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    探索輪換方程組問題的解法

    2021-08-05 06:49:20曾溢唐指導教師吳姚新
    數(shù)理化解題研究 2021年17期
    關(guān)鍵詞:舒爾方程組題意

    曾溢唐 指導教師:吳姚新

    (上海市民辦新華初級中學 200080)

    一、基本對稱式法

    首先定義三元基本對稱式為x+y+z,xy+xz+yz,xyz.

    ④×⑤×⑥:(a-b)(b-c)(c-a)=a2b2c2(a-b)(b-c)(c-a).

    由此,有以下2種情況:

    (1)當a=b時,代入④得b=c,則a=b=c.

    代入①易得此時,a2+b2+c2=6.

    (2)當a≠b時,同理有a≠b≠c,則a2b2c2=1⑦,即abc=±1⑧.

    結(jié)合恒等式:

    (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc,

    得(a+b+c)(ab+bc+ca)=2abc

    結(jié)合⑧、⑨、⑩,可得三元基本對稱式關(guān)系如以下4種情況:

    又由不等式(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c).

    此時,a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=6.

    綜上,a2+b2+c2=6.

    說明:在解三元基本對稱式時,應先利用不等式(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)排除不可能的情況.

    例2 求證:存在互不相等的三個實數(shù)a、b、c使得三個方程x2+ax+b=0 ①、x2+bx+c=0 ②、x2+cx+a=0 ③無公共根,而任意兩個方程恰有一公共根,并求出此時a2+b2+c2的值.

    解由題意可設(shè)x2+ax+b=0的兩根為x1、x2,x2+bx+c=0的兩根為x2、x3,x2+cx+a=0兩根為x1、x3.

    由根的定義:

    因為①、③有公共根x1,

    所以x12+ax1+b=0 ④,

    x12+cx1+a=0 ⑤.

    所以x1x2x3=-1 ⑥.

    由韋達定理知:

    abc=(x1x2x3)2 =1⑨.

    此時問題與例1基本相同,筆者不再重復.

    例1例2是解三元的輪換對稱方程組,若輪換方程組不對稱該如何處理?現(xiàn)在以例3為例:

    二、不等式法

    解由①得:x(xy-1)=2(yz-1)④.

    由②得:y(yz-1)=2(zx-1)⑤.

    由③得:z(zx-1)=2(xy-1)⑥.

    ④×⑤×⑥:xyz(xy-1)(yz-1)(zx-1)=8(xy-1)(yz-1)(zx-1).

    (1)當xy=1時,易得yz=1,zx=1.

    (2)當xy≠1時,易得yz≠1,zx≠1,則xyz=8⑦.

    引理a3+b3+c3≥ab2+bc2+ca2.

    引理證明 不妨設(shè)max{a,b,c}=a.

    (1)當a≥b≥c時,a2≥b2≥c2.

    則由排序不等式(順序和≥亂序和)有

    a3+b3+c3≥ab2+bc2+ca2⑧.

    (2)當a≥c≥b時,類似可證.

    引理證畢.

    代入①+②+③得:

    即4a3+4b3+4c3+3abc=a2c+b2a+c2b+4ac2+4ba2+4cb2⑨.

    由舒爾不等式:a3+b3+c3+3abc≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2⑩.

    ⑧×3+⑩:4a3+4b3+4c3+3abc≥a2c+b2a+c2b+4ac2+4ba2+4cb2.

    結(jié)合⑨得不等式恰好取等,等號成立當且僅當a=b=c,此時x=y=z=2.

    說明:由于本題方程組不對稱,不易求出另外兩個基本對稱式.而容易發(fā)現(xiàn)x=y=z=2為方程組的解,考慮通過取等條件應用不等式法求解.

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