在確定單位和實(shí)際測(cè)量中建構(gòu)面積概念

裴為堂

[摘 要]教學(xué)“面積和面積單位”時(shí)，有兩處難點(diǎn)，一是怎么建立準(zhǔn)確、穩(wěn)固的面積概念，二是在制定面積單位時(shí)，選用什么作為面積單位，面積大小和面積單位的度量過程與結(jié)果有什么關(guān)聯(lián)。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在面積單位確定和實(shí)際測(cè)量中有效建構(gòu)面積的概念。

[關(guān)鍵詞]面積;面積單位;概念; 測(cè)量

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）20-0033-02

對(duì)于“面積和面積單位”，教材進(jìn)行了這樣的描述：比較兩個(gè)圖形面積的大小要用統(tǒng)一的度量單位來測(cè)量。對(duì)此，筆者不禁質(zhì)疑：三年級(jí)的學(xué)生，如果懂得用圖形去度量圖形，難道會(huì)不知道要統(tǒng)一度量衡，用統(tǒng)一規(guī)格的單位面積？除此之外，教材還提出一問題：“用何種形狀的圖形作為單位面積比較科學(xué)？”對(duì)于這一問題，筆者認(rèn)為不論是從測(cè)量方便上考量，還是從學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣來考慮，不同的測(cè)量對(duì)象應(yīng)該采用不同形狀的單位面積。比如一個(gè)大的等邊三角形，恰好可以分割成整數(shù)個(gè)小等邊三角形，此時(shí)用小等邊三角形作為度量的單位面積正適合。教材上還提到：“選用正方形作為度量的單位面積最合適?！比绻麅H僅是度量長方形，選用正方形作為度量的單位面積固然方便，但長方形不就有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)嗎？為了做出合理解釋，許多教師創(chuàng)設(shè)了許多情境，并由此得出結(jié)論：正方形可以密鋪，而長方形不能密鋪。

一、概念教學(xué)策略確定

對(duì)于“正方形可以密鋪，而長方形不能密鋪”的觀點(diǎn)，筆者不敢茍同。筆者認(rèn)為，正方形也有“留縫”的時(shí)候，長方形也有可以密鋪的時(shí)候。

“面積和面積單位”這一課的內(nèi)容屬于概念教學(xué)，而基礎(chǔ)概念就應(yīng)該讓學(xué)生在生活中感受和提煉，或者在操作中體會(huì)，或者在解決困難時(shí)摸索。

“面積”的概念形成應(yīng)該來自于度量面積的客觀需要，輔之以一定量的辨析，學(xué)生對(duì)面積這個(gè)概念的認(rèn)識(shí)就會(huì)更加理性、全面而深刻。因此，本著“不悱不發(fā)，不憤不啟”的原則，筆者引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中揭露概念的本質(zhì)。如果能讓學(xué)生在解決問題的過程中產(chǎn)生一種熱切渴望建立具有固定形狀的度量標(biāo)準(zhǔn)的剛需，然后用單位面積的數(shù)量來計(jì)量待測(cè)物的面積大小，那么他的“面積單位”概念就會(huì)掌握得更加牢固。

當(dāng)然，尺子是無法測(cè)量圖形的面積的，但是不少學(xué)生卻認(rèn)為可先用尺子量出圖形的長，再量出圖形的寬，然后用“長乘寬”就能算出其面積的大小，而這都是尺子測(cè)量的“功勞”。但這并不是直接度量出待測(cè)物包含面積單位的數(shù)量，而是基于算術(shù)意義上的核計(jì)面積單位數(shù)量的簡算方法。教師完全可以直接教學(xué)生這種算術(shù)意義上的面積計(jì)算方法，但果真如此做，學(xué)生也許終身都無法領(lǐng)悟面積單位的真諦，也無法理解長乘寬得出面積的始末。

長乘寬的確可以求出長方形的面積，學(xué)生只要量出長方形的長和寬，就可以計(jì)算出它的面積，照此說法，只要測(cè)量出三角形和梯形的關(guān)鍵線段的長度，就可以輕易求出它們的面積，但是這是測(cè)算，不是測(cè)量。這個(gè)過程是一個(gè)運(yùn)用公式計(jì)算的過程，是一個(gè)物理換算的過程，是由長度推算出面積大小的過程，測(cè)量的原始量不是面積而是長度，不能算作直接度量面積。直接度量面積使用的測(cè)量工具應(yīng)該包含面積單位，面積是二維平面內(nèi)的幾何量，所以測(cè)量工具應(yīng)該是一個(gè)固定大小的平面而不是一個(gè)一維的長度，既然如此，測(cè)算出的面積自然就無法揭示面積的本質(zhì)含義，也無法體現(xiàn)面積單位的本質(zhì)屬性。那么，測(cè)量長度有刻度尺，刻度尺本身就包含各種長度的線條，而且都標(biāo)好了標(biāo)準(zhǔn)單位，那么測(cè)量面積有什么工具呢？顯然，這個(gè)工具上需要標(biāo)明面積單位的刻度。在尋找和創(chuàng)造面積度量工具和物色面積單位時(shí)，學(xué)生自然會(huì)對(duì)面積單位的屬性做進(jìn)一步思考并建立高級(jí)認(rèn)識(shí)。

二、改進(jìn)教案后的試教與反響

正是有了以上反思，筆者開始改進(jìn)教案。首先引導(dǎo)學(xué)生觸摸物體表面，感受其大小，然后讓學(xué)生給這種平面的大小命名。學(xué)生會(huì)說出“面積”這個(gè)新詞，此時(shí)學(xué)生對(duì)圖形面積的認(rèn)識(shí)還存在障礙（在兩次教學(xué)中可見一斑），容易和周長混為一談。因此，很有必要讓學(xué)生指出面積的所在，以便和周長區(qū)分。比如三角形的面積在何處？需要引導(dǎo)學(xué)生指出三角形的三邊包圍的整個(gè)內(nèi)部區(qū)域就是其面積，并讓學(xué)生辨析面積和周長的區(qū)別。經(jīng)過以上訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)面積概念的掌握十分到位。在學(xué)生認(rèn)清了物體表面的面積和圖形的面積之后，再讓其歸納總結(jié)面積的概念就水到渠成了。學(xué)生建立了面積的概念后，理解“面積單位”的含義就成了當(dāng)務(wù)之急。筆者設(shè)計(jì)了面積大小的比較活動(dòng)。先出示兩組僅憑肉眼就能輕易看出大小的圖形，一組是足球場(chǎng)和籃球場(chǎng)的對(duì)比圖，另一組是需要疊放才能比較大小的組圖（如圖1），再出示一組靠直觀觀察和疊放都無法比較面積大小的圖形，讓學(xué)生自行鉆研，攻克難題。學(xué)生可能會(huì)將首次疊再后露出來的部分都剪下來，繼續(xù)疊放，循環(huán)往復(fù)，直到比出兩個(gè)面積的大小。這不失為一個(gè)好辦法，但不是最好，因?yàn)椴坏僮鳠┈?，而且破壞了圖形的原形。

思維遇阻后，學(xué)生往往會(huì)想到測(cè)量法。要測(cè)量就需要測(cè)量工具，讓學(xué)生自發(fā)物色測(cè)量工具，絕非易事，但也不是絕無可能。筆者先誘導(dǎo)學(xué)生說出用尺子測(cè)量，并在征求意見時(shí)形成兩派爭(zhēng)論之勢(shì)，少部分學(xué)生會(huì)想到用圖形來測(cè)量，而這個(gè)作為測(cè)量工具的圖形的廬山真面目就是“面積單位”，只不過這個(gè)“面積單位”的大小未知，也沒有得到廣泛認(rèn)可。為了與1平方厘米、1平方分米、1平方米的單位標(biāo)準(zhǔn)合拍，筆者引導(dǎo)學(xué)生從眾多可供選擇的單位形狀中選出正方形。為了盡量避免人為操縱，筆者嘗試同時(shí)使用正方形和長方形密鋪，在“競(jìng)爭(zhēng)”中突顯正方形測(cè)量的優(yōu)越性。

首次試教中，意外頻發(fā)。學(xué)生認(rèn)定長方形更合適，理由是1個(gè)長方形的面積剛好等于2個(gè)正方形的面積（失手造成的意外案例），如此一來，密鋪完待測(cè)物后需要長方形的數(shù)量就最少，因此更合適。局面十分尷尬，但為了后面的教學(xué)，筆者拿出教師的絕對(duì)權(quán)威：正方形的四條邊都一樣長，測(cè)量起來更方便，更受歡迎（事實(shí)上，學(xué)生很反感）。學(xué)生屈服于筆者的權(quán)威，只好乖乖選用正方形。于是筆者安排小組用正方形去度量同一個(gè)長方形：有的小組拼擺的結(jié)果是24個(gè)小正方形，有的小組拼擺的結(jié)果是6個(gè)小正方形。這樣就有了認(rèn)知沖突，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)在必行。但正方形多種多樣，將哪一個(gè)定為標(biāo)準(zhǔn)合適呢？這就為下一課時(shí)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，體現(xiàn)了知識(shí)的連貫性。

三、課后的得失與爭(zhēng)論

比如長方形面積的計(jì)算公式，就是建立在用1平方厘米大的正方形密鋪圖形時(shí)巧算正方形數(shù)量的基礎(chǔ)上。對(duì)該內(nèi)容，教研組也有一些爭(zhēng)論，焦點(diǎn)就在“選用正方形測(cè)量最合適”上。教師都認(rèn)為，沒有最合適的單位形狀，合不合適要因圖而異。筆者再一次細(xì)細(xì)研讀《教師教學(xué)用書》，發(fā)現(xiàn)書中有這樣的描述：“教師應(yīng)該明白，將面積單位規(guī)定為哪種形狀、哪種尺寸，純屬人為規(guī)定。根據(jù)需要，選用其他形狀，比如正五邊形也并無不妥。”筆者一下子感到“沉冤得雪”，既然真相大白，那為啥教材還要說“選用正方形測(cè)量是最方便的？”，這背后一定有什么不得已的“苦衷”。

這個(gè)“苦衷”莫非就是為了確定1平方厘米、1平方分米、1平方米？用圖形去測(cè)量圖形的面積重要嗎？筆者認(rèn)為，這對(duì)學(xué)生創(chuàng)造出正確的面積單位，理解計(jì)算面積大小的真實(shí)原理來說很重要。但是，當(dāng)我們理解了面積的計(jì)算原理后，誰還會(huì)去采用這種粗笨的圖形密鋪測(cè)量法呢？換言之，對(duì)于不同的圖形應(yīng)該因地制宜選用不同的單位面積形狀，而實(shí)際上學(xué)生需要測(cè)量面積的圖形就只有長方形，所以教材上說“選用正方形測(cè)量是最方便的”。那么為何要排除它的“兄弟”長方形呢？學(xué)生不是覺得長方形方便嗎？筆者無心之失造就的一個(gè)特殊長方形（正好能分成2個(gè)正方形）倒提了個(gè)醒——應(yīng)該選用更普通的長方形。思前想后，筆者決定做如下處理（如圖2）。

該圖形雖然沒能杜絕巧合，但是普遍性更強(qiáng)了。同時(shí)直觀上，也揭示了用4條邊等長的正方形測(cè)量時(shí)的優(yōu)勢(shì)。這個(gè)處理在公開課中大放異彩，收到了意想不到的效果。

（責(zé)編 童 夏）