運(yùn)用比較，積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

曹美娟

說(shuō)到比較，在各科教學(xué)中都很常見(jiàn)。著名教育家烏申斯基就說(shuō)過(guò)：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的?！薄冬F(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》對(duì)“比較”的解釋是：“就兩種或兩種以上同類的事物辨別異同或高下。”布魯姆等人確定的認(rèn)知目標(biāo)領(lǐng)域中，比較是“理解”“分析”“評(píng)價(jià)”水平上的具體行為動(dòng)詞，也就是說(shuō)，比較是理性思維在具體學(xué)習(xí)行為上的“投射”。那么，如何運(yùn)用比較來(lái)積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？結(jié)合教學(xué)實(shí)例，我從以下幾方面進(jìn)行了探究。

一、“求同”，積累歸納的經(jīng)驗(yàn)

（一）“異”中求“同”

數(shù)學(xué)知識(shí)中有很多內(nèi)容都有緊密的聯(lián)系，許多知識(shí)內(nèi)容看似基本上沒(méi)有任何聯(lián)系，但是對(duì)題目進(jìn)行仔細(xì)分析后，反而能發(fā)掘出其中的共同特性，而掌握這些特性就能積累更多數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，有效歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維邏輯。因此，在教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些貌似迥異的數(shù)學(xué)材料進(jìn)行分析，讓學(xué)生比較隱藏其中的共性特性，進(jìn)而歸納出該知識(shí)的本質(zhì)特點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷從“眼前之竹”的“異”升華到“胸中之竹”的“同”。

在教學(xué)蘇教版教材“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，學(xué)生通過(guò)“折一折”“涂一涂”表示出一張長(zhǎng)方形紙的“二分之一”。當(dāng)學(xué)生展示各不相同的作品時(shí)（有的橫著對(duì)折，有的豎著對(duì)折，還有的斜著對(duì)折，得到的形狀有長(zhǎng)方形、三角形等），教師拋出問(wèn)題：分的結(jié)果不同，為什么涂色部分都是長(zhǎng)方形的二分之一呢？引發(fā)學(xué)生對(duì)這些作品進(jìn)行比較，透過(guò)表面的“異”發(fā)現(xiàn)這些作品內(nèi)蘊(yùn)的“同”：都是把長(zhǎng)方形平均分成兩份，涂色的是其中的一份。在這里，操作是為比較提供素材，而“異中求同”則是為了突出了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征，當(dāng)學(xué)生找到了其間的共性時(shí)，“二分之一”這個(gè)分?jǐn)?shù)的意義也就呼之欲出了。

（二）“變”中求“同”

數(shù)學(xué)理論知識(shí)內(nèi)容的起源其實(shí)都是從生活實(shí)踐中變化而來(lái)的，這也是數(shù)學(xué)的魅力，也是因?yàn)橛凶兓?，所以才?huì)出現(xiàn)多樣、復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和理論，但是其中也有很多的共同點(diǎn)，因?yàn)閷?duì)于作答相同的題目，利用經(jīng)過(guò)不同變化的理論，反而會(huì)得出同樣的答案。因此，變化是永恒的，從“變”的角度發(fā)現(xiàn)“同”，也就是函數(shù)思想的運(yùn)用。在蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)階段，均有函數(shù)思想的滲透，積累這樣的思維經(jīng)驗(yàn)，能為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定思維基礎(chǔ)。

在蘇教版教材“多邊形的內(nèi)角和”一課中，學(xué)生探索多邊形內(nèi)角和計(jì)算方法時(shí)，他們已有知識(shí)基礎(chǔ)是“三角形的內(nèi)角和為180度”。教師可依次呈現(xiàn)四邊形、五邊形、六邊形，讓學(xué)生動(dòng)手分一分，感受可分成的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律：四邊形可分成兩個(gè)三角形，五邊形可分成三個(gè)三角形……隨著邊數(shù)的增加，可分成的三角形個(gè)數(shù)也相應(yīng)增加。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)，三角形的個(gè)數(shù)總是比邊數(shù)少2，也就是說(shuō)，不斷變化的三角形的個(gè)數(shù)和多邊形的邊數(shù)之間存在一定的數(shù)量關(guān)系。至此，學(xué)生得出數(shù)量關(guān)系式：三角形的個(gè)數(shù)=多邊形的邊數(shù)-2。從“變化”中尋求“不變”，逐步揭示了變化中蘊(yùn)含的恒定規(guī)律，這正是數(shù)學(xué)思維的魅力所在。

二、“辨異”，積累分析的經(jīng)驗(yàn)

（一）執(zhí)果索“異”

結(jié)果往往是學(xué)習(xí)中學(xué)生最能直觀感受數(shù)學(xué)邏輯的材料。前面講到，數(shù)學(xué)理論源自生活實(shí)際的推導(dǎo)，但是當(dāng)用數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)生活實(shí)際中的事物時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生不同種類、形式的結(jié)果，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論概念的靈活性，體現(xiàn)了結(jié)果中的“異”。學(xué)生懂得了執(zhí)果索“異”，那么在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，就會(huì)形成多樣的方法，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)同一問(wèn)題的不同探究結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)而抽絲剝繭，推究差異產(chǎn)生的原因，是形成分析能力的重要途徑。

教學(xué)蘇教版教材“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，學(xué)生用形狀、大小不同的紙表示出了“四分之一”，教師引導(dǎo)學(xué)生比較：既然都表示同一個(gè)分?jǐn)?shù)，為什么會(huì)大小不同呢？大小不同的物體能用同一個(gè)分?jǐn)?shù)表示嗎？通過(guò)對(duì)實(shí)物“四分之一”意義的溯源，推出原因：第一，被平均分的紙張大小不一樣，也就是“單位‘1”不同，分得的部分也就不同；第二，它們都是把“單位‘1”平均分成了4份，表示其中的1份，所以都可以用“四分之一”表示。從而進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義：分?jǐn)?shù)是基于“單位‘1”比較所得到的結(jié)果，體現(xiàn)的是兩者之間的關(guān)系。

（二）由因?qū)А爱悺?/p>

不同的條件從不同的角度看待會(huì)產(chǎn)生不同的思路和看法。對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的題目，當(dāng)給的條件相同，但是所問(wèn)的內(nèi)容不同時(shí)，我們進(jìn)行對(duì)比就會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)理論對(duì)結(jié)果的導(dǎo)向性存在較大的矛盾，而這也是數(shù)學(xué)思維本身的一大特質(zhì)，學(xué)生要懂得根據(jù)所問(wèn)內(nèi)容的區(qū)別來(lái)掌握相同理論的運(yùn)用方法，根據(jù)“因”求證“異”，促進(jìn)數(shù)學(xué)邏輯思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)中有很多容易混淆的知識(shí)，究其原因，還是沒(méi)有清晰地認(rèn)識(shí)其間的區(qū)別。若能抓住“對(duì)立之處”，也就是“混淆點(diǎn)”的形成過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)比較，就能形成深刻的認(rèn)識(shí)。

如教學(xué)蘇教版教材四年級(jí)“找規(guī)律”一課時(shí)，對(duì)于“首尾相同”和“首尾不同”兩種情況，盡管都講解了，但學(xué)生在實(shí)際解決問(wèn)題過(guò)程中往往難以區(qū)分。在教學(xué)實(shí)踐中，可以運(yùn)用動(dòng)態(tài)比較理清過(guò)程：讓學(xué)生通過(guò)分別“擺一擺”“畫一畫”得到“首尾不同”和“首尾相同”兩種情況，并根據(jù)圖進(jìn)一步觀察并比較這兩種情況在操作過(guò)程中的異同點(diǎn)。學(xué)生逐步從具體形象思維到抽象思維明晰“混淆點(diǎn)”，發(fā)現(xiàn)算理：“首尾不同”時(shí)，兩種物體一一對(duì)應(yīng)，所以它們的數(shù)量相等；而“首尾相同”時(shí)，兩種物體一一對(duì)應(yīng)后必定有一種物體還余1，所以在首尾位置上的物體要多1。

三、“聯(lián)系”，積累構(gòu)建的經(jīng)驗(yàn)

（一）新舊鏈接

布魯納說(shuō)：無(wú)論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，要用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行新知識(shí)和舊知識(shí)的鏈接，把數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生自覺(jué)嘗試從舊知到新知的生長(zhǎng)。如蘇教版教材六年級(jí)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”一課，本課的生長(zhǎng)點(diǎn)是“分?jǐn)?shù)的意義”。教師引導(dǎo)學(xué)生解決“誰(shuí)投球最準(zhǔn)”的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷了“比較投球命中率”的過(guò)程，也就是將分?jǐn)?shù)“進(jìn)化”成百分?jǐn)?shù)的過(guò)程，幫助學(xué)生借助“分?jǐn)?shù)的意義”自主理解“百分?jǐn)?shù)的意義”，實(shí)現(xiàn)從分?jǐn)?shù)到百分?jǐn)?shù)的遷移生長(zhǎng)。

（二）方法融會(huì)

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的解法。對(duì)于這些解法，如能引導(dǎo)學(xué)生融會(huì)貫通，發(fā)現(xiàn)其“殊途同歸”的實(shí)質(zhì)，則有利于學(xué)生形成會(huì)變通的思維。例如，在推導(dǎo)梯形面積計(jì)算公式時(shí)，有的學(xué)生用兩個(gè)完全相同的梯形拼成平行四邊形，得到：（上底+下底）×高÷2；有的學(xué)生將梯形分成兩個(gè)三角形，得到：上底×高÷2+下底×高÷2；也有的學(xué)生把梯形沿著中線剪開(kāi)，再拼成一個(gè)平行四邊形，得到：（上底+下底）×（高÷2）。將這些貌似不同的方法進(jìn)行比較整理，發(fā)現(xiàn)都可以表達(dá)為：（上底+下底）×高÷2。在數(shù)形結(jié)合的探索和各種思路的碰撞中，學(xué)生的思維得到拓展和發(fā)散，最終發(fā)現(xiàn)“萬(wàn)變不離其宗”，所有思路全部落實(shí)到“轉(zhuǎn)化”這一核心策略，所有算式也全部歸于梯形面積計(jì)算公式，從而獲得變通的思維經(jīng)驗(yàn)。

（三）正誤對(duì)話

大哲學(xué)家黑格爾說(shuō)：“錯(cuò)誤本身乃是達(dá)到真理的一個(gè)必然環(huán)節(jié)?！睌?shù)學(xué)課堂上，“正”“誤”往往同時(shí)發(fā)生，這兩者都真實(shí)地反映著學(xué)生的思維活動(dòng)、心理活動(dòng)和學(xué)習(xí)情況。例如，在教學(xué)兩位數(shù)加一位數(shù)的筆算時(shí)，學(xué)生嘗試計(jì)算6+48，出現(xiàn)了正、誤兩種豎式，教師請(qǐng)學(xué)生對(duì)比評(píng)述。有的學(xué)生指出：這個(gè)豎式把6和十位對(duì)齊了。有的學(xué)生接著補(bǔ)充：6在個(gè)位上，應(yīng)該和8對(duì)齊。還有的學(xué)生進(jìn)一步提出：這個(gè)算式等于48+6，可以列成48+6的豎式嗎？在層層深入的對(duì)話中，學(xué)生對(duì)“誤”進(jìn)行了剖析，對(duì)“正”（數(shù)位對(duì)齊）有了更準(zhǔn)確、深刻的認(rèn)識(shí)，獲得了反思能力的提升。

綜上所述，要想學(xué)生能學(xué)習(xí)更深層次的數(shù)學(xué)知識(shí)，探究更深?yuàn)W的數(shù)學(xué)世界，學(xué)生就必須探究數(shù)學(xué)理論中蘊(yùn)含的聯(lián)系，堅(jiān)定地追求數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)，經(jīng)過(guò)一步步的探究了解數(shù)學(xué)思維的起源，從而奠定良好的數(shù)學(xué)思維能力。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)雖然比較隱秘，但它是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)和元?jiǎng)恿?。若能恰?dāng)運(yùn)用比較的方法，從學(xué)生的知識(shí)和心理起點(diǎn)出發(fā)，精心選取并組織教學(xué)材料，創(chuàng)設(shè)“求同”“辨異”“聯(lián)系”等思維活動(dòng)的契機(jī)，則能讓學(xué)生在辨析、推理、構(gòu)建、反思等過(guò)程中溝通知識(shí)間的異同、承接、遞進(jìn)，從而優(yōu)化學(xué)習(xí)過(guò)程，積累思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高思維能力。