氣后爐腔中氣體在室溫下的壓強;

    (ⅱ)將壓入氬氣后的爐腔加熱到1 227℃,求此時爐腔中氣體的壓強。

    【解析】(ⅰ)常規(guī)解法:設(shè)初始時每瓶氣體的體積為V0,壓強為p0;使用后氣瓶中剩余氣體的壓強為p1。假設(shè)體積為V0、壓強為p0的氣體壓強變?yōu)閜1時,其體積膨脹為V1。由玻意耳定律得

    p0V0=p1V1

    被壓入到爐腔的氣體在室溫和p1條件下的體積為

    V′=V1-V0

    設(shè)10瓶氣體壓入完成后爐腔中氣體的壓強為p2,體積為V2。由玻意耳定律得

    p2V2=10p1V′

    聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得

    p2=3.2×107Pa

    等溫分態(tài)公式法:將10瓶氣體看成一個整體,部分氣體經(jīng)過壓縮機壓入爐腔中,另外剩余部分留在10個氣瓶中。由等溫分態(tài)公式得

    10p0V0=p2V2+10p1V0

    代入數(shù)據(jù)得

    p2=3.2×107Pa

    結(jié)合第一問并代入數(shù)據(jù)得

    p3=1.6×108Pa

    【點評】本題第(1)問中,壓入氬氣的過程實際上就是充氣過程,充氣前、后兩個狀態(tài),溫度都是室溫。因此,可以運用玻意耳定律、等溫分態(tài)公式。相比常規(guī)解法,學(xué)生運用等溫分態(tài)公式法,只需要列一個算式,即可解得問題答案,方便快捷,且不易算錯。特別是學(xué)生在考試過程中,能準(zhǔn)確快速地解基礎(chǔ)題,提高做題效率,剩余足夠的時間,對于攻克難題,尤為重要。本題第(2)問是等容變化過程,體積保持不變,適用查理定律,顯然不滿足玻意耳定律、等溫分態(tài)公式的適用條件。

    三、用等溫分態(tài)公式解決放氣問題

    【例4】(2016·全國卷Ⅱ)一氧氣瓶的容積為0.08 m3,開始時瓶中氧氣的壓強為20個大氣壓。某實驗室每天消耗1個大氣壓的氧氣0.36 m3。當(dāng)氧氣瓶中的壓強降低到2個大氣壓時,需重新充氣。若氧氣的溫度保持不變,求這瓶氧氣重新充氣前可供該實驗室使用多少天。

    【解析】常規(guī)解法:設(shè)氧氣在開始時的壓強為20個大氣壓20p0,體積為V1,假設(shè)瓶中全部氧氣在2個大氣壓2p0下的體積為V2。由于氧氣的溫度保持不變,根據(jù)玻意耳定律得

    20p0V1=2p0V2

    用去的氧氣在2p0壓強下的體積為

    V3=V2-V1

    設(shè)這些用去的氧氣,在1個大氣壓p0下的體積為V0,根據(jù)玻意耳定律得

    2p0V3=p0V0

    每天消耗氧氣體積,設(shè)為ΔV,則用去的氧氣體積換算成可用的天數(shù)為

    聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得

    N=4(天)

    等溫分態(tài)公式法:設(shè)氧氣可用的天數(shù)為N天,1個大氣壓為p0。由于瓶中原有的全部氧氣,最終變成為兩部分,即剩余在瓶中的氧氣和消耗掉的氧氣。消耗過程中,氧氣的溫度保持不變,由等溫分態(tài)公式有

    20p0V1=2p0V1+p0N·ΔV

    代入題給數(shù)據(jù)得N=4(天)

    【點評】本題主要考查玻意耳定律的應(yīng)用;學(xué)生使用常規(guī)解法解題,每一步都要明確研究的氣體是什么,并且找到該氣體在初末狀態(tài)下的體積、壓強等狀態(tài)參量,然后列方程求解。如果使用等溫分態(tài)公式解題,也要先明確研究的氣體,只不過要將瓶中原有的氧氣看成一個整體,最終變?yōu)閮刹糠帧F渲邢难鯕饪梢钥闯煞艢膺^程,而且題目中強調(diào)氧氣的溫度保持不變,即暗示該過程滿足玻意耳定律、等溫分態(tài)公式。對比兩種解法發(fā)現(xiàn),等溫分態(tài)公式簡潔明了,是較為優(yōu)化的解法。

    【例5】(2017·全國卷Ⅰ)如圖,容積均為V的氣缸A、B下端有細管(容積可忽略)連通,閥門K2位于細管的中部,A、B的頂部各有一閥門K1、K3;B中有一可自由滑動的活塞(質(zhì)量、體積均可忽略)。初始時,三個閥門均打開,活塞在B的底部;關(guān)閉K2、K3,通過K1給氣缸充氣,使A中的氣體壓強達到大氣壓p0的3倍后關(guān)閉K1。已知室溫為27℃,氣缸導(dǎo)熱。

    (ⅰ)打開K2,求穩(wěn)定時活塞上方氣體的體積和壓強;

    (ⅱ)接著打開K3,求穩(wěn)定時活塞的位置;

    (ⅲ)再緩慢加熱氣缸內(nèi)的氣體使其溫度升高20℃,求此時活塞下方氣體的壓強。

    【解析】(ⅰ)設(shè)打開K2后,穩(wěn)定時活塞上方氣體的壓強為p1,體積為V1。依題意可知,兩個氣缸內(nèi)的氣體都經(jīng)歷等溫變化過程。

    常規(guī)解法:由玻意耳定律可知

    對B中的氣體有p0V=p1V1

    對A中的氣體有(3p0)V=p1(2V-V1)

    等溫分態(tài)公式解法:打開K2后,就是A中氣體往B中充氣的過程,由玻意耳定律等溫分態(tài)公式,

    對整體有:3p0V+p0V=p1·2V

    對B中的氣體有:p0V=p1V1

    (ⅱ)打開K3后,由(ⅰ)問可知,活塞會上升。設(shè)在活塞下方氣體與A中氣體的體積之和為V2(V2≤2V)時,活塞下方氣體壓強為p2,由玻意耳定律得

    (3p0)V=p2V2

    因此,打開K3后活塞上升直到B的頂部為止,此時

    代入數(shù)據(jù)得p3=1.6p0

    【點評】本題考查理想氣體的狀態(tài)方程,審題時要注意“氣缸導(dǎo)熱”這一條件,即第(ⅰ)小題所指的過程為等溫變化過程。對于本題而言,兩種解法列出來的方程,只有形式上的細微差別,優(yōu)劣不分伯仲。所以說,對于封閉空間內(nèi)的氣體,經(jīng)過等溫變化后變成另外一個單一壓強狀態(tài),用玻意耳定律常規(guī)表達式解題即可。在多種壓強、體積狀態(tài)的變質(zhì)量問題中,使用等溫分態(tài)公式的優(yōu)勢才比較明顯。

    四、結(jié)束語

    從以上列舉的五個例題中可以看到,等溫分態(tài)公式在解決氣體變質(zhì)量問題時,具有方便快捷、簡潔明了、不易算錯等優(yōu)勢,特別是在分裝氣體、充氣與放氣問題上。等溫分態(tài)公式實際上是玻意耳定律的內(nèi)容,也是理想氣體狀態(tài)方程的內(nèi)容。教師單獨提出來講解,讓學(xué)生練習(xí)相關(guān)題型,并在生活現(xiàn)象中加以運用,解釋生活現(xiàn)象,解決新問題。這樣,有助于學(xué)生認(rèn)識理想氣體,形成物理觀念,鍛煉思維能力,提高物理核心素養(yǎng)。

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