從不定積分的解法來看數(shù)學問題解決策略中的整體策略和局部策略

覃秋玲 張桂芳

(廣西壯族自治區(qū)南寧市南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 530022)

一、引言

整體策略和局部策略的核心體現(xiàn)在數(shù)學解題過程中，可以將求解問題進行拆分，進而把原問題轉(zhuǎn)化成一些較小或在數(shù)學經(jīng)驗中已經(jīng)解決過的問題，最后再通過拼湊，使原問題在整體上得到解決的思路.整體與局部在其組成系統(tǒng)的各要素中是相互關聯(lián)、相互制約的關系.因此，要在整體中帶有局部意識或在局部中附帶著整體意識去看待數(shù)學問題.

二、從不定積分解法看整體策略與局部策略

解法一與解法二的相同之處在于充分利用整體與局部策略進行解題，不同在于解法一利用的方法是倒代換法和第一換元法，解法二在進行了簡單化簡之后，對其中的一部分進行分步積分；第二個不同點在于整體與局部策略的應用順序上，解法一是在利用了倒代換法化簡之后才進行，而解法二是直接對原式進行處理.在該題中，對分子的處理方法在中學也很常見，就是熟悉的分拆.“拆與并”是中學數(shù)學解題中使用最廣泛的一種裂項并項思想方法.其實，在解數(shù)學題時，不僅代數(shù)式可拆分，實際上問題也可進行拆分，即將問題中的關鍵結構(式或形)拆分，這里就是對被積函數(shù)進行拆分.

而具體問題還得具體分析，在數(shù)學問題中，即使面對的是相似題目，有時候雖大體上的思路不變，可細節(jié)上的解法卻不同.

解決此題的關鍵在于從整體和局部觀察被積函數(shù)的分子與分母之間的關系，但與上一題的不同在于此題的分母為乘積的形式，因此不采用對分母進行降次的方式，而是利用第一換元法直接解出.此題解法的關鍵d(xlnx)=(1+lnx)dx與上一題解法一的關鍵步驟二d(1+tlnt)=(1+lnt)dt有相似之處，因為d(1+tlnt)=(1+lnt)dt也可看成d(tlnt)=(1+lnt)dt.

下面分析一道較難的例題，觀察整體策略與局部策略在解不定積分中的應用：

對原式直接進行整體觀察，發(fā)現(xiàn)較難進行拼湊，由于被積函數(shù)是由兩個不同函數(shù)組成，易想到分步積分法，做法如下：

由不定積分的解法來看數(shù)學問題解決中的整體策略與局部策略可以發(fā)現(xiàn)，整體與局部策略在數(shù)學問題解決中是“合作共用”的關系，且需要對具體問題的情形進行具體分析之后方可運用.因解題方法步驟各具特色，所以在解題中，整體與局部策略不能一概而論，有可能是在解題第一步用，也有可能是解題最后一步用；另外就是在解題時需要用整體觀念認識問題，包括問題的條件——已知中的算式結構、圖形的結構、實際意義等，而后居高臨下地把握問題的全局，并從整體結構去理解題意，進而尋求數(shù)學問題解決的總體思路.

三、啟示

整體與局部策略還體現(xiàn)在解題時的觀察能力，個體對數(shù)學問題越敏感越有助于解題，即數(shù)學活動經(jīng)驗積累的程度.有的式子，往往在把握其整體結構后，才能看出其局部特征以及整體與局部的特殊關系.而不定積分的計算過程本身就復雜，在涉及此類計算時，應當對被積函數(shù)進行仔細觀察并簡單嘗試，也更需耐心來選擇解題方法，進而結合整體與局部策略，相信會少走很多彎路！