在三角求值問題時要注意角的取值范圍

田素偉

(上海泥城中學(xué) 201306)

在三角求值問題時很多同學(xué)由于忽略角的取值范圍或是求錯了角的取值范圍而導(dǎo)致解題錯誤，如何能在解決這類三角求值問題時正確把握角的角的取值范圍哪？下面就這個問題，舉例說明：

解由正弦定理

a=2RsinA、b=2RsinB可知，

∵△ABC是銳角三角形且B=2A.

評析邊化為角時常用正弦定理，本題要充分挖掘?qū)ふ翌}中角的限制條件，求出角A的取值范圍，很多學(xué)生常忽略角C的取值范圍，要注意銳角三角形中三個內(nèi)角都是銳角這一條件.

(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若x為△ABC的最小內(nèi)角，求函數(shù)y=f(x)的值域.

評析：本題中要明確△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍，很多學(xué)生由于不理解最小內(nèi)角的取值范圍的推導(dǎo)，經(jīng)常記錯△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍，本題考察在明確△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍的前提下求給定區(qū)間的三角函數(shù)的最值和三角函數(shù)的性質(zhì).

例3在銳角三角形ABC中，若tanA=t+1，tanB=t-1，求t的取值范圍.

評析很多學(xué)生容易忽略角C的取值范圍即tanC>0這一隱含條件導(dǎo)致解題錯誤.

要注意銳角三角形中三個內(nèi)角都是銳角這一條件.

下面給出3道練習(xí)題，請同學(xué)練習(xí)

1.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB.

(1)求角B的大小;

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

2.銳角△ABC中已知兩邊a=1,b=2，則第三邊c的取值范圍是____.

3.鈍角三角形三邊長為a,a+1,a+2,最大內(nèi)角不超過120°，則a范圍是____.

簡答：

1.解(1)由條件及正弦定理得:

sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB.

則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,

∴sin(B+C)=2sinAcosB,又sin(B+C)=sinA≠0,

2.c2=5-4cosC∈(1,5),又B<90°,∴cosC>0,