縱向組合邊界儲層合采井壓力響應(yīng)特征及應(yīng)用

史文洋，程時清，石志良，張城瑋，李 虹，屠 坤，張郁哲

（1.中國石油大學(xué)（北京）油氣資源與探測國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2.中國石化石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；3.中國石化華北油氣分公司采氣一廠，鄭州 450006）

0 引言

現(xiàn)代試井解釋分析方法廣泛應(yīng)用于獲取儲層物性參數(shù)、探測儲層邊界信息［1］。Lefkovits 等［2］1961 年首次分析合采井的壓力動態(tài)特征，奠定多層合采儲層試井方法的基礎(chǔ)。20 世紀(jì)90 年代，我國徐獻(xiàn)芝［3］、張望明［4］、李順初［5］等眾多學(xué)者最先發(fā)展多層合采儲層試井分析理論和方法。高承泰［6］、孫賀東等［7-8］建立存在層間越流的多層合采儲層試井模型，發(fā)展多層合采儲層的試井方法。

隨著油氣勘探力度的增大以及鉆采工藝技術(shù)的提高，試井分析中最常用的無限大、定壓、封閉邊界已不能滿足油氣藏精細(xì)化描述的需求，復(fù)雜結(jié)構(gòu)井［9］以及復(fù)雜邊界類儲層［10］的試井模型已經(jīng)引起大家的高度重視。何應(yīng)付等［11］采用邊界數(shù)值試井方法分析單層圓形儲層“一半定壓一半封閉”混合邊界案例，結(jié)果表明混合邊界能明顯延遲壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)下掉時間。郭顯賦等［12］建立復(fù)雜外邊界裂縫性低滲透油藏?cái)?shù)值試井模型，認(rèn)為壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)下掉的時間隨定壓邊界條數(shù)增加而提前。Shi 等［13］建立封閉邊界距離不等的n層合采儲層試井模型，以拋物線型的外凸封閉邊界來分析邊界的形狀、類型對儲層滲流和壓力響應(yīng)的影響。鄭榮臣等［14］基于橢圓流建立多層酸壓改造井的壓力響應(yīng)模型，分析雙層復(fù)合模型的敏感性參數(shù)，但僅繪制上下層邊界類型（無限大、定壓、封閉）不同條件下的壓力響應(yīng)曲線，未系統(tǒng)的討論與分析上下層邊界組合類型。

近年來，中石化在川西坳陷勘探取得重大突破［15-19］，顯示川西地區(qū)龍門山前構(gòu)造雷口坡組、須家河組儲層具有明顯的多層疊置、構(gòu)造空間結(jié)構(gòu)復(fù)雜等特征［20-24］。一方面，現(xiàn)有的商業(yè)試井軟件雖然已有多層不同一邊界的分析模型，但實(shí)際油氣田現(xiàn)場分析者仍多應(yīng)用單層單類邊界模型分析，往往出現(xiàn)邊界階段無法擬合、解釋參數(shù)異常的現(xiàn)象。另一方面，雖然已有人研究多層混合邊界模型，但未見系統(tǒng)分析多層混合邊界類型對壓力響應(yīng)影響的報(bào)道，也沒有混合邊界下試井診斷曲線特征的探索。為了彰顯單層單類邊界與多層混合邊界模型壓力響應(yīng)的差異性，探究縱縱向混合邊界對壓力響應(yīng)特征的影響規(guī)律，本文建立縱向組合邊界儲層滲流模型。以雙層合采儲層為例，繪制縱向任意邊界（無限大、定壓、封閉）組合下的壓力響應(yīng)典型曲線，并劃分流動階段，系統(tǒng)討論縱向組合邊界的組合模式、不同邊界占比對儲層滲流以及壓力響應(yīng)特征的影響規(guī)律。

1 模型建立

1.1 物理模型

考慮儲層中心為一口合采井，存在縱向組合邊界合采儲層的物理模型［圖1（a）］基本假設(shè)條件如下：

（1）開井生產(chǎn)前，儲層充滿單相微可壓縮流體，頂層壓力和底層壓力均等于儲層原始地層壓力。

（2）生產(chǎn)過程中，儲層流體黏度不變，生產(chǎn)井的產(chǎn)量為定值。

（3）頂層和底層具有不同的滲透率、孔隙度、綜合壓縮系數(shù)、厚度、邊界距離和邊界類型。

（4）頂、底層儲層流體僅通過所在層徑向流入井筒［圖1（b）］；各層間不存在層間竄流［圖1（c）］。

圖1 縱向組合邊界儲層物理模型q 為產(chǎn)量，m3/d；μ 為黏度，mPa·s；B 為等溫體積系數(shù)；rw 為井筒半徑，m；k 為滲透率，mD；φ 為孔隙度；ct 為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；h 為厚度，m；re 為邊界距離，m；p 為壓力，MPa；pw 為井底壓力，MPa；下標(biāo)1 表示頂層；下標(biāo)2 表示底層；Ω 表示恒壓邊界；Θ 表示封閉邊界；∞表示無限大邊界Fig.1 Physical model of commingled reservoir with vertical combined boundary

（5）考慮井筒儲集和近井儲層表皮的影響。

（6）忽略儲層溫度變化和重力效應(yīng)對流動的影響。

1.2 數(shù)學(xué)模型

定義無量綱徑向距離rD=r/rw，無量綱時間tD=0.003 6（k1h1+k2h2）t/［（φ1ct1h1+φ2ct2h2）μrw2］，無量綱井儲系數(shù)CD=0.1592C/［（φ1ct1h1+φ2ct2h2）rw2］，頂層流度比κ1=k1h1/（k1h1+k2h2），底層流度比κ1=k2h2/（k1h1+k2h2），頂層儲容比ω1=φ1ct1h1/（φ1ct1h1+φ2ct2h2），底層儲容比ω2=φ2ct2h2/（φ1ct1h1+φ2ct2h2），頂層無量綱壓力p1D=0.542 8（k1h1+k2h2）（pr-p1）/（qμB），底層無量綱壓力p2D=0.542 8（k1h1+k2h2）（pr-p2）/（qμ B）。其中：t為生產(chǎn)時間，h；C為井儲系數(shù)，m3/MPa；pr為原始儲層壓力，MPa。

考慮井筒儲集、近井表皮效應(yīng)的單相微可壓縮流體在多層合采儲層滲流方程為［25］

其中：S為表皮系數(shù)。

當(dāng)儲層流體為氣體時，采用擬時間［26］t=μ0cg0·∫［1/（μcg）］dt和擬壓力［27］m=Z0μ/p0∫［p/（Zμ）］dp完成無量綱油氣滲流方程的統(tǒng)一。其中，Z為氣體壓縮因子；下標(biāo)0 表示參考點(diǎn)。下文不在區(qū)分油、氣，無量綱滲流方程中統(tǒng)一用壓力p和時間t表示。

對無量綱滲流方程（1）進(jìn)行Laplace 變換，無量綱滲流數(shù)學(xué)模型在Laplace 空間下為

式中：u為實(shí)空間無量綱時間tD變換后的Laplace空間變量；σj=［uωj/（CDe2Sκj）］1/2。

初始條件下，各層壓力均等于儲層原始地層壓力，初始條件在Laplace 空間下的無量綱形式為

生產(chǎn)井井底產(chǎn)量等于各層流量之和，井筒流量條件在Laplace 空間下的無量綱形式為

各層壓力在井筒位置相等，且等于井底壓力，井筒壓力條件在在Laplace 空間下的無量綱形式為

儲層邊界為定壓邊界時，邊界處的壓力等于儲層初始地層壓力，定壓邊界的壓力條件在Laplace空間下的無量綱形式為

儲層無窮大邊界的壓力條件在Laplace 空間下的無量綱形式為

儲層邊界為封閉邊界時，邊界處無流體流動，封閉邊界的流量條件在Laplace 空間下的無量綱形式為

2 模型求解及驗(yàn)證

2.1 模型求解

方程（2）屬于Bessel 類方程，其解可用Bessel函數(shù)表示為［28-29］

式中：Aj，Bj為待求系數(shù)；I0為0 階第1 類修正Bessel函數(shù)；K0為0 階第2 類修正Bessel 函數(shù)。式（9）的導(dǎo)數(shù)為儲層壓力在徑向上的壓力梯度，其計(jì)算式為

將壓力解（9）及壓力梯度（10）代入邊界條件（3）—（8），得到關(guān)于系數(shù)Aj，Bj的線性方程組

式中：a11=κ1σ1I1（rwDσ1）；a12=-κ1σ1K1（rwDσ1）；a13=κ2σ2I1（rwDσ2）；a14=-κ2σ2K1（rwDσ2）；a21=I0（rwDσ1）；a22=K0（rwDσ1）；a23=-I0（rwDσ2）；a24=-K0（rwDσ2）；I1為1 階第1 類修正Bessel 函數(shù)；K1為1 階第2 類修正Bessel 函數(shù)；系數(shù)a31，a32，a42，a44見表1。

表1 不同邊界組合下a31，a32，a42，a44值Table 1 Values of a31，a32，a42，a44under different boundary combinations

利用克萊姆法則求解線性方程組（11），求得未知系數(shù)A1，B1，代入頂層的壓力解方程中得到Laplace空間下無量綱井底壓力解：

通過Stehfest 數(shù)值反演算法［30］對Laplace 空間無量綱井底壓力解進(jìn)行反演，能夠得到實(shí)空間無量綱井底壓力解。

2.2 模型驗(yàn)證

建立生產(chǎn)井位于圓形儲層中心的2 層油藏?cái)?shù)值模型模型，初始壓力為34.48 MPa，頂部深度為1 828.8 m，頂層厚度為30.48 m，孔隙度為0.1，滲透率為20 mD，底層厚度為15.24 m、孔隙度為0.5、滲透率為50 mD，儲層頂、底層邊界類型和距離如表2所示，巖石和流體的其它參數(shù)使用軟件默認(rèn)值，生產(chǎn)井以31.78 m3/d 的產(chǎn)量生產(chǎn)5 000 h 后關(guān)井6 000 h。由于KAPPA 軟件設(shè)計(jì)模型所產(chǎn)生壓降數(shù)據(jù)與壓恢?jǐn)?shù)據(jù)相差甚微（測試1 000 h 內(nèi)絕對誤差遠(yuǎn)小于6.89×10-3MPa，相對誤差遠(yuǎn)小于1%；測試5 000 h內(nèi)絕對誤差遠(yuǎn)小于2.76×10-2MPa，相對誤差遠(yuǎn)小于3.5%），采用商業(yè)數(shù)值模擬軟件設(shè)計(jì)模型中物理參數(shù)進(jìn)行壓恢?jǐn)?shù)據(jù)擬合（圖2），驗(yàn)證本文解析模型的可靠性。

表2 本文模型與驗(yàn)證模型的參數(shù)取值Table 2 Parameters of this model and validated model

圖2 3 種模型的驗(yàn)證結(jié)果Fig.2 Verified results of three models

3 結(jié)果及討論

3.1 壓力響應(yīng)特征

表3 匯總并比較了不同縱向組合邊界下儲層壓力響應(yīng)行為下的流動階段特征。在圖3“封閉+無限大層”（Θ+∞）儲層：早期壓力波遇到封閉邊界，出現(xiàn)壓力導(dǎo)數(shù)遞增的封閉邊界流；中期壓力波繞過封閉層向無限大層繼續(xù)傳播，壓力導(dǎo)數(shù)遞減；后期壓力波在無限大層持續(xù)傳播，出現(xiàn)壓力導(dǎo)數(shù)穩(wěn)定的擬徑向流。在圖3“定壓+無限大”（Ω+∞）儲層：早期壓力波遇到定壓邊界，出現(xiàn)壓力導(dǎo)數(shù)遞減的定壓邊界流；后期壓力波穿過定壓層在無限大層繼續(xù)傳播，出現(xiàn)壓力導(dǎo)數(shù)直線遞減的擬定壓邊界流。在圖3“封閉+定壓”（Θ+Ω）儲層：早期出現(xiàn)壓力波遇到封閉邊界并穿透定壓邊界的封閉邊界流，后期出現(xiàn)壓力波繞過封閉邊界穿透定壓邊界的定壓邊界流。圖3 表明縱向組合邊界儲層的壓力響應(yīng)曲線形態(tài)和對應(yīng)的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)特征值能夠判斷邊界組合類型。

圖3 不同縱向組合邊界下儲層壓力響應(yīng)典型曲線CD=10，S=3，κ1=κ2=ω1=ω2=0.5，re1D=re2D=5 000Fig.3 Typical curves of pressure response under different boundary combinations

表3 不同組合邊界儲層流動階段及壓力特征Table 3 Flow regimes and pressure response under different boundary combinations

3.2 邊界影響

當(dāng)頂層和底層的厚度相同時，流動系數(shù)比表示流體在頂層流動占整個儲層流動的比例；當(dāng)頂層和底層滲透率相同時，流動系數(shù)表示頂層占整個儲層的厚度比例。因此，采用頂層流動系數(shù)比κ1表征頂層儲層邊界的占比。κ1越大，表示頂層在整個儲層的流動占比越高，頂層在整個儲層的邊界占比越大。

（1）無限大+封閉邊界（∞+Θ）

圖4（a）顯示了“無限大+封閉（∞+Θ）”儲層中無限大邊界占比κ1對壓力響應(yīng)的影響；無限大頂層占比κ1越大，邊界流早期的壓力導(dǎo)數(shù)遞增越趨向邊界流后期的壓力導(dǎo)數(shù)穩(wěn)定，且擬徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)l 隨著無限大邊界占比κ1增大而變小。圖4（b）進(jìn)一步揭示了邊界流后期擬徑向流壓力導(dǎo)數(shù)穩(wěn)定值l 和無限大邊界占比κ1之間的關(guān)系：l·κ1=0.5。其中，0.5 為無限大儲層徑向流對應(yīng)的壓力導(dǎo)數(shù)值l0。

圖4 “無限大+封閉”儲層中無限大邊界占比對壓力響應(yīng)的影響（CD=10，S=3，ω1=ω2=0.5，reD=5 000）（a）和擬徑向流壓力導(dǎo)數(shù)和無限大邊界占比的關(guān)系（b）Fig.4 Effects of infinite boundary on pressure response in infinite&closed boundary model（a）relationship between permeability ratio of infinite boundary and pressure derivative in radial flow regime（b）

圖5 顯示了“無限大+封閉”儲層的“等效復(fù)合儲層”現(xiàn)象：如果將封閉底層邊界所在位置reD當(dāng)做復(fù)合半徑rcD，無限大邊界占比κ當(dāng)做外區(qū)對內(nèi)區(qū)的流度比M，則“無限大+封閉”儲層［圖5（a）］與物性變差的兩區(qū)徑向復(fù)合儲層［圖5（b）］具有相似的壓力響應(yīng)特征：壓力導(dǎo)數(shù)在第一徑向流、第二徑向流階相同［圖5（c）］。若強(qiáng)行使用復(fù)合模型去擬合“無限大+封閉”模型的壓力響應(yīng)數(shù)據(jù)，將得到異常高的儲容系出比、異常低的復(fù)合半徑和偏高的表皮系數(shù)，如表4 所示。因此需要格外小心地從地質(zhì)特征和流態(tài)判斷方面去區(qū)別兩者，避免僅依據(jù)試井曲線形態(tài)而誤選模型。

圖5 “無限大+封閉”儲層與等效復(fù)合儲層壓力響應(yīng)曲線Fig.5 Relationship of pressure response curve between infinite&closed boundary model and radialcomposite model

（2）無限大+定壓邊界（∞+Ω）

［圖6（a）］顯示了“無限大+定壓（∞+Ω）”儲層中定壓邊界占比κ2對壓力響應(yīng)的影響：定壓邊界占比κ2越大，邊界流早期壓力導(dǎo)數(shù)遞減越快，且邊界流后期擬定壓邊界流壓力導(dǎo)數(shù)直線遞減斜率m越大。［圖6（b）］進(jìn)一步揭示了擬定壓邊界流壓力導(dǎo)數(shù)斜率m和定壓邊界占比κ2之間的線性正相關(guān)關(guān)系：m=0.068 3κ2，系數(shù)0.068 3 與定壓邊界的距離無關(guān)。

圖6 “無限大+定壓”儲層中定壓邊界占比對壓力響應(yīng)的影響（CD=10，S=3，ω1=ω2=0.5，reD=5 000）（a）和儲層擬定壓邊界流壓力導(dǎo)數(shù)斜率與定壓邊界占比的關(guān)系（b）Fig.6 Effects of constant-pressure boundary on pressure response in infinite&constant-pressure boundary model（a）and relationship between permeability ratio of constant-pressure boundary and pressure derivative slope in pseudo constant-pressure flow regime（b）

（3）定壓+封閉邊界（Ω+Θ）

［圖7（a）］顯示了“定壓+封閉（Ω+Θ）”儲層中定壓邊界占κ1比對壓力響應(yīng)的影響。當(dāng)κ1＜0.5 時封閉底層為主導(dǎo)層，邊界流早期出現(xiàn)主導(dǎo)層的封閉邊界流、后期出現(xiàn)非主導(dǎo)層的定壓邊界流；當(dāng)κ1＞0.5 時定壓頂層為主導(dǎo)層，邊界流早期為主導(dǎo)層的定壓邊界流、中期出現(xiàn)非主導(dǎo)層的封閉邊界流。后期又顯示主導(dǎo)層的定壓邊界流。需要注意此處壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)的“凹子”并非是雙重介質(zhì)竄流引起的。圖［圖7（b）］揭示了邊界流后期壓力穩(wěn)定值L與定壓邊界占比κ1之間的定量關(guān)系：L·κ1=11.518。其中，11.518 是邊界距離為5 000 的單層定壓邊界模型中壓力穩(wěn)定值L0（κ1=1，re1D=5 000）。

圖7 “定壓+封閉”儲層中定壓邊界占比對壓力響應(yīng)的影響（CD=10，S=3，ω1=ω2=0.5，re1D=re2D=5 000）和（a）儲層壓力穩(wěn)定值與定壓邊界占比的關(guān)系（b）Fig.7 Effects of constant-pressure boundary on pressure response in constant-pressure&closed boundary model（a）and relationship between permeability ratio of constant-pressure boundary and pressure constant value（b）

4 實(shí)例分析

川西XC 氣田須家河組發(fā)育東北—西南走向的逆斷層［圖8（a）］，且斷層附近的儲層具有良好的油氣儲集性［31-32］。儲層構(gòu)造剖面［圖8（b）］顯示儲層具有明顯的分層特征，裂縫類型多，儲層具有很強(qiáng)的非均質(zhì)性［33-34］。選取試井資料質(zhì)量較好的5口典型井（X10，X3，X853，X8，X5）進(jìn)行分析，其對應(yīng)的儲層參數(shù)、流體參數(shù)和生產(chǎn)參數(shù)見表5。

表5 川西XC 氣田典型井的須家河組儲層及流體參數(shù)Table 5 Reservoir and fluid parameters of Xujiahe Formation in typical wells in XC gas field，western Sichuan Basin

圖8 川西XC 氣田須家河組綜合圖Fig.8 Comprehensive map of Xujiahe Formation in XC gas field，western Sichuan Basin

XC 氣田儲層上部為氣層，下部為上傾尖滅的氣水同層。X10 井上部以Ⅱ類儲層為主，遠(yuǎn)井區(qū)域的X301 附近發(fā)育裂縫，因此，選擇上部封閉、下部無限大的邊界模型解釋。參考鄰井X301 構(gòu)造，X3井近井區(qū)域?yàn)榱芽p溝通較好的Ⅰ類儲層，由于斷層和高角裂縫溝通底部氣水層，下部氣水層對上部氣層具有良好的能量補(bǔ)充，因此，選擇上部定壓邊界、下部無限大的邊界模型解釋。X853，X8，X5 所處構(gòu)造特征具有相似性：都位于一對逆斷層所加持區(qū)域的邊緣，上部儲層發(fā)育裂縫，物性好，因此選擇上部定壓、下部封閉的邊界模型解釋。5 口典型井的解釋參數(shù)如表6 所列，擬合效果如圖9 所示。

圖9 川西XC 氣田典型井?dāng)?shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig.9 Matching curves of typical wells in XC gas field，western Sichuan Basin

表6 川西XC 氣田典型井儲層參數(shù)解釋結(jié)果Table 6 Interpreted reservoir parameters of Xujiahe Formation in typical wells in XC gas field，western Sichuan Basin

選取的模型能夠合理解釋5口典型井對應(yīng)的構(gòu)造特征，佐證了底部氣水上侵成為驅(qū)動能量的可能性。根據(jù)從東部到西部5 口典型井的解釋結(jié)果，大致可以圈定一個由于斷層和高角裂縫溝通底部氣水層而產(chǎn)生的壓力驅(qū)動區(qū)域范圍［圖8（b）］。位于圈定壓力驅(qū)動區(qū)域范圍內(nèi)部的氣井，要合理控制采氣速度，穩(wěn)定驅(qū)動邊界的推進(jìn)速度、防止出現(xiàn)暴性水侵。圈定壓力驅(qū)動能量區(qū)域范圍內(nèi)部的生產(chǎn)氣井，需要合理地控制目前生產(chǎn)氣井的采氣速度，以期來穩(wěn)定驅(qū)動能量水體邊界的推進(jìn)速度，防止底部能量水體沿著斷裂伴生裂縫入侵而出現(xiàn)的暴性水侵、水淹等現(xiàn)象。

5 結(jié)論

（1）“封閉+無限大”邊界模型早期為壓力導(dǎo)數(shù)遞增的封閉邊界流、后期為壓力導(dǎo)數(shù)穩(wěn)定的擬徑向流；擬徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)值與封閉邊界占比的乘積為定值，且定值為單層無限大儲層徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)值。

（2）“定壓+無限大”邊界模型早期為壓力導(dǎo)數(shù)下吊的定壓邊界流、后期為壓力導(dǎo)數(shù)直線遞減的擬定壓邊界流；擬定壓邊界流階段壓力導(dǎo)數(shù)遞減斜率與定壓邊界占比成線性正相關(guān)。

（3）“定壓+封閉”邊界早期為主導(dǎo)層的邊界流、后期為壓力導(dǎo)數(shù)下吊的定壓邊界流；邊界流后期定壓邊界流階段壓力值與定壓邊界占比的乘積為定值，且定值為單層定壓儲層邊界流階段的壓力值。

（4）實(shí)例應(yīng)用表明壓力響應(yīng)曲線形態(tài)可直接定性診斷縱向組合邊界的類型，邊界流階段的壓力響應(yīng)特征值可快速確定縱向邊界的占比；當(dāng)儲層壓力響應(yīng)出現(xiàn)物性變差的徑向復(fù)合儲層以及雙重介質(zhì)儲層特征時，應(yīng)結(jié)合實(shí)際儲層地質(zhì)信息謹(jǐn)慎選擇解釋模型。