數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)
——以2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅲ理科第17題為例

盧會(huì)玉

(甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

2020年的高考在經(jīng)歷了千難萬(wàn)難后落下帷幕，從看到高考題的那一刻起，腦海中浮現(xiàn)的都是當(dāng)時(shí)和學(xué)生一起備考的畫(huà)面.尤其是看到2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅲ理科第17題時(shí)，更是興奮不已.因?yàn)樵趶?fù)習(xí)數(shù)列專題時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生的分析、歸納、推理和計(jì)算能力，特意將2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ文科卷第17題進(jìn)行了改編，進(jìn)行了全方位的備考.

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》明確指出：關(guān)鍵能力是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.但是有教師混淆了關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)技巧的區(qū)別，試圖通過(guò)不斷的訓(xùn)練獲得關(guān)鍵能力.筆者認(rèn)為，關(guān)鍵能力的考查是在建立在基本技能和基本思想的基礎(chǔ)上進(jìn)行的綜合能力的考查.

一、一個(gè)原題三個(gè)改編

例1 (2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ文科卷第17題)

(1)求b1，b2，b3；

(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(3)求{an}的通項(xiàng)公式.

將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.

將n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.

從而b1=1，b2=2，b3=4；

(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；

例2 (2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ文科卷第17題改編題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=2(n+1)an，求{an}的通項(xiàng)公式.

將題目改編成直接求{an}的通項(xiàng)公式，對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力的要求就非常高了.學(xué)生必須要明確一定有一個(gè)新數(shù)列產(chǎn)生，從而借助新數(shù)列解決{an}的通項(xiàng)公式.這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生必然要進(jìn)行分析，經(jīng)過(guò)綜合考慮之后進(jìn)行歸納和推理，進(jìn)而加以證明，獲得結(jié)論.具體解題過(guò)程和原題基本一樣.

例3(2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ文科卷第17題改編題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=2(n+1)an.

(1)計(jì)算a2,a3,a4,a5；

(2)求{an}的通項(xiàng)公式.

將題目改編成先計(jì)算前五項(xiàng)再求{an}的通項(xiàng)公式，對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力的要求較高.給學(xué)生提供了一種先通過(guò)寫(xiě)出前幾項(xiàng)再進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論的思路.考查的是學(xué)生的歸納能力和計(jì)算能力.具體解題過(guò)程和原題基本一樣.

(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(2)求{an}的通項(xiàng)公式.

(3)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

經(jīng)過(guò)對(duì)2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ文科卷第17題的改編，重點(diǎn)培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題的能力、歸納問(wèn)題的能力以及運(yùn)算能力.令人欣喜的是，果不其然今年的高考題正是考查這方面的知識(shí)和能力.

二、一個(gè)原題一些思考

(2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅲ理科第17題)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.

(1)計(jì)算a2,a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.

解析(1)由題意可得a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，由數(shù)列{an}的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即an=2n+1，證明如下：

當(dāng)n=1時(shí)，a1=3成立；

假設(shè)n=k時(shí)，ak=2k+1成立.

那么n=k+1時(shí)，ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.

則對(duì)任意的n∈N*，都有an=2n+1成立；

(2)由(1)可知，an·2n=(2n+1)·2n

Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n

①

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1

②

由①-②得：-Sn=6+2×(22+23+…+2n)-(2n+1)·2n+1

=(1-2n)·2n+1-2，

即Sn=(2n-1)·2n+1+2.

數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力有五項(xiàng)：邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力.該題明顯考查學(xué)生的分析能力、歸納能力和運(yùn)算能力，指向非常明確.高考評(píng)價(jià)體系確立的是基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求，本題體現(xiàn)是基礎(chǔ)性.對(duì)基本技能和基本思想的要求較高.

數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力離不開(kāi)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，兩者是相輔相成的，提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力首先要提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).與此同時(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高了，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力相應(yīng)的也會(huì)得到提高.那么今年高考數(shù)列題是如何考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的呢？

1.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.要求學(xué)生能從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征.

例(2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第4題)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( ).

A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊

故選C.

本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，需要學(xué)生能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，并且要讀懂題目所表達(dá)的意思.涉及等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，進(jìn)而考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，算是一道容易題.

2.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用的信息，形成知識(shí)的過(guò)程，主要包括：收集數(shù)據(jù)提取信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構(gòu)建模型分析數(shù)據(jù)，解釋數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的結(jié)論.

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

解析由ai+m=ai知，序列ai的周期為m，由已知，m=5，

對(duì)于選項(xiàng)A.

對(duì)于選項(xiàng)B.

對(duì)于選項(xiàng)D.

故選C.

本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以及數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.

3.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決書(shū)序問(wèn)題，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.

例(2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ理科第17題)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng).

(1)求{an}的公比；

(2)若a1=1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.

解析(1)設(shè){an}的公比為q，a1為a2,a3的等差中項(xiàng)，

∵2a1=a2+a3,a1≠0,

∴q2+q-2=0，

∵q≠1,∴q=-2；

(2)設(shè){nan}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1,an=(-2)n-1，

Sn=1×1+2×(-2)+3×(-2)2+…+n(-2)n-1，①

-2Sn=1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+…(n-1)(-2)n-1+n(-2)n，②

①-②得，

3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n(-2)n

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

數(shù)學(xué)運(yùn)算幾乎每道題都會(huì)涉及到，有句俗語(yǔ)說(shuō)：想到不如做到！很多學(xué)生不是想不到，而是想到了卻做錯(cuò)了，這就是典型的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力欠缺.應(yīng)該在平時(shí)的學(xué)習(xí)中利用一切機(jī)會(huì)進(jìn)行訓(xùn)練，在不斷犯錯(cuò)又不斷改錯(cuò)中，運(yùn)算能力才能得到提高.