重在直觀，貴在通法

李秀娟

【摘要】本文通過(guò)一則案例解讀初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的通法，并借助表格，幫助學(xué)生分析數(shù)據(jù)，找出數(shù)量關(guān)系，從而列出方程并解決問(wèn)題.實(shí)現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中教師“授之以漁”，學(xué)生領(lǐng)悟方法，融會(huì)貫通的目的.

【關(guān)鍵詞】通法;表格;一元二次方程;課程目標(biāo);利潤(rùn)問(wèn)題

在輔導(dǎo)學(xué)困生學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)在他們身上存在一個(gè)普遍的問(wèn)題——數(shù)學(xué)方法理解不透.看到一道題，通讀后沒(méi)有思路，便要放棄或去尋找答案.尋找問(wèn)題的本質(zhì)，劃歸為一，這就是數(shù)學(xué)解題中的通法.

以北師大版九年級(jí)上冊(cè)第二單元“應(yīng)用一元二次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題”為例，向?qū)W生滲透解決這類問(wèn)題的方法.明確解應(yīng)用題的關(guān)鍵六步：審—設(shè)—列—解—驗(yàn)—答.下面以表格為載體，明確解題方向、構(gòu)建知識(shí)框架.

教學(xué)過(guò)程：

教師以母親節(jié)期間鮮花店的銷售情況為例，由淺入深，設(shè)計(jì)一連串的問(wèn)題.

環(huán)節(jié)一：知識(shí)儲(chǔ)備

1.母親節(jié)期間，某鮮花店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的康乃馨，定價(jià)為36元/盒銷售，每盒利潤(rùn)是多少？

2.母親節(jié)期間，某鮮花店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的康乃馨，定價(jià)為36元/盒銷售，這樣每天可售出40盒.每天的利潤(rùn)是多少？

設(shè)計(jì)意圖 提取數(shù)量關(guān)系，單利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（成本），總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×數(shù)量.

3.母親節(jié)期間，某鮮花店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的康乃馨，定價(jià)為35元/盒銷售，這樣每天可售出50盒.每天的利潤(rùn)是多少？

4.母親節(jié)期間，某鮮花店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的康乃馨，定價(jià)為34元/盒銷售，這樣每天可售出60盒.每天的利潤(rùn)是多少？

（注意引導(dǎo)學(xué)生分析，在進(jìn)價(jià)不變的前提下，其銷售量與定價(jià)呈現(xiàn)一種函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系）列一元二次方程的關(guān)鍵在于用含有未知數(shù)x的代數(shù)式表達(dá)題目中的文字關(guān)系，嘗試引導(dǎo)學(xué)生將題中的文字條件轉(zhuǎn)化為含有未知數(shù)x的數(shù)學(xué)式子，然后再根據(jù)題目中的文字關(guān)系找出一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（相等、倍數(shù)等數(shù)理關(guān)系）.

環(huán)節(jié)二：合作探究

例1 母親節(jié)期間，某鮮花店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的康乃馨，在市場(chǎng)參考價(jià)28-38元的范圍內(nèi)定價(jià)為36元/盒銷售，這樣每天可售出40盒.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每盒降價(jià)1元，平均每天就多賣10盒.要使每天的利潤(rùn)達(dá)到750元，應(yīng)將每盒降價(jià)多少元？

分析題意 明確數(shù)量關(guān)系，單利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×數(shù)量.

直接設(shè)降價(jià)為x元，那么單盒銷售利潤(rùn)就是（36-20-x）;與此對(duì)應(yīng)的銷售量就是（40+10x）.因此左邊式子可以表達(dá)為（36-20-x）×（40+10x）（單盒利潤(rùn)×銷售量），右邊式子則是750的總利潤(rùn)，即（36-20-x）×（40+10x）=750.

設(shè)計(jì)意圖 表格是最形象、 最直觀的載體，它能夠清晰明了地展示豐富的數(shù)據(jù)與信息.[1]將題目中復(fù)雜的文字描述轉(zhuǎn)化為符號(hào)、數(shù)字語(yǔ)言，學(xué)生熟悉了這種方法，自然不會(huì)畏懼做題.數(shù)學(xué)通法是將“抽象難懂”的解題方法翻譯成“通俗易懂”的數(shù)學(xué)接替方法，而不是把“抽象難懂”的變成更加難懂的“技巧”.因此數(shù)學(xué)通法的含義是經(jīng)過(guò)提煉得出的一類問(wèn)題的通用解法.[2]

變式一 母親節(jié)期間，某鮮花店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的康乃馨，在市場(chǎng)參考價(jià)28-38元的范圍內(nèi)定價(jià)為36元/盒銷售，這樣每天可售出40盒.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每盒降價(jià)0.5元，平均每天就多賣5盒.要使每天的利潤(rùn)達(dá)到750元，應(yīng)將每盒降價(jià)多少元？

用間接設(shè)元法，明確降價(jià)次數(shù)與降價(jià)的關(guān)系即可.同例1一樣，列表格分析數(shù)據(jù).

分析題意進(jìn)價(jià)20元

分析題意 明確數(shù)量關(guān)系，單利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×數(shù)量.

直接設(shè)降價(jià)x次，則降價(jià)0.5x元，那么單盒銷售利潤(rùn)就是（36-20-0.5x）;與此對(duì)應(yīng)的銷售量就是（40+5x）.因此左邊式子可以表達(dá)為（36-20-0.5x）×（40+5x）（單利潤(rùn)×銷售量），右邊式子則是750的總利潤(rùn)，即（36-20-0.5x）×（40+5x）=750.

求解出x的值并不是最終的答案，0.5x才是問(wèn)題的答案.

變式二 母親節(jié)期間，某鮮花店將進(jìn)價(jià)為20元/盒的康乃馨，在市場(chǎng)參考價(jià)28-38元的范圍內(nèi)定價(jià)為36元/盒銷售，這樣每天可售出40盒.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每盒降價(jià)0.5元，平均每天就多賣5盒.要使每天的利潤(rùn)達(dá)到750元，應(yīng)將每盒定價(jià)為多少元？

分析題意 方法同上，認(rèn)真讀題，明確問(wèn)題與條件之間的關(guān)系，在變式一的基礎(chǔ)上，求出降價(jià)，然后依據(jù)變化后的定價(jià)=變化前的定價(jià)-降價(jià)，算出結(jié)果.

總結(jié)規(guī)律

在借助表格分析完數(shù)據(jù)之后，要明確用一元二次方程解決應(yīng)用題時(shí)的步驟.

第一步：審.借助表格分析數(shù)據(jù)，找出已知量及對(duì)應(yīng)的未知量，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系;

第二步：設(shè).要注意設(shè)取未知數(shù)x.可采用直接設(shè)元法和間接設(shè)元法兩種方法;

第三步：列.用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量，從而列出方程.要注意應(yīng)使方程兩邊的數(shù)量關(guān)系相等，方程兩邊的代數(shù)式的單位相同.

第四步：解.整理方程并解出方程.

第五步：驗(yàn).結(jié)合題中實(shí)際意義，對(duì)方程的根進(jìn)行取舍.

第六步：答.總結(jié)作答.

環(huán)節(jié)三：鞏固練習(xí)

1.新華商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)價(jià)為2500元.市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái);而當(dāng)售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天能多售出4臺(tái).商場(chǎng)要想使這種冰箱每天的銷售利潤(rùn)達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？

分析題意 引導(dǎo)學(xué)生思考，售價(jià)、利潤(rùn)、銷售量之間的關(guān)系.

教師講解的關(guān)鍵：注意引導(dǎo)學(xué)生思考，當(dāng)降價(jià)后的定價(jià)為x元時(shí)，那么降價(jià)部分就可以表達(dá)為“2900-x”，里面有幾個(gè)50，就對(duì)應(yīng)增加幾個(gè)4.可以通過(guò)間接設(shè)元法，方法同變式一.

2.某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其每月銷售量就減少10個(gè).為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少？

分析題意：解題同上，一定要注意引導(dǎo)學(xué)生利用已知量和未知量來(lái)表達(dá)題目中的文字關(guān)系.

環(huán)節(jié)四：能力提高

某商場(chǎng)禮品柜臺(tái)購(gòu)進(jìn)大量賀年卡，該賀年卡平均每天可銷售500張，每張盈利0.3元.為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)拇胧?經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場(chǎng)平均每天可多售出300張.商場(chǎng)要想平均每天盈利160元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元？

分析題意 解題方法同上，需要注意的是要善于挖掘題目中的隱含條件，對(duì)根的取值進(jìn)行取舍.這是解決此類問(wèn)題不可忽視的一點(diǎn)，更突出了數(shù)學(xué)來(lái)自生活，又服務(wù)于生活的特點(diǎn).

環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)

通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，談?wù)勛约旱氖斋@，或有疑問(wèn)的地方.

環(huán)節(jié)六：課后反思

商品經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中存在等量關(guān)系，因此我們可以借助表格分析數(shù)據(jù)，把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)、數(shù)字語(yǔ)言，這里體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，表格法會(huì)貫穿整個(gè)初中，只要學(xué)生碰到這一類題目，都可以使用通法.史寧中先生在他的專著《數(shù)學(xué)思想概論》第3 輯《數(shù)學(xué)中的演繹推理》一書旁注中指出：“求解個(gè)案問(wèn)題表現(xiàn)的是技巧，而得到規(guī)律性表現(xiàn)的是技能.數(shù)學(xué)教育需要培養(yǎng)技巧，但是更重要的是培養(yǎng)技能.”并舉例說(shuō)明，在韋達(dá)（F.Viete，1540— 1603）之前，人們采用不同方法求解一元二次方程， 后來(lái)韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 才給出了一般性的公式，即求解一元二次方程的通解通法[3].

【參考文獻(xiàn)】

[1]林燕莉 .例談表格在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016，27：22 -24.

[2] 金鐘植.談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)通法的認(rèn)識(shí)和理解[J].高中數(shù)理化（高二版），2008（02）：6-9.

[3]史寧中.數(shù)學(xué)中的演繹推理[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2012.