基于特征譜分析的領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性

李一帆，孫偉剛

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

多智能體系統(tǒng)一致性理論在人工智能、通信與控制等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如無(wú)人機(jī)編隊(duì)、衛(wèi)星協(xié)同工作。多智能體一致性指通過(guò)設(shè)計(jì)各個(gè)智能體之間的一致性協(xié)議，利用智能體之間的局部信息，不斷調(diào)整自己的行為，使得所有智能體的狀態(tài)最終達(dá)到一致[1-2]。作為一類重要的一致性問(wèn)題，領(lǐng)導(dǎo)-追隨者多智能體系統(tǒng)的一致性越來(lái)越受關(guān)注，其中領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)不受其它智能體影響，而其它智能體盡可能追隨領(lǐng)導(dǎo)者[3]。由于多智能體系統(tǒng)無(wú)法避免噪聲的干擾，因此研究系統(tǒng)對(duì)噪聲的魯棒性非常重要。2010年，Patterson等[4]提出了含有噪聲的領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性概念，在H2范數(shù)下，證明了領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性是由拉普拉斯矩陣的特征譜所決定，同時(shí)提出幾種用于選擇領(lǐng)導(dǎo)者的貪婪算法，從而使得網(wǎng)絡(luò)達(dá)到最優(yōu)一致性。Yi等[5]研究了一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的無(wú)標(biāo)度小世界Koch網(wǎng)絡(luò)，得到領(lǐng)導(dǎo)-追隨者一致性的精確結(jié)果，并指出網(wǎng)絡(luò)的一致性不僅與領(lǐng)導(dǎo)者到中心節(jié)點(diǎn)的最短路徑有關(guān)，還取決于領(lǐng)導(dǎo)者的度。眾所周知，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定了其特征譜，因此計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的特征譜面臨著技術(shù)挑戰(zhàn)。目前，給出含有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性精確解的相關(guān)研究文獻(xiàn)鮮少，同時(shí)，領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)目對(duì)一致性是否有影響也值得深入探討。為此，本文借助一類確定性網(wǎng)絡(luò)模型[6]，得到含有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)設(shè)置的一致性解析表達(dá)式，揭示領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)一致性影響的機(jī)理。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 拉普拉斯矩陣

記G是一個(gè)由N個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的無(wú)向連通網(wǎng)絡(luò)。設(shè)A=[Aij]N×N是G的鄰接矩陣，如果節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間有連接，則Aij=Aji=1(i≠j)，否則，Aij=Aji=0。令D=diag{k1,k2,…,kN}為G的度對(duì)角陣，其中ki為節(jié)點(diǎn)i的度，則網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)=D-A。

1.2 領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性

N維系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)表示如下：

(1)

式中，x(t)是狀態(tài)向量，I是單位矩陣，H=diag{h1,h2,…,hN}，如果節(jié)點(diǎn)i是領(lǐng)導(dǎo)者，則hi=1，否則hi=0，η(t)表示高斯白噪聲。

(2)

式中，1表示元素全為1的向量。

將式(2)代入式(1)，可得：

假設(shè)系統(tǒng)有α個(gè)節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者，剩余N-α個(gè)節(jié)點(diǎn)為追隨者。追隨者受到噪聲干擾并根據(jù)局部信息調(diào)整自己的狀態(tài)。令xl(t)和xf(t)分別表示領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者的狀態(tài)，則系統(tǒng)(1)可以寫為：

定義領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性定義為偏離領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的平均穩(wěn)態(tài)方差[5]，即：

文獻(xiàn)[5]的研究成果表明，領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)的一致性可以由拉普拉斯主子陣的特征值來(lái)表示，即：

2 一類特殊網(wǎng)絡(luò)拉普拉斯主子陣的特征譜計(jì)算

圖1 具有2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的網(wǎng)絡(luò)模型

由于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)多樣性，解析計(jì)算領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性結(jié)果面臨技術(shù)挑戰(zhàn)。本文選取由3個(gè)參數(shù)控制的一類windmill-網(wǎng)絡(luò)模型作為研究對(duì)象[7]，網(wǎng)絡(luò)模型由l個(gè)中心節(jié)點(diǎn)和m個(gè)kn-完全圖組成的社團(tuán)連接而成，其中kn的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都與l個(gè)中心節(jié)點(diǎn)連接，并且l個(gè)中心節(jié)點(diǎn)組成一個(gè)kl-完全圖。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)N=mn+l。具有2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的網(wǎng)絡(luò)模型W(3,2,3)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)W(l,m,n)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其拉普拉斯矩陣L為：

式中，J是元素全為1的矩陣，0是零矩陣。本文在中心節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選取α個(gè)節(jié)點(diǎn)作為領(lǐng)導(dǎo)者，即在該網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣中刪除領(lǐng)導(dǎo)者所在的行和列，則該網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯主子陣表示為：

從第2列開始，將每1列加到第1列，可得：

(3)

根據(jù)行列式的特征，繼續(xù)將每1列加到第1列，再將第1行乘以-1加到每1行，可得：

(α-λ)(mn+l-λ)l-α-1(mn+1-λ)(l-λ)m-1(n+l-λ)m(n-1)

(4)

3 領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性分析

根據(jù)定義，網(wǎng)絡(luò)的一致性的精確表達(dá)式如下：

(5)

當(dāng)參數(shù)n→∞，HLF→0時(shí)，網(wǎng)絡(luò)隨著n的增大最終趨于一致。選取參數(shù)l=25，m=10，進(jìn)行數(shù)值模擬，當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)目分別為2，4，8時(shí)，參數(shù)n對(duì)網(wǎng)絡(luò)一致性的影響如圖3所示。從圖3可以看出，n越大，網(wǎng)絡(luò)一致性越好，與理論解析結(jié)果相符。

圖2 不同領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)目下，參數(shù)m對(duì)網(wǎng)絡(luò)一致性的影響

圖3 不同領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)目下，參數(shù)n對(duì)網(wǎng)絡(luò)一致性的影響

圖4 領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)目對(duì)網(wǎng)絡(luò)一致性的影響

4 結(jié)束語(yǔ)

本文應(yīng)用一類確定性網(wǎng)絡(luò)計(jì)算了具有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者設(shè)置的領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性。通過(guò)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，精確計(jì)算了網(wǎng)絡(luò)拉普拉斯主子陣的特征譜，由此得到領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性的解析表達(dá)式，為研究具有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體一致性問(wèn)題提供理論指導(dǎo)。但是，本文研究中，領(lǐng)導(dǎo)者設(shè)置在中心節(jié)點(diǎn)，下一步考慮將領(lǐng)導(dǎo)者位置設(shè)置在其余節(jié)點(diǎn)，展開進(jìn)一步研究與探索。