數(shù)學(xué)教學(xué)的第三要?jiǎng)?wù)：精心組織課堂教學(xué)

【摘 要】 數(shù)學(xué)教學(xué)的主陣地在課堂，學(xué)習(xí)的主體在學(xué)生.在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生在親身參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中達(dá)到掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)解決問題的目的.課堂上學(xué)生的活動(dòng)主要包括數(shù)學(xué)閱讀理解活動(dòng)、數(shù)學(xué)思考與探索活動(dòng)、問題解決活動(dòng)以及數(shù)學(xué)建模活動(dòng).

【關(guān)鍵詞】 閱讀理解;思考探索;問題解決;數(shù)學(xué)建模

筆者在貴刊2019（6）和2020（2）發(fā)表了研讀教材和設(shè)計(jì)教學(xué)方案的兩篇文章，教師充分研讀了教材，并且做好了課時(shí)教學(xué)方案的設(shè)計(jì)，從教學(xué)“順序”上看就該進(jìn)入課堂“實(shí)戰(zhàn)”了，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的“落腳點(diǎn)”.

筆者經(jīng)過長時(shí)間的思考與探索，認(rèn)為在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)以課前精心設(shè)計(jì)的教學(xué)方案為主，引導(dǎo)學(xué)生積極參與下面的四個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng).

1 閱讀理解活動(dòng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）在“實(shí)施建議”中對(duì)閱讀提出過多次具體要求，如“對(duì)于學(xué)有余力并對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導(dǎo)他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能”[1].在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)閱讀活動(dòng)具有積極的教學(xué)價(jià)值[2]：

（1）拓展學(xué)生的知識(shí)面;

（2）澄清模糊觀念;

（3）加強(qiáng)對(duì)知識(shí)之間相互聯(lián)系的認(rèn)識(shí);

（4）培養(yǎng)學(xué)生的思維能力;

（5）提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力;

（6）提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力;

（7）幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法;

（8）幫助學(xué)生掌握使用現(xiàn)代信息技術(shù);

（9）對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化熏陶;

（10）形成學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣等.

最近幾年的中考中常見“閱讀理解型”考題，學(xué)生只有通過閱讀，真正理解了題目的“意義”，才能正確的進(jìn)行解答.

案例1 （2020年山西中考題）你能作出直角嗎？

閱讀與思考：

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

×年×月×日 星期日

沒有直角尺也能作出直角

今天，我在書店一本書上看到下面材料：

木工師傅有一塊如圖1①所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線AB，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過AB上的一點(diǎn)C，作出AB的垂線，用鋸子進(jìn)行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？

辦法一：如圖1①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分別以D，C為圓心，以50cm與40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作直線CE，則∠DCE必為90°.

辦法二：如圖1②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點(diǎn)出M，N兩點(diǎn)，然后把木棒斜放在木板上，使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，用鉛筆在木板上將點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)Q，保持點(diǎn)N不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在AB上，在木板上將點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)R.然后將RQ延長，在延長線上截取線段QS=MN，得到點(diǎn)S，作直線SC，則∠RCS=90°.

我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？

……

任務(wù)：

（1）填空：“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是____________________________;

（2）根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明∠RCS=90°;

（3）①尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D2的木板上，過點(diǎn)C作出AB的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）;

②說明你的作法依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)（寫出一個(gè)即可）

析解 （1）由作圖過程可知DC2+CE2=ED2，所以△DCE是直角三角形.答案是：勾股定理的逆定理（或如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形）;

（2）證明：由作圖的方法可知QR=QC，QS=QC，所以∠QCR=∠QRC，∠QCS=∠QSC，因?yàn)椤蟂RC+∠RCS+∠CSR=180°，所以∠QCR+∠QCS+∠QRC+∠QSC=180°，所以2（∠QCR+∠QCS）=180°，所以∠QCR+∠QSC=90°，即∠RCS=90°.

（3）①以點(diǎn)C為圓心，任意長為半徑畫弧，與AB有兩個(gè)交點(diǎn)，分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離的一半為半徑畫弧，這兩段弧交于一點(diǎn)P，連接PC即可（如圖3），直線CP即為所求;

②答案不唯一，如：等腰三角形“三線合一”;SSS等.

點(diǎn)評(píng) 《課標(biāo)（2011年版）》）提出了九個(gè)基本事實(shí)，其中“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”[1]是第三個(gè)基本事實(shí)，這個(gè)“點(diǎn)”可以在已知直線外，也可以在直線上.本題考查的就是當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在直線上時(shí)的作法.閱讀材料首先給出了兩種作法，然后提出了讓學(xué)生解答的三個(gè)具體“任務(wù)”.考查了學(xué)生對(duì)于直線垂直判定方法的理解以及尺規(guī)作圖能力.學(xué)生通過認(rèn)真閱讀，“找出”兩種作圖過程“蘊(yùn)涵”的條件是解決前兩個(gè)“任務(wù)”的關(guān)鍵.第三個(gè)“任務(wù)”主要考查學(xué)生尺規(guī)作圖的能力.學(xué)生通過解答本題，能進(jìn)一步體會(huì)到閱讀的重要性.

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，信息量成倍的增長，這就迫切要求學(xué)生具有較強(qiáng)的閱讀理解能力，這種能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成因素之一，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的閱讀理解能力是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑之一，是提高國民數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)重要舉措.

2 數(shù)學(xué)思考與探索活動(dòng)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“思考”與“探索”是兩個(gè)使用頻率非常高的動(dòng)詞，《課標(biāo)（2011年版）》共提及“思考”82次，“探索”91次[1].

數(shù)學(xué)思考，就是在遇到各種各樣的問題情境時(shí)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想和觀念去分析、探究，從而發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法加以解決的過程[3].

探索是指獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對(duì)象的特征及其與相關(guān)對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識(shí)[1].

《課標(biāo)（2011年版）》在課程“總目標(biāo)”中提出了三條具體要求，如“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”[1].這個(gè)目標(biāo)的“核心”是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)能力是在學(xué)生獨(dú)立思考與自主探索的過程中，逐步形成和發(fā)展起來的[4].

案例2 小狗的活動(dòng)范圍問題.

在一空曠場地上設(shè)計(jì)一落地為矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m長的繩子一端固定在B點(diǎn)處，小狗在不能進(jìn)入小屋內(nèi)的條件下活動(dòng)，其可以活動(dòng)的區(qū)域面積為S（m2）.

（1）如圖4，若BC=4m，則S=__________________m2.

（2）如圖5，現(xiàn)考慮在（1）中的矩形ABCD小屋的右側(cè)以CD為邊拓展一正△CDE區(qū)域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其它條件不變.則在BC的變化過程中，當(dāng)S取得最小值時(shí)，邊長BC的長為________________________m.

點(diǎn)評(píng) 解答本題的困難在于正確的確定出小狗分別在A，B，C處可以活動(dòng)的范圍，雖然小狗在這三個(gè)地方能活動(dòng)的區(qū)域都是圓形，但由于題目中有限制條件（小狗不能進(jìn)入矩形ABCD小屋活動(dòng)），所以小狗實(shí)際的活動(dòng)范圍就由圓形縮小為扇形，正確的探索到“小狗在不能進(jìn)入矩形ABCD小屋內(nèi)活動(dòng)的條件下，其可以活動(dòng)的區(qū)域應(yīng)為三個(gè)扇形之和”是解題的關(guān)鍵.本題表面看是考查學(xué)生的代數(shù)計(jì)算能力，實(shí)質(zhì)上通過思考、探索得到活動(dòng)范圍是由三個(gè)扇形構(gòu)成的區(qū)域并正確的列出每個(gè)扇形的面積才是考查的重點(diǎn).

學(xué)生在解答時(shí)只有根據(jù)題意結(jié)合圖4（圖5），經(jīng)過數(shù)學(xué)思考與探索活動(dòng)，把小狗的活動(dòng)范圍抽象得到圖6（圖7）界定的“范圍”，即準(zhǔn)確判斷出小狗的活動(dòng)范圍才是解決問題的關(guān)鍵.

在計(jì)算一些不規(guī)則圖形或由一些規(guī)則圖形拼接而成的圖形面積（周長）時(shí)，正確找出是“哪些”圖形模型的面積（周長）是學(xué)生感到困難的地方.對(duì)于這樣的問題，可以在閱讀的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確把握題意，畫出簡圖，借助于圖形的直觀特點(diǎn)，通過思考、探索得出計(jì)算的式子.

在課堂教學(xué)前，要結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)問題系列，在課堂上以此引導(dǎo)學(xué)生積極思考、大膽探索，在積極思考與探索的過程中，經(jīng)歷知識(shí)的形成過程以及知識(shí)的應(yīng)用過程.

3 問題解決活動(dòng)

問題解決是《課標(biāo)（2011年版）》提出的課程目標(biāo)，也是一種數(shù)學(xué)能力，還是學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)的過程.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生開展問題解決活動(dòng)是落實(shí)《課標(biāo)（2011年版）》提出的目標(biāo)要求，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要任務(wù)之一.

案例3 （2020年天津市中考題）你能求出小亮離開宿舍的時(shí)間嗎？

在“看圖說故事”活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合圖象（圖8）設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境.

已知小亮所在學(xué)校的宿舍、食堂、圖書館依次在同一條直線上，食堂離宿舍0.7km，圖書館離宿舍1km.周末，小亮從宿舍出發(fā)，勻速走了7min到食堂;在食堂停留16min吃早餐后，勻速走了5min到圖書館;在圖書館停留30min借書后，勻速走了10min返回宿舍.給出的圖象反映了這個(gè)過程中小亮離宿舍的距離ykm與離開宿舍的時(shí)間xmin之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

（1）填表：

（2）填空：

①食堂到圖書館的距離為_______________km;

②小亮從食堂到圖書館的速度為_______________km/min;

③小亮從圖書館返回宿舍的速度為_______________km/min;

④當(dāng)小亮離宿舍的距離為0.6km時(shí)，他離開宿舍的時(shí)間為_______________min.

（3）當(dāng)0≤x≤28時(shí)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

析解 （1）根據(jù)圖象可知，小亮從宿舍到食堂的路程是0.7km，勻速走了7/min，所以平均速度是0.7÷7=0.1（km/min），所以當(dāng)離開宿舍的時(shí)間為5min時(shí)，行駛的路程即離宿舍的距離為0.1×5=0.5（km）;由圖象可知，當(dāng)時(shí)間是23min，離宿舍的距離是0.7km;當(dāng)時(shí)間是30min，離宿舍的距離是1km.

（2）①食堂到圖書館的距離是1-0.7=0.3（km）;

②小亮從食堂到圖書館的速度為0.3÷5=0.06（km/min）;

③小亮從圖書館返回宿舍的速度為1÷10=0.1（km/min）;

④當(dāng)小亮離宿舍的距離為0.6km時(shí)，分兩種情況：一是他從宿舍到食堂的過程中離宿舍0.6km，此時(shí)他離開宿舍的時(shí)間為0.6÷0.1=6（min）;二是他從圖書館回宿舍的過程中離宿舍0.6km，此時(shí)他離開宿舍的時(shí)間為68-6=62（min）.

（3）當(dāng)0≤x≤28時(shí)，觀察圖象發(fā)現(xiàn)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式分為三種情況：

點(diǎn)評(píng) 本題屬于常見的一次函數(shù)應(yīng)用題，主要考查學(xué)生利用一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.題目以小亮從“宿舍”出發(fā)經(jīng)“食堂吃飯”到“圖書館借書”，然后返回宿舍為背景，直接給出了“宿舍—食堂—圖書館”三者相互之間的距離，并且給出了從“宿舍→食堂→圖書館”用的時(shí)間以及從圖書館回到宿舍用的時(shí)間.在此基礎(chǔ)上給出了三個(gè)問題，其中前兩個(gè)問題根據(jù)題目中的信息，可以解決.在解決第二個(gè)問題中的第④小題時(shí)，應(yīng)分兩種情況考慮，這是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方.在計(jì)算第二種情況時(shí)，除了前面的解法外，也可以這樣計(jì)算：（7+16+5+30）+0.4÷0.1=62（min）.在解決第三個(gè)問題，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式時(shí)，通過觀察圖8發(fā)現(xiàn)，函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)的圖象分三段，第一、三兩段屬于線段，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是“一次函數(shù)”，利用待定系數(shù)法不難求出，中間段函數(shù)值是定值（恒為0.7），函數(shù)為y=0.7，在寫函數(shù)解析式，應(yīng)注明自變量x的取值范圍，這也是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方.

這樣的題目有助于學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的形成與發(fā)展.教師在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)合學(xué)生的實(shí)際接受能力，盡量設(shè)計(jì)一些能利用所學(xué)知識(shí)解答的實(shí)際問題，以培養(yǎng)和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).4 數(shù)學(xué)建模活動(dòng)

當(dāng)人們面對(duì)一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)語言、方法去近似地刻畫實(shí)際問題，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就是數(shù)學(xué)模型[5].數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是建立一個(gè)一個(gè)的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的第一步是建立數(shù)學(xué)模型[6].

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們要結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)一些能通過建立數(shù)學(xué)模型解決的問題，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的教學(xué)價(jià)值.

案例4 （2020年連云港中考題）購買方案有幾種？

甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動(dòng)，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：

（1）甲、乙兩公司各有多少人？

（2）現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買A，B兩種防疫物資，A種防疫物資每箱15000元，B種防疫物資每箱12000元.若購買B種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來（注：A，B兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）.

本題考查了分式方程的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用以及根據(jù)整數(shù)解確定方案問題，在學(xué)生學(xué)習(xí)了相應(yīng)知識(shí)后，可以讓學(xué)生在課堂上進(jìn)行解答，以培養(yǎng)學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型解決問題的能力.

我們結(jié)合具體案例論述了課堂上學(xué)生應(yīng)積極參與的四個(gè)主要活動(dòng)，具體到一節(jié)課，我們不一定要求學(xué)生同時(shí)開展這些活動(dòng)，但在課堂上只要能讓學(xué)生長久的“動(dòng)”起來，就一定能提高課堂教學(xué)的實(shí)效.

參考文獻(xiàn)

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[3]李樹臣.正確認(rèn)識(shí)和重視對(duì)數(shù)學(xué)思考的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（2）.

[4]李樹臣.認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（12）.

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[6]李樹臣.滲透數(shù)學(xué)模型思想的基本途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（10）.