基于多元線性回歸的地層平均速度分析及應(yīng)用
——以渤海A油田為例

谷志猛，明 君，劉傳奇，王 騰

（中海石油（中國）有限公司天津分公司渤海石油研究院，天津 300452）

0 引言

地震波速度是地震勘探中的一個(gè)重要參數(shù)，在地震數(shù)據(jù)處理和資料解釋過程中起著不可替代的作用。速度資料是巖性、構(gòu)造以及油藏描述中的重要信息之一，其認(rèn)識程度直接影響了地震勘探的各個(gè)環(huán)節(jié)。只有獲取精確的速度參數(shù)，才能真實(shí)反映地下空間結(jié)構(gòu)特征，并準(zhǔn)確定位油氣圈閉的空間位置和展布特征［1］。在地震資料解釋中，時(shí)深轉(zhuǎn)換是將地震解釋成果從時(shí)間域向深度域轉(zhuǎn)換的一個(gè)重要橋梁［2］。地球物理中速度名詞很多，包括層速度、均方根速度、疊加速度、平均速度、偏移速度等，都有著不同的用途和適用范圍［3］，有的僅在理論分析中用到，有的是地震資料處理中的專用參數(shù)，而地層平均速度常用來進(jìn)行時(shí)深轉(zhuǎn)換，想要求取精確的平均速度并不容易。針對不同地質(zhì)條件下的時(shí)深轉(zhuǎn)換，前人已經(jīng)做了大量的探索與研究［4-7］，通過構(gòu)造區(qū)的經(jīng)驗(yàn)公式、疊加剖面的疊加速度、測井速度、速度譜及井-震標(biāo)定速度等方式［8-11］進(jìn)行時(shí)深轉(zhuǎn)換，取得了較好的應(yīng)用效果。隨著勘探需求的不斷提高，尤其是對于構(gòu)造緩且速度橫向變化大的地區(qū)，常規(guī)方法已經(jīng)不能滿足落實(shí)其構(gòu)造特征的需求，須要求取精度更高的平均速度參數(shù)。

渤海A 油田位于石臼坨凸起中段緩坡帶，在古隆起背景上發(fā)育多個(gè)新近系斷鼻、斷塊型構(gòu)造圈閉，單個(gè)圈閉面積較小、幅度較低，主要目的層為新近系D 層，埋藏深度為1 200～1 600 m，地層結(jié)構(gòu)簡單，多為砂泥互層，縱向上分為多個(gè)油組，其構(gòu)造特征表現(xiàn)為幅度平緩，為10～30 m，屬于典型的低幅度構(gòu)造油氣藏，儲層為三角洲前緣沉積。A 油田已鉆多口探井，在D 層段揭示了良好的油氣發(fā)現(xiàn)。A 油田構(gòu)造平緩，其真實(shí)的構(gòu)造特征對速度橫向變化敏感，因此須選取適合的速度分析方法，真實(shí)反映構(gòu)造特征。本文結(jié)合渤海A 油田的地質(zhì)特點(diǎn)，在進(jìn)行地層平均速度公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，通過分析影響研究層平均速度的敏感因素，求取由含氣比、含油比和砂地比組成的多元線性擬合公式，并結(jié)合已知鉆井信息通過最小二乘法求解出平均速度的表達(dá)式，以期能夠反映A 油田的地下構(gòu)造特征，指導(dǎo)油田精細(xì)勘探開發(fā)。

1 研究層段的地層平均深度分析

本文所述的平均速度并不是嚴(yán)格意義的從基準(zhǔn)面到目標(biāo)層的速度，而是特指某一研究層內(nèi)的地層平均速度。結(jié)合渤海A 油田已鉆井信息和地震相特征分析，研究層段新近系D 層之上的地層沉積穩(wěn)定，厚度相當(dāng)，無異常的特殊巖性，地層平均速度橫向變化較小。圖1為A 油田D 層段Ⅱ油組的地層平均速度、地震波傳播時(shí)間及地層厚度的統(tǒng)計(jì)，6 口已鉆井地層平均速度在橫向上存在著變化，A1 井研究層段的平均速度最大，A5 井最小，2 口井的平均速度相差約為163 m/s，如果利用A1 井研究層段的平均速度預(yù)測A5 井的地層厚度（也可視為深度預(yù)測），則與實(shí)際值相差約10 m，對于構(gòu)造幅度只有10～30 m的構(gòu)造圈閉而言，可能會導(dǎo)致無法反映地下真實(shí)形態(tài)的構(gòu)造假象。常規(guī)預(yù)測方法就存在類似的缺陷。利用研究層內(nèi)的地震波傳播時(shí)間和地層厚度關(guān)系擬合線性公式來預(yù)測地層的厚度，并計(jì)算出研究層的地層平均速度，地層厚度的線性擬合公式中相關(guān)系數(shù)較小，可靠性較低，無法精確地反映研究區(qū)的速度變化趨勢。這對求取真實(shí)的地下構(gòu)造特征影響大，須要分析影響速度的關(guān)鍵因素，選取合適的速度分析方法準(zhǔn)確預(yù)測構(gòu)造特征，指導(dǎo)勘探開發(fā)方案的部署。

圖1 A 油田D 層段Ⅱ油組的地層平均速度、地震波傳播時(shí)間及地層厚度統(tǒng)計(jì)Fig.1 Formation average velocity，seismic wave propagation time and formation thickness of Ⅱoil group in layer D of A oilfield

2 基于多元線性回歸的平均速度研究

2.1 敏感參數(shù)分析

影響地震波在巖層中傳播速度的因素有很多，如巖性、地質(zhì)年代、埋藏深度、溫度、孔隙度、地層結(jié)構(gòu)和孔隙中的流體等。一般情況下，地層的地質(zhì)年代越老、埋藏越深，地震波的傳播速度越快。A 油田新近系D 層段的埋藏深度為1 250～1 350 m，與地質(zhì)年代基本一致，對地震波速度的影響程度近乎相同。地層溫度隨埋藏深度加深而升高，埋藏深度每加深100 m，地層溫度升高1～3 ℃，而地層溫度每升高100 ℃，速度下降5%～6%，相同埋藏深度對應(yīng)的溫度變化小，對地震波速度影響微小，可忽略不計(jì)。因此，地質(zhì)年代、埋藏深度、溫度等因素基本不影響研究層內(nèi)速度的橫向變化。

巖性是影響速度的敏感參數(shù)。地震波在不同巖性的地層中傳播速度不同，在致密的巖性中傳播速度更大，如在泥巖中的傳播速度要大于砂巖，若地層中含砂巖比例高，則地層的平均速度小。砂巖儲層的實(shí)際速度是由砂巖骨架的速度、孔隙度、孔隙流體的速度以及顆粒之間的膠結(jié)物成分等因素決定的。

1956年由威利（Wyllie）提出較為合適的關(guān)于液體速度、顆粒速度與孔隙度之間的關(guān)系式，即時(shí)間平均方程

式中：v，vf，vr分別為地震波在砂巖，孔隙流體和砂巖基質(zhì)中的速度，m/s；φ為砂巖的孔隙度，%。經(jīng)統(tǒng)計(jì)A 油田D 層段含不同流體的砂巖平均孔隙度較接近，一般為30%左右，對當(dāng)前研究層而言，孔隙度對層內(nèi)速度的橫向變化影響不大，因此，選取30%作為孔隙度參數(shù)。

將式（1）簡化為

因?yàn)関r近似常數(shù)，由式（2）可知，v與vf呈正相關(guān)關(guān)系，即v隨vf的增大而增大，反之則減小。已知地震波在含氣、含油和含水砂巖中的傳播速度是依次遞增的，地層中砂巖含氣或含油也會使得地層平均速度降低。分析認(rèn)為，地層中巖性和流體的差異是引起研究層內(nèi)速度橫向變化的主要影響因素。

2.2 平均速度理論表達(dá)式的導(dǎo)出

地震波在地層中的傳播速度是十分重要的參數(shù)，但又很難精確測定，在研究過程中對復(fù)雜的實(shí)際情況進(jìn)行簡化，建立各種簡化介質(zhì)模型，并引入各種速度概念是常用的方法之一［12］。本文將地層平均速度作為研究對象，地震波垂直穿過一組水平層狀介質(zhì)中某一界面以上介質(zhì)，該界面以上層的總厚度與總的傳播時(shí)間之比，特指研究層內(nèi)的地層平均速度，研究層的頂面和底面作為地層平均速度計(jì)算的垂向范圍。

研究層內(nèi)n層水平層狀介質(zhì)的平均速度可表達(dá)為

式中：vav為研究層段的平均速度，m/s；H為研究層段的總厚度，m；T為地震波穿過研究層段的總傳播時(shí)間，ms；vi為對應(yīng)研究層段每個(gè)地層的速度，m/s。

在沉積穩(wěn)定地質(zhì)條件下，通過平均速度表達(dá)式分析影響其變化的敏感參數(shù)，并研究平均速度與敏感參數(shù)之間的關(guān)系。

由式（3）可知，影響研究層段平均速度的參數(shù)是H和T。在近似等厚地層的條件下，平均速度只跟傳播時(shí)間T有關(guān)。由A 油田的地質(zhì)特點(diǎn)可知，研究層內(nèi)地層結(jié)構(gòu)簡單，主要由砂巖和泥巖組成。假設(shè)研究層段內(nèi)同一巖性的速度是一致的，式（3）可轉(zhuǎn)換為

式中：Hs，Hm分別為研究層段內(nèi)的砂巖厚度和泥巖厚度，m；vs，vm分別為地震波在砂巖和泥巖中的傳播速度，m/s；φs為砂地比，即，泥地比為，近似常數(shù)，通常情況下，受巖石骨架的影響，vm＞vs，即σ＞1。

由式（4）可知，只有φs是變量，其他參數(shù)均為已知。因此，vav只跟φs有關(guān)系，且兩者呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，即vav隨著φs增大而減小。

上述假定同一巖性的速度是相同的，而針對砂巖受孔隙流體的影響，實(shí)際資料中含氣、含油和含水砂巖速度是不同的（暫不考慮含流體飽和度的影響）。通常情況下，三者存在依次增大的關(guān)系，式（4）可表達(dá)為

式中：Hg，Ho，Hw分別為研究層段內(nèi)的含氣砂巖，含油砂巖和含水砂巖的厚度，m；vg，vo，vw分別為地震波在含氣砂巖、含油砂巖和含水砂巖中的傳播速度，m/s；φg，φo，φw分別為含氣砂巖、含油砂巖、含水砂巖所占砂巖總厚度的比率，即，，三者取值均為0～1；σg，σo，σw均近似常數(shù)，，一般情況下，滿足σg-σw＞0，σo-σw＞0，σw-1＞0。

由式（5）可知，φg，φo，φs為變量，其他均為已知，可近似為常數(shù)，將式（5）進(jìn)一步簡化

將式（6）進(jìn)行轉(zhuǎn)換

由上式可知，研究層段的平均速度可表達(dá)為與3 個(gè)變量φg，φo，φs相關(guān)的多元線性方程，其中θ1，θ2，θ3，θ4為未知項(xiàng)，可通過求解方程組得到。

由式（6）可知，地層的平均速度主要跟含氣比φg、含油比φo和砂地比φs3 個(gè)敏感參數(shù)相關(guān)。這與在敏感影響參數(shù)部分的分析結(jié)論一致，其中巖性的差異由砂地比表征，而砂巖孔隙中流體的差異則由含氣比和含油比2 個(gè)參數(shù)表征，共同影響了地層平均速度的變化趨勢。

2.3 最小二乘法多元線性回歸建立平均速度關(guān)系式

由式（7）可知，式中共有4 個(gè)未知項(xiàng)，已知A 油田已鉆多口井，可為式（7）中未知項(xiàng)的求解提供多個(gè)樣本數(shù)據(jù)。根據(jù)已鉆井的信息建立多個(gè)方程式組成一個(gè)方程組，且方程式的個(gè)數(shù)大于未知項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這種情況下，平均速度方程組為超定方程組，其表達(dá)為

式中：φij為方程式的變量；θj為方程式的未知項(xiàng)；m為方程的數(shù)量，個(gè)；n為未知數(shù)的數(shù)量，個(gè)，且m＞n。

將式（8）向量化

該超定方程組理論上是一個(gè)不存在唯一解的矛盾方程，通常是利用最小二乘法來求取其最優(yōu)解。最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法引入殘差平方和函數(shù)S，記作S(θ)=‖φθ-v‖2，求取S函數(shù)的最小值min‖φθ-v‖2，使得計(jì)算結(jié)果更加接近真實(shí)值，進(jìn)而求解出未知數(shù)θ，得出平均速度的表達(dá)式。

3 數(shù)值模擬分析

數(shù)值模擬是利用已知的鉆井與測井等資料建立簡化的地質(zhì)模型，根據(jù)地震波在地下介質(zhì)中的傳播原理，通過如射線追蹤或波動方程偏移等數(shù)學(xué)方法模擬地震記錄［13-15］，統(tǒng)計(jì)分析研究層內(nèi)平均速度與砂地比、含氣比和含油比的關(guān)系，建立數(shù)值模擬的地層平均速度表達(dá)式，并分析計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的對比關(guān)系。

建立二維地質(zhì)模型［圖2（a）］，設(shè)置研究層段厚度為100 m，分別建立2 組地層結(jié)構(gòu)，第一組為不區(qū)分流體的5 個(gè)砂巖模型，砂巖厚度的百分比從10%增加至50%，第二組為含不同流體的5 個(gè)砂巖模型，包括含氣、含油和含水砂巖，其砂巖所占比例存在變化，但總砂巖厚度的百分比依然從10%增加至50%。根據(jù)實(shí)鉆井信息設(shè)置速度參數(shù)，將地震波在含氣砂巖、含油砂巖、含水砂巖、砂巖和泥巖中的傳播速度分別設(shè)置為1 800 m/s，2 000 m/s，2 300 m/s，2 200 m/s，2 800 m/s。以圖2（a）中的藍(lán)線為目標(biāo)界面，采用35 Hz 負(fù)極性雷克子波（與實(shí)際地震資料一致），目標(biāo)界面在波形剖面上對應(yīng)圖2（b）中藍(lán)線所在的波峰位置。

在數(shù)值模擬［圖2（b）］中，不論砂巖內(nèi)部是否區(qū)分流體，隨著砂地比的增加，從研究頂面到目標(biāo)界面的旅行時(shí)都是逐漸增加，即平均速度逐漸減小，兩者基本呈線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，且在砂地比相同的情況下，區(qū)分流體的砂巖平均速度小于不區(qū)分流體的砂巖。因此，數(shù)值模擬證實(shí)巖性的差異和砂巖內(nèi)部孔隙流體的差異是影響平均速度的關(guān)鍵因素。

圖2 數(shù)值模擬中建立的地質(zhì)模型（a）及正演模擬剖面（b）Fig.2 Geological model（a）and forward simulation section（b）established in numerical simulation

圖3 為平均速度與含氣比、含油比和砂地比的關(guān)系分析圖，單一的含氣比或含油比與平均速度并沒有明顯的線性關(guān)系，可采用非線性擬合。

圖3 平均速度與含氣比、含油比和砂地比的關(guān)系Fig.3 Relationships of average velocity with gas-sand ratio，oil-sand ratio and sand-strata ratio

根據(jù)模型中的樣本數(shù)據(jù)通過最小二乘法可求解出平均速度關(guān)系式的未知項(xiàng)，可得在砂巖內(nèi)部區(qū)分流體的情況下，平均速度表達(dá)式是由砂地比、含氣比和含油比3 個(gè)參數(shù)共同組成的多元線性公式，其中，平均速度與砂地比基本呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，而與含氣比或含油比單因素并無簡單的線性關(guān)系。通過對比平均速度的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)值（圖4）可知，兩者基本一致，絕對誤差最大僅為11 m/s，相對誤差最大為0.4%，計(jì)算結(jié)果具有較高的預(yù)測精度。式（10）在地層結(jié)構(gòu)簡單（砂泥組合）、巖性速度相近的穩(wěn)定沉積地質(zhì)條件下具有較好的適用性。

圖4 A 油田D 層段實(shí)鉆結(jié)果與計(jì)算值對比Fig.4 Correlation of actual drilling results and calculated values in layer D of A oilfield

4 應(yīng)用效果

由A 油田D 層段內(nèi)已鉆井信息統(tǒng)計(jì)（表1）可知，地震波在砂巖中的傳播速度小于泥巖，而在含氣、含油和含水砂巖中的傳播速度是依次增大的。

表1 A 油田已鉆井D 層段不同巖性的介質(zhì)參數(shù)Table 1 Medium parameters of different lithologies in layer D of A oilfield

表2 為A 油田D 層段內(nèi)的6 口井含油氣性統(tǒng)計(jì)，A5 井的砂地比和含油比最高，對應(yīng)的平均速度最小，A1，A2 和A3 等3 口井研究層段內(nèi)均不含氣，A1 井的砂地比最小，對應(yīng)的平均速度最大，與上述分析和數(shù)值模擬的結(jié)論一致。

根據(jù)含氣比、含油比和砂地比的統(tǒng)計(jì)結(jié)果（表2），綜合式（7），可建立由多個(gè)方程式構(gòu)成一個(gè)超定方程組，通過最小二乘法可求解出平均速度關(guān)系式的未知項(xiàng)，則A 油田D 層Ⅱ油組的平均速度非線性擬合公式為

表2 A 油田6 口井D 層段的含油氣性統(tǒng)計(jì)Table 2 Hydrocarbon-bearing properties of 6 wells in layer D of A oilfield

將本文方法、常規(guī)線性擬合方法和實(shí)際平均速度對比分析（表3）可知，常規(guī)方法計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值誤差大，特別是A5 井和A6 井，絕對誤差最大為198.8 m/s，相對誤差最大為8.6%，而多元線性回歸法計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值誤差小，絕對誤差最大為13.2 m/s，相對誤差最大0.6%，本文方法的計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)際值，具有較高的預(yù)測精度。同時(shí)，也表明了在與A 油田類似的地質(zhì)條件下，常規(guī)的線性擬合方法在預(yù)測低速區(qū)域時(shí)誤差較大，無法真實(shí)還原構(gòu)造特征，特別在構(gòu)造緩的研究區(qū)，嚴(yán)重影響了勘探開發(fā)方案的部署，而本文的多元線性回歸法在低速區(qū)域預(yù)測結(jié)果依然精準(zhǔn)，可以很好地彌補(bǔ)常規(guī)方法的不足，真實(shí)反映地下的構(gòu)造特征，有利于油田的精細(xì)勘探開發(fā)。

表3 A 油田D 層被本文方法與常規(guī)方法計(jì)算的平均速度與實(shí)際數(shù)值的對比Table 3 Average velocity correlation of calculated by this method and the conventional method with actual value in layer D of A oilfield

5 結(jié)論

（1）數(shù)值模擬證實(shí)：砂巖儲層巖性的差異和砂巖內(nèi)部流體的差異是影響地層平均速度的關(guān)鍵因素，巖性的差異可以由砂地比表征，孔隙中流體的差異則由含氣比和含油比2 個(gè)參數(shù)表征，含氣比、含油比和砂地比3 個(gè)參數(shù)共同影響了地層平均速度的變化趨勢。

（2）對沉積條件穩(wěn)定的地層，其平均速度可以表示為由含氣比、含油比和砂地比3 個(gè)參數(shù)組成的多元線性擬合公式，且平均速度跟砂地比呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，隨砂地比的增加而減小，而與含氣比或含油比單因素并無簡單的線性關(guān)系。該線性擬合公式求取的平均速度計(jì)算值與實(shí)際值誤差較小，具有較高的預(yù)測精度。