高階Bernstein-Markov型不等式

金曼莎，章仁江，王子睿

(浙江工商大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

Bernstein不等式是多項式或三角多項式導(dǎo)數(shù)的一種估計式，Markov不等式是一種多項式的導(dǎo)數(shù)不等式，這2個不等式在函數(shù)逼近論、計算數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用，尤其加權(quán)Bernstein-Markov不等式在多項式的帶權(quán)逼近等研究方面起著重要的作用。Bernstein-Markov不等式中的最佳常數(shù)仍然是一個未解決的問題，是許多國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的對象[1]。近年來，各種范數(shù)下的Bernstein-Markov不等式有所發(fā)展，文獻(xiàn)[2]用矩陣的最大特征值的平方根刻畫了幾種不同權(quán)函數(shù)的Bernstein-Markov不等式的最佳常數(shù)，但文獻(xiàn)[3]指出文獻(xiàn)[2]中的最佳常數(shù)是錯誤的。文獻(xiàn)[4]計算出權(quán)為e-x的Bernstein-Markov不等式的漸近精確常數(shù)。文獻(xiàn)[5]給出了各類推廣形式的Bernstein算子的加權(quán)Bernstein-Markov型不等式及正逆定理。文獻(xiàn)[6]證明了在許多情況下，指數(shù)型Bernstein-Markov不等式中的常數(shù)是n次代數(shù)多項式在n→∞時相應(yīng)不等式中常數(shù)的極限。文獻(xiàn)[7]研究了序列和多項式的離散加權(quán)Markov-Bernstein不等式，并給出了相應(yīng)的最佳常數(shù)。本文主要研究勒讓德正交多項式所對應(yīng)的二階導(dǎo)Bernstein-Markov型不等式，給出一個使不等式成立的較小常數(shù)，并證明這個最佳常數(shù)的階數(shù)為8。

1 定理及證明

定理設(shè)f(x)為1個次數(shù)不超過n次的多項式，則

其中常數(shù)的階數(shù)8是不可改進(jìn)的。

證明設(shè)Pn(x)為n次Legendre多項式，由Legendre多項式的積分性質(zhì)[8]可得：

(1)

由Legendre多項式的導(dǎo)數(shù)遞推公式可求得：

P′n(x)=(2n-1)Pn-1(x)+P′n-2(x)=

(2n-1)Pn-1(x)+(2n-5)Pn-3(x)+P′n-4(x)=

…=

(2)

f(x)為1個次數(shù)不超過n次的多項式，則f(x)可以用Pn(x)的線性組合來表示，即存在唯一的實數(shù)ai(i=0,1,…,n)使得：

f(x)=anPn(x)+an-1Pn-1(x)+…+a1P1(x)+a0P0(x)

則

(3)

當(dāng)n為奇數(shù)時，對f(x)求一階導(dǎo)，得到：

f′(x)=anP′n(x)+an-1P′n-1(x)+…+a1P′1(x)=

(2n-1)anPn-1+(2n-3)an-1Pn-2+(2n-5)(an+an-2)Pn-3+…+

3(an-1+…+a2)P1+(an+…+a1)P0

對f′(x)繼續(xù)求導(dǎo)，得到：

f″(x)=(2n-3)(2n-1)anPn-2+(2n-5)(2n-3)an-1Pn-3+

(2n-7){[(2n-1)+(2n-5)]an+(2n-5)an-2}Pn-4+

…+

[2(n-2k)+1]〈{(2n-1)+…+[2(n-2k+1)+1]}an+

{(2n-5)+…+[2(n-2k+1)+1]}an-2+…+[2(n-2k+1)+1]an-2k+2〉Pn-2k+

[2(n-2k-1)+1]〈{(2n-3)+…+[2(n-2k)+1]}an-1+

{(2n-7)+…+[2(n-2k)+1]}an-3+…+[2(n-2k)+1]an-2k+1〉Pn-(2k+1)+

…+

3{[(2n-1)+(2n-5)+…+5]an+[(2n-5)+…+5]an-2+…+5a3}P1+

{[(2n-3)+(2n-7)+…+3]an-1+[(2n-7)+…+3]an-3+…+3a2}P0

(4)

由式(1)和式(4)可得：

…+

[2(n-2k)+1]〈{(2n-1)+…+[2(n-2k+1)+1]}an+

{(2n-5)+…+[2(n-2k+1)+1]}an-2+…+[2(n-2k+1)+1]an-2k+2〉2+

[2(n-2k-1)+1]〈{(2n-3)+…+[2(n-2k)+1]}an-1+

{(2n-7)+…+[2(n-2k)+1]}an-3+…+[2(n-2k)+1]an-2k+1〉2+

…+

(5)

(6)

令

其中

要使得任意的a,I恒大于或等于0，只要矩陣B正定。由矩陣對角占優(yōu)正定，考察矩陣B的任意一行n1。

(a)當(dāng)n1為奇數(shù)時，令

(7)

(b)當(dāng)n1為偶數(shù)時，令

(8)

只要取a的值使得式(7)與式(8)成立，則矩陣正定，當(dāng)n1為奇數(shù)時3≤n1≤n，由式(7)得：

a≥(2n1+1)(an1,3+an1,5+an1,7+…+an1,n)

(9)

令

S(n1)=(2n1+1)(an1,3+an1,5+an1,7+…+an1,n)， 3≤n1≤n

求常數(shù)a的取值范圍只需求S(n1)的最大值，即

a≥Smax(n1)

由式(5)、式(6)可求得：

則有：

an1,3+an1,5+an1,7+…+an1,n=3[(2n1-1)+(2n1-5)+…+5]{5+(5+9)+

(5+9+13)+…+[5+…+(2n-1)]}+7[(2n1-1)+(2n1-5)+…+9]

{9+(9+13)+(9+13)+17)+…+[9+…+(2n-1)]}+

…+

(2n1-3)(2n1-1){(2n1-1)+[(2n1-1)+(2n1+3)]+…+[(2n1-1)+…+(2n-1)]}

(10)

式(10)等號右邊為3個數(shù)列的乘積，分別設(shè)這幾個數(shù)列為Am,Bm,Cm。

現(xiàn)分別求Am,Bm,Cm的通項，數(shù)列Am為3，7，11，…，2n1-3，易求Am的通項為：

Am=4m-1

數(shù)列Bm為：

(2n1-1)+(2n1-5)+…+5,(2n1-1)+(2n1-5)+…+9,…,(2n1-1)+(2n1-5),2n1-1

數(shù)列Bm中第m項為：

數(shù)列Cm為：

5+(5+9)+…+[5+…+(2n-1)],9+(9+13)+…+[9+…+(2n-1)],
…,(2n1-1)+[(2n1-1)+(2n1+3)]…+[(2n1-1)+…+(2n-1)]

其中第m項為：

則有：

(11)

同理，當(dāng)n1為偶數(shù)時2≤n1≤n-1，有：

(12)

對比式(11)與式(12)，取

當(dāng)n為偶數(shù)時，同理可得：

(13)

由式(5)得：

…+

[2(n-2k)+1]〈{(2n-1)+…+[2(n-2k+1)+1]}an+

{(2n-5)+…+[2(n-2k+1)+1]}an-2+…+[2(n-2k+1)+1]an-2k+2〉2+

(14)

式(14)中不等號右邊任意第k項為：

[2(n-2k)+1][2(n-2k+2)+1]〈{(2n-1)+…+[2(n-2k+1)+1]}+

{(2n-5)+…+[2(n-2k+1)+1]}+…+[2(n-2k+1)+1]〉2=

則由式(14)可得：

(15)

由式(13)、式(15)可得：

證畢。

2 結(jié)束語

本文結(jié)合正交多項式的導(dǎo)數(shù)遞推性質(zhì)與帶權(quán)積分性質(zhì)，利用矩陣對角占優(yōu)正定的性質(zhì)，求解出權(quán)為1時的二階Bernstein-Markov型不等式的一個較小的常數(shù)。不同權(quán)函數(shù)、同種權(quán)函數(shù)不同階導(dǎo)數(shù)所對應(yīng)的Bernstein-Markov型不等式的最佳常數(shù)不一樣，因此這類不等式還有很多方面值得深入探討。