關(guān)于圓的有關(guān)內(nèi)容教材編寫(xiě)及二次開(kāi)發(fā)研究（二）

劉慧

[摘 要]結(jié)合教學(xué)實(shí)踐與實(shí)驗(yàn)，對(duì)現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中編排的圓的面積估測(cè)和公式推導(dǎo)的探究活動(dòng)做了比較分析，指出了“畫(huà)—分—剪—拼”探究方法存在的問(wèn)題，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)論證了其不可行性，提出了借助三角形的面積公式推導(dǎo)圓的面積公式等完善教材的建議。

[關(guān)鍵詞]教材編寫(xiě);圓;面積;探究

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）20-0005-04

“圓的面積”是“圓”這一單元內(nèi)容的重中之重，各教材為了體現(xiàn)新課改的教育理念，展現(xiàn)圓的面積公式的來(lái)龍去脈，滲透數(shù)學(xué)思想，都精心編排了探究過(guò)程。但操作驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，教材的設(shè)計(jì)目標(biāo)很難實(shí)現(xiàn)，因此有必要對(duì)教材編寫(xiě)的探究活動(dòng)進(jìn)行分析。

一、圓的面積公式推導(dǎo)方法分析

關(guān)于圓的面積公式推導(dǎo)，各教材給出的方法既有一樣的，也有不同的。歸納起來(lái)，主要有以下幾種。

1.將圓分割為若干等份后拼成已學(xué)圖形

在紙上畫(huà)圓，將它分成若干等份，剪下圓并沿等分線剪開(kāi)，分成若干扇形小紙片，再拼成已學(xué)圖形，進(jìn)而推導(dǎo)出圓的面積公式。這是所有教材都給出的探究方法（簡(jiǎn)稱為“畫(huà)—分—剪—拼”方法），只是化歸的方向不同，有的單一，有的多向。

（1）化歸為平行四邊形（長(zhǎng)方形）

這種化歸方向是各教材中都有的，表述也大同小異。先對(duì)人教版教材進(jìn)行分析，然后再指出其他教材的異同。人教版教材（第67頁(yè);如圖1）先提出“在硬紙上畫(huà)一個(gè)圓，把圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開(kāi)后，用這些近似等腰三角形的小紙片拼一拼，你能發(fā)現(xiàn)什么？”，然后將圓紙片分成了16等份和32等份，拼出了近似的長(zhǎng)方形，指出“分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長(zhǎng)方形”的極限思想，推導(dǎo)出了圓的面積公式。此探究活動(dòng)其實(shí)很難實(shí)施。首先，用圓規(guī)在硬紙上畫(huà)一個(gè)圓好辦，可不管是把圓形紙片先分后剪，還是先剪后分，都得把圓形紙片剪下來(lái)，那要剪成一個(gè)比較標(biāo)準(zhǔn)的圓形紙片就很難。其次，假設(shè)能剪下一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓形紙片，怎么把它分成16等份和32等份？學(xué)生確實(shí)會(huì)作垂線，可先作兩條互相垂直的直徑將圓形紙片分成4等份，那再分呢？只能測(cè)量角，把直角分成兩個(gè)45°角以確定等分點(diǎn)，進(jìn)而8等份;再測(cè)量出22.5°、11.25°……以分成16等份、32等份……此操作也不容易。第三，假設(shè)能夠在圓形紙片上畫(huà)16或32等份線，那剪開(kāi)的過(guò)程也比較繁雜，即使學(xué)生能夠完成，但由于折疊的紙容易卷曲也會(huì)影響拼圖。第四，拼圖就非得拼出近似的長(zhǎng)方形嗎？拼出的圖形與平行四邊形不是更近似嗎？拼成學(xué)過(guò)的其他近似的圖形（梯形、三角形）不行嗎？

其實(shí)，蘇教版教材（第97頁(yè);如圖2）可能考慮到了以上分析的問(wèn)題，故在教材附頁(yè)中給出了圖中所示的、帶有16等份和32等份等分線的圓讓學(xué)生剪，這雖然減少了操作的難度，但其他問(wèn)題仍然存在。而滬教版教材（第112頁(yè);如圖3）、北師大版教材（第14頁(yè);如圖4）、西師大版教材（第20頁(yè);如圖5）、冀教版教材（第48頁(yè);如圖6）、青島版教材（第66頁(yè);如圖7），除上述問(wèn)題外還存在一個(gè)問(wèn)題，那就是“等分圓這個(gè)圖形，并把等分后的圖形拼起來(lái)”，學(xué)生能做到嗎？恐怕也是剪開(kāi)圓形紙片去拼的。

（2）化歸為梯形或三角形

作為探究活動(dòng)，浙教版教材是沒(méi)有封堵學(xué)生的化歸思路，且給學(xué)生留有思考空間的。浙教版教材（第69、70頁(yè);如圖8、圖9）不僅展示拼成的、近似的平行四邊形和長(zhǎng)方形，還有近似的梯形和三角形，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維和提升創(chuàng)新能力成是有較大幫助的。另外，西師大版教材在練習(xí)中以思考題的形式讓學(xué)生拼出近似的梯形和三角形去推導(dǎo)公式，也彌補(bǔ)了探究時(shí)化歸思路單一的不足。

綜上所述，用“畫(huà)—分—剪—拼”方法探究圓的面積公式，不僅因存在上述問(wèn)題很難實(shí)施，還把探究活動(dòng)變成了按流程進(jìn)行的操作活動(dòng)，變成了手工課。

2.將圓轉(zhuǎn)化為近似的三角形

有的教材將圓分割成若干等份后，得到的每一份都是近似的等腰三角形（扇形），但不剪拼圖形，而是根據(jù)三角形的面積公式推導(dǎo)圓的面積公式。如，浙教版教材（如圖9）把圓分成32等份，不剪開(kāi)，將每一小份（扇形）當(dāng)作三角形來(lái)求面積后再乘以32，即得到圓的面積公式。另外，冀教版教材（第47頁(yè);如圖10）以飛鏢板為例也是這種處理方式，計(jì)算出了面積，只是沒(méi)有借助其推導(dǎo)出圓的面積公式。

再者，北師大版教材（第16頁(yè);如圖11）是剪開(kāi)草繩編制的圓形茶墊，將其轉(zhuǎn)化成近似的三角形，利用其面積推導(dǎo)出圓的面積公式。此方法新穎、獨(dú)特，但只適用于類似的物品，而不適用于圓形紙片、鐵片等實(shí)體，缺乏一般性，這也應(yīng)是教材將其作為一種介紹而沒(méi)有把它作為推導(dǎo)圓面積公式的原因。

顯然，將圓轉(zhuǎn)化為近似的三角形，利用三角形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式的方法，比“畫(huà)—分—剪—拼”方法要好。因?yàn)閷⒚恳粋€(gè)小扇形當(dāng)作三角形，其近似程度比剪開(kāi)拼成的近似的已學(xué)圖形更高，且省去了不少煩瑣的機(jī)械式操作。

二、思考與建議

1.“畫(huà)—分—剪—拼”的探究方法不具備可行性

我給已學(xué)過(guò)圓的面積的學(xué)生提供圓形紙片，讓他們按照“畫(huà)—分—剪—拼”的探究方法進(jìn)行操作。該班45人，在20分鐘內(nèi)能分成32等份并拼成較標(biāo)準(zhǔn)拼圖的一個(gè)人也沒(méi)有，能分成16等份后拼成還算較標(biāo)準(zhǔn)拼圖的也只有7人。尤其需要指出的是，這7人都沒(méi)有按教材上的要求去做，而是邊折邊割完成的，不是剪開(kāi)而是割開(kāi)。試想：按教材的步驟在紙上畫(huà)一個(gè)圓，把它略為標(biāo)準(zhǔn)地剪下來(lái)就至少需要1～2分鐘;將圓形紙片等分并畫(huà)上16或32等份的等分線，這需確定等分點(diǎn)并畫(huà)出8或16條直徑，也至少需要5～6分鐘才能做到;用剪刀剪成16、32等份，分別需要剪15、31次，在不要求很標(biāo)準(zhǔn)的情況下至少也需要5～6分鐘;最后拼出圖形少說(shuō)也得2～3分鐘。可見(jiàn)，20分鐘之內(nèi)絕大多數(shù)學(xué)生是不能完成的。因此，這種探究方法根本不具備可行性。事實(shí)上，眾多該內(nèi)容的教學(xué)只是簡(jiǎn)單介紹此方法，而后用多媒體展示說(shuō)明，真正讓學(xué)生按此方法進(jìn)行操作探究的不多，足可說(shuō)明大多數(shù)教師也發(fā)現(xiàn)了此方法的不可行性。既然如此，此探究方法的設(shè)計(jì)就沒(méi)有存在的必要。若教材中仍保留此方法，可隨教材配備將圓形紙已分成16或32等份的粘貼紙，讓學(xué)生揭下來(lái)進(jìn)行拼圖即可。這樣省去畫(huà)、分、剪，只保留拼，可取得同樣的探究效果。

2.建議借助三角形的面積公式推導(dǎo)圓的面積公式

浙教版教材（如圖9）把圓等分而不剪開(kāi)，將每一小份扇形（各教材在“圓”這一單元都設(shè)計(jì)了扇形的內(nèi)容）當(dāng)作三角形推導(dǎo)圓的面積公式的方法是可取的，只是學(xué)生將圓等分為32等份比較困難。其實(shí)，既沒(méi)有等分的必要，也不用分成太多份，只要讓學(xué)生將其分成一些比較小的扇形，看出這些扇形與三角形很接近（相似），引導(dǎo)學(xué)生類比三角形的面積公式求出每個(gè)小扇形的面積，再求和即可推導(dǎo)出圓的面積公式。這樣設(shè)計(jì)既滲透了將圓轉(zhuǎn)化為近似三角形的化歸思想和極限思想，學(xué)生也好操作、理解與掌握，可大大提高教學(xué)效率，同時(shí)還能滲透類比這一重要方法。

教材的重要性眾所皆知，毋庸贅述。教材編寫(xiě)探究活動(dòng)貫徹新課改的教育理念是必要的，但教師應(yīng)親自動(dòng)手操作、驗(yàn)證一下可行性進(jìn)而完善之才更好、更穩(wěn)妥。

【本文系“青藍(lán)項(xiàng)目：青島市教育學(xué)會(huì) 2018 年度教育研究項(xiàng)目——關(guān)于空間與圖形領(lǐng)域課堂探索活動(dòng)編寫(xiě)的比較研究（QES18E152）”研究成果之一?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）